2025-2026学年广东省深圳市龙岗外国语学校九年级（上）月考数学试卷（12月份）

2025-2026学年广东省深圳市龙岗外国语学校九年级（上）月考数学试卷

（12月份）

一、选择题

1．（3分）若反比例函数的图象经过点P（6，﹣1），则它的图象所在的象限为（）

A．第一、三象限B．第二、四象限

C．第一、四象限D．第二、三象限

2．（3分）若，则＝（）

A．B．C．D．

3．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0有实数根，则实数k的取值范围是（）

A．k＞2B．k≥2C．k＜2D．k≤2

4．（3分）为了估计湖里有多少条鱼，先从湖里捕捞100条鱼做上标记，然后放回湖里去，经过一段时间，

带有标记的鱼完全混合于鱼群后，小刚又从湖里捕捞200条鱼，发现有15条有标记，那么你估计湖里

里有多少条鱼（）

A．300条B．1333条C．1500条D．3000条

5．（3分）已知关于x的一元二次方程3x2﹣2xy﹣y2＝0，则＝（）

A．1B．1或C．1或D．

6．（3分）如图，点A、B、C均在正方形网格的格点上，则tan∠BAC＝（）

A．B．C．D．

7．（3分）已知正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕

点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE＝2，则FM的长为（）

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A．4B．5C．6D．6.5

8．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象经过点（0，2），其对称轴为直

线x＝﹣1．下列结论中正确的是（）

A．3a+c＞0

B．若点（﹣4，y1），（3，y2）均在二次函数图象上，则y1＜y2

C．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个相等的实数根

D．满足ax2+bx+c＞2的x的取值范围为﹣2＜x＜0

二、填空题

9．（3分）在△ABC中，若（其中∠A，∠B为锐角），则△ABC的形状

是．

10．（3分）已知线段AB＝4，点P是它的黄金分割点，AP＜BP，则AP＝．

11．（3分）一张圆桌旁有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个座位上，

则A与B不相邻而坐的概率为．

第2页（共23页）

12．（3分）如图，点A是双曲线y＝上的动点，连接AO并延长交双曲线于点B，将线段AB绕B顺时

针旋转60°得到线段BC，点C在双曲线y＝上的运动，则k＝．

13．（3分）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn为边B1B2，

B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△Bn∁nMn的面积

为，则n＝．

三、解答题

14．（8分）（1）解一元二次方程：x2﹣6x﹣7＝0；

（2）计算：．

15．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．

（1）尺规作图：作⊙O，使它过点A、C，且圆心O在AB上，（必须保留清晰的作图痕迹，不写作

法）；

（2）在（1）所作的⊙O中，求证：点B在⊙O上．

16．（8分）化学实验课上，杨老师带来了Mg（镁）、Al（铝）、Zn（锌）、Cu（铜）四种金属材料及其元

素卡片（如图，除正面信息不同外，其余均相同），将四张元素卡片背面朝上洗匀，让学生随机抽取一

第3页（共23页）

张，然后用抽取到的金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：Mg、Al、Zn可以置换出氢

气，而Cu不能置换出氢气）

（1）小云随机从中抽取一张卡片，抽到“Al”的概率为；

（2）小云随机从中抽取一张卡片，记下金属后，放回洗匀，小南再从中随机抽取一张，请用列表或画

树状图的方法求小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的概率．

17．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，连接OE，过点B

作BF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF．

（1）求证：四边形AOBF为矩形；

（2）若，BD＝2AC，求AB的长及点A到BC的距离．

18．（8分）中华人民共和国第十五届运动会于2025年11月9日至21日在广东、香港、澳门召开．徽章

作为运动会第一批特许商品早于2025年8月开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进

某款徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2025年8月份的销售量为256枚，2025年10月份的销

售量为400枚．

（1）求该款徽章2025年8月份到10月份销售量的月平均增长率；

（2）从11月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款徽章每降价1元，月销

售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？

19．（8分）综合与实践

在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．在矩形ABCD中，E为射线

BC上一动点，连接AE．

第4页（共23页）

（1）当点E在BC边上时，将△ABE沿AE翻折，使点B恰好落在对角线BD上点F处，AE交BD于

点G．

基础探究：

①如图1，若，则∠AFB的度数为．

深入探究：

②如图2，当，且EF＝EC时，求AB的长．

拓展探究：

（2）在②所得矩形ABCD中（仅保留AB，BC长），将矩形ABCD沿AE进行翻折，点C的对应点为

C'，当点E，C'，D三点共线时，请直接写出BE的长．

20．（8分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴的交点分别为A（﹣3，0）和B（1，0），与y轴交

于点C，连接AC、BC，点M是线段OA上，不与点O、A重合的一个动点，过点M作DM⊥x轴，交

抛物线于点D，交AC于点E，其对称轴与x轴交于点H．

（1）求抛物线的表达式；

（2）在点M的运动过程中，能否使线段DE＝CE？若能，请求出点M的坐标，若不能，请说明理由；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PHC是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；

若不存在，请说明理由．

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2025-2026学年广东省深圳市龙岗外国语学校九年级（上）月考数学试卷

（12月份）

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）

题号12345678

答案BADBCCBD

一、选择题

1．（3分）若反比例函数的图象经过点P（6，﹣1），则它的图象所在的象限为（）

A．第一、三象限B．第二、四象限

C．第一、四象限D．第二、三象限

【答案】B

【解答】解：∵反比例函数的图象经过点P（6，﹣1），

∴k＝6×（﹣1）＝﹣6，

∵k＜0，

∴反比例函数图象分布在第二、四象限．

故选：B．

2．（3分）若，则＝（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解答】解：∵，

∴＝，

∴＝1+＝，

∴＝，

故选：A．

3．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0有实数根，则实数k的取值范围是（）

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A．k＞2B．k≥2C．k＜2D．k≤2

【答案】D

【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0有实数根，

∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×2k＝16﹣8k≥0，

∴k≤2．

故选：D．

4．（3分）为了估计湖里有多少条鱼，先从湖里捕捞100条鱼做上标记，然后放回湖里去，经过一段时间，

带有标记的鱼完全混合于鱼群后，小刚又从湖里捕捞200条鱼，发现有15条有标记，那么你估计湖里

里有多少条鱼（）

A．300条B．1333条C．1500条D．3000条

【答案】B

【解答】解：设湖里中鱼的总数为x条，

100：x＝15：200，

解得，

故选：B．

5．（3分）已知关于x的一元二次方程3x2﹣2xy﹣y2＝0，则＝（）

A．1B．1或C．1或D．

【答案】C

【解答】解：∵3x2﹣2xy﹣y2＝0

∴3（）2﹣2﹣1＝0，

解得：＝1或﹣．

故选：C．

6．（3分）如图，点A、B、C均在正方形网格的格点上，则tan∠BAC＝（）

第7页（共23页）

A．B．C．D．

【答案】C

【解答】解：设正方形网格中每个小正方形的边长为1，如图所示：

则BC＝2，

根据勾股定理得：AC＝＝，CD＝＝，BD＝＝，

∴AD＝AC﹣CD＝，

又∵CD2+BD2＝4，BC2＝4，

∴CD2+BD2＝BC2，

∴△BCD是直角三角形，

∴∠BDC＝∠BDA＝90°，

在Rt△ABD中，tan∠BAC＝＝＝．

故选：C．

7．（3分）已知正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕

点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE＝2，则FM的长为（）

A．4B．5C．6D．6.5

【答案】B

【解答】解：由正方形ABCD的边长为6，∠EDF＝45°，△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△

DCM．AE＝2，

得△DAE≌△DCM，DE＝DM，MC＝AE＝2，

得∠ADE+∠CDF＝45°＝∠MDC+∠CDF，

第8页（共23页）

得∠MDF＝∠EDF＝45°，

得△DFE≌△DFM，

得EF＝FM＝x，FC＝x﹣2，BF＝6﹣FC＝8﹣x，BE＝6﹣AE＝4，

由∠B＝90°，

得42+（8﹣x）2＝x2，

得FM＝x＝5．

故选：B．

8．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象经过点（0，2），其对称轴为直

线x＝﹣1．下列结论中正确的是（）

A．3a+c＞0

B．若点（﹣4，y1），（3，y2）均在二次函数图象上，则y1＜y2

C．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个相等的实数根

D．满足ax2+bx+c＞2的x的取值范围为﹣2＜x＜0

【答案】D

【解答】解：由题意，∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，

∴b＝2a．

又由图象，可得当x＝1时，y＝a+b+c＜0，

第9页（共23页）

∴3a+c＜0，故A错误．

∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，

∴当x＝﹣4时的函数值与当x＝﹣1+3＝2时的函数值相等为y1．

∵抛物线开口向下，对称轴是直线x＝﹣1，

∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．

又∵2＜3，且抛物线过（2，y1），（3，y2），

∴y1＞y2，故B错误．

由题意，令y＝﹣1，

∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1有两个不同的交点．

∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根，故C错误．

∵当x＝0时，y＝2，

又∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，

∴当x＝﹣2时，y＝2．

又抛物线开口向下，

∴满足ax2+bx+c＞2的x的取值范围为﹣2＜x＜0，故D正确．

故选：D．

二、填空题

9．（3分）在△ABC中，若（其中∠A，∠B为锐角），则△ABC的形状是

钝角三角形或等腰三角形．

【答案】钝角三角形或等腰三角形．

【解答】解：由题意得，，

∴，，

∵∠A，∠B为锐角，

∴∠A＝30°，∠B＝30°，

∴∠C＝180°﹣30°﹣30°＝120°，

∴△ABC是钝角三角形或等腰三角形，

故答案为：钝角三角形或等腰三角形．

10．（3分）已知线段AB＝4，点P是它的黄金分割点，AP＜BP，则AP＝6﹣2．

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【答案】6﹣2．

【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，

∴＝，

∵AB＝4，

∴BP＝AB＝×4＝2﹣2，

∴AP＝AB﹣BP＝4﹣（2﹣2）＝6﹣2，

故答案为：6﹣2．

11．（3分）一张圆桌旁有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个座位上，

则A与B不相邻而坐的概率为．

【答案】．

【解答】解：将三个座位顺次记为①②③，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他

三个座位上，作树状图如下：

由于A的位置已经确定，B、C、D随机而坐的情况共有6种（如图所示）：6种情况出现的可能性相

同．其中A与B不相邻而坐的情况共有2种，

∴所求概率是：．

故答案为：．

12．（3分）如图，点A是双曲线y＝上的动点，连接AO并延长交双曲线于点B，将线段AB绕B顺时

针旋转60°得到线段BC，点C在双曲线y＝上的运动，则k＝﹣9．

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【答案】﹣9

【解答】解：∵双曲线y＝关于原点对称，

∴点A与点B关于原点对称．

∴OA＝OB．

连接OC，AC，如图所示．

∵将线段AB绕B顺时针旋转60°得到线段BC，

∴△ABC是等边三角形，OA＝OB，

∴OC⊥AB，∠BAC＝60°，

∴tan∠OAC＝＝，

∴OC＝OA．

过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，

∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，

∴∠AEO＝∠OFC，∠AOE＝90°﹣∠FOC＝∠OCF，

∴△AEO∽△OFC．

∴＝＝．

∵OC＝OA，

∴OF＝AE，FC＝EO．

设点A坐标为（a，b），

∵点A在第一象限，

∴AE＝a，OE＝b．

∴OF＝AE＝a，FC＝EO＝b．

∵点A在双曲线y＝上，

∴ab＝3．

第12页（共23页）

∴FC•OF＝b•a＝3ab＝9，

设点C坐标为（x，y），

∵点C在第四象限，

∴FC＝x，OF＝﹣y．

∴FC•OF＝x•（﹣y）＝﹣xy＝9．

∴xy＝﹣9．

∵点C在双曲线y＝上，

∴k＝xy＝﹣9．

故答案为：﹣9．

13．（3分）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn为边B1B2，

B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△Bn∁nMn的面积

为，则n＝128．

【答案】128．

【解答】解：∵Bn∁n∥B1C1，

∴△MnBn∁n∽△MnB1C1，

∴＝，

第13页（共23页）

∴＝，

∴Bn∁n＝，

∴Sn＝××＝，

∵△Bn∁nMn的面积为，

∴＝，

则n＝128．

经检验n＝128是原方程的解，

故答案为：128．

三、解答题

14．（8分）（1）解一元二次方程：x2﹣6x﹣7＝0；

（2）计算：．

【答案】（1）1x＝7，x2＝﹣1；

（2）．

【解答】解：（1）x2﹣6x﹣7＝0，

∴（x﹣7）（x+1）＝0，

∴x﹣7＝0或x+1＝0，

∴x1＝7，x2＝﹣1；

（2）原式＝

＝

＝．

15．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．

（1）尺规作图：作⊙O，使它过点A、C，且圆心O在AB上，（必须保留清晰的作图痕迹，不写作

法）；

（2）在（1）所作的⊙O中，求证：点B在⊙O上．

第14页（共23页）

【答案】（1）作图见解答；

（2）证明过程见解答．

【解答】（1）解：如图，⊙O为所求；

（2）证明：如图，连接OC，

由（1）O点为AC的垂直平分线与AB的交点，

∴OC＝OA，

∴∠A＝∠OCA，

∵∠ACB＝90°，

∴∠B+∠A＝90°，

∵∠OCA+∠OCB＝90°，

∴∠B＝∠OCB，

∴OC＝OB，

即OC＝OB＝OA，

∴A、B、C三点共圆，

即点B在⊙O上．

16．（8分）化学实验课上，杨老师带来了Mg（镁）、Al（铝）、Zn（锌）、Cu（铜）四种金属材料及其元

素卡片（如图，除正面信息不同外，其余均相同），将四张元素卡片背面朝上洗匀，让学生随机抽取一

张，然后用抽取到的金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：Mg、Al、Zn可以置换出氢

第15页（共23页）

气，而Cu不能置换出氢气）

（1）小云随机从中抽取一张卡片，抽到“Al”的概率为；

（2）小云随机从中抽取一张卡片，记下金属后，放回洗匀，小南再从中随机抽取一张，请用列表或画

树状图的方法求小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的概率．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“Al”的结果有1种，

∴小云随机从中抽取一张卡片，抽到“Al”的概率为．

故答案为：．

（2）列表如下：

MgAlZnCu

Mg（Mg，Mg）（Mg，Al）（Mg，Zn）（Mg，Cu）

Al（Al，Mg）（Al，Al）（Al，Zn）（Al，Cu）

Zn（Zn，Mg）（Zn，Al）（Zn，Zn）（Zn，Cu）

Cu（Cu，Mg）（Cu，Al）（Cu，Zn）（Cu，Cu）

共有16种等可能的结果，其中小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的结果有：（Mg，Mg），（Mg，

Al），（Mg，Zn），（Al，Mg），（Al，Al），（Al，Zn），（Zn，Mg），（Zn，Al），（Zn，Zn），共9种，

∴小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的概率为．

17．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，连接OE，过点B

作BF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF．

（1）求证：四边形AOBF为矩形；

（2）若，BD＝2AC，求AB的长及点A到BC的距离．

第16页（共23页）

【答案】（1）证明：∵BF∥AC，

∴∠BFE＝∠AOE，E是AB的中点，

∴AE＝BE，

在△AOE和△BFE中，

，

∴△AOE≌△BFE（AAS），

∴EO＝EF，

∴四边形AOBF是平行四边形，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∴∠AOB＝90°，

∴平行四边形AOBF为矩形；

（2）AB的长为4，点A到BC的距离为．

【解答】（1）证明：∵BF∥AC，

∴∠BFE＝∠AOE，E是AB的中点，

∴AE＝BE，

在△AOE和△BFE中，

，

∴△AOE≌△BFE（AAS），

∴EO＝EF，

∴四边形AOBF是平行四边形，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∴∠AOB＝90°，

∴平行四边形AOBF为矩形；

（2）解：如图，过A作AH⊥BC于点H，

第17页（共23页）

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC⊥BD，

∴∠AOB＝90°，点E是AB的中点，

∴AB＝2OE＝4，

∴BC＝4，

∵BD＝2AC，

∴OB＝2OA，

∵OA2+OB2＝AB2，

∴OA2+（2OA）2＝（4）2，

解得：OA＝4（负值已舍去），

∴AC＝2OA＝8，BD＝2AC＝16，

∵AH⊥BC，

∴S菱形ABCD＝BC•AH＝AC•BD，

即4AH＝×8×16，

解得：AH＝，

答：AB的长为4，点A到BC的距离为．

18．（8分）中华人民共和国第十五届运动会于2025年11月9日至21日在广东、香港、澳门召开．徽章

作为运动会第一批特许商品早于2025年8月开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进

某款徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2025年8月份的销售量为256枚，2025年10月份的销

售量为400枚．

（1）求该款徽章2025年8月份到10月份销售量的月平均增长率；

（2）从11月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款徽章每降价1元，月销

售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？

【答案】（1）该款徽章2025年8月份到10月份销售量的月平均增长率为25%；

（2）当该款徽章降价8元时，月销售利润达8400元．

第18页（共23页）

【解答】解：（1）设该款徽章2025年8月份到10月份销售量的月平均增长率为m，

根据题意得：256（1+m）2＝400，

解得m＝0.25＝25%或m＝﹣2.25（舍去），

∴该款徽章2025年8月份到10月份销售量的月平均增长率为25%；

（2）设当该款徽章降价x元时，月销售利润达8400元，

根据题意得：（68﹣x﹣45）（400+20x）＝8400，

解得x＝8或x＝﹣5（舍去），

∴当该款徽章降价8元时，月销售利润达8400元．

19．（8分）综合与实践

在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．在矩形ABCD中，E为射线

BC上一动点，连接AE．

（1）当点E在BC边上时，将△ABE沿AE翻折，使点B恰好落在对角线BD上点F处，AE交BD于

点G．

基础探究：

①如图1，若，则∠AFB的度数为60°．

深入探究：

②如图2，当，且EF＝EC时，求AB的长．

拓展探究：

（2）在②所得矩形ABCD中（仅保留AB，BC长），将矩形ABCD沿AE进行翻折，点C的对应点为

C'，当点E，C'，D三点共线时，请直接写出BE的长．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，∠BAD＝90°，

∵，

∴，

第19页（共23页）

在Rt△ABD中，，

∴∠ABD＝60°，

由折叠的性质知AB＝AF，

∴△ABF是等边三角形，

∴∠AFB＝60°，

故答案为：60°；

②由折叠的性质知BF⊥AE，EF＝EB，

∴∠BGE＝90°，

∵EF＝EC，

∴EF＝EB＝EC，

∴BC＝2BE，即，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝∠BCD＝90°，，

∵∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠CBD＝90°，

∴∠BAE＝∠CBD，

∴△BAE∽△CBD，

∴，即，

解得（负值已舍）；

（2）如图3，由题意得，，

∵四边形ABCD是矩形，

∴，AD∥BC，

∴∠DCE＝90°，∠CED＝∠B'DA，

由折叠的性质知，

第2