（人教A版）必修第二册高一数学下学期期末复习训练专题11 立体几何的综合问题（原卷版）

专题11立体几何的综合问题【典型例题】例1．如图，在矩形中，，E为的中点，将沿翻折到的位置，其中平面，M为的中点，则在翻折过程中，有如下下列结论：①恒有平面；②B与M两点间距离恒为定值；③三棱锥体积最大值为；④存在某个位置，使得平面平面.其中正确的结论个数是（

）.A．1 B．2 C．3 D．4例2．在九章算术商功中将正四面形棱台体棱台的上、下底面均为正方形称为方亭在方亭中，，方亭的体积为，则侧面的面积为（

）A． B． C． D．例3．（多选）如图，在长方体中，，，E为棱的中点，则（

）A．面 B．C．平面截该长方体所得截面面积为 D．三棱锥的体积为例4．（多选）在底面边长为2、高为4的正四棱柱中，为棱上一点，且分别为线段上的动点，为底面的中心，为线段的中点，则下列命题正确的是（

）A．与共面B．三棱锥的体积为C．的最小值为D．当时，过三点的平面截正四棱柱所得截面的周长为例5．已知正三棱柱的所有棱长为，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为__________．例6．一名学生参加学校社团活动，利用3D技术打印一个几何模型该模型由一个几何体及其外接球组成，几何体由一个内角都是120°的六边形绕边旋转一周得到且满足，，则球与几何体的体积之比为______.例7．已知两个四棱锥与的公共底面是边长为2的正方形，顶点、在底面的同侧，棱锥的高，、分别为AB、CD的中点，与交于点E，与交于点F．(1)求的长；(2)求这两个棱锥的公共部分的体积．例8．如图，菱形ABCD的边长为2，，E为AC的中点，将沿AC翻折使点D至点.(1)求证：平面平面ABC；(2)若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.例9．如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面，，分别是，的中点.(1)求证：平面平面；(2)求平面和平面夹角的余弦值；(3)在线段（含端点）上是否存在点，使点到平面的距离为？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.例10．如图，在三棱锥中，平面平面，，，、分别为棱、的中点.(1)求证：直线平面；(2)若直线与平面所成的角为45°，直线与平面所成角为30°，求二面角的大小.例11．如图，在三棱柱中，平面平面，侧面是边长为2的正方形，分别为的中点.(1)证明：面(2)请再从下列三个条件中选择一个补充在题干中，完成题目所给的问题.①直线与平面所成角的大小为；②三棱锥的体积为；③.若选择条件___________.求（i）求二面角的余弦值；（ii）求直线与平面的距离.【过关测试】一、单选题1．一平面四边形OABC的直观图O′A′B′C′如图所示，其中O′C′⊥x′轴，A′B′⊥x′轴，B′C′∥y′轴，则四边形OABC的面积为（）A． B．3 C．3 D．2．在长方体中，若分别为的中点，过点作长方体的一截面，则该截面的周长为（

）A． B． C． D．3．如图，圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形.把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为，则圆台的侧面积为（

）A． B． C． D．4．在数学探究活动课中，小华进行了如下探究：如图1，水平放置的正方体容器中注入了一定量的水；现将该正方体容器其中一个顶点固定在地面上，使得DA，DB，DC三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面为HJK，如图2所示．若在图2中，则在图1中（

）A． B． C． D．5．已知A，B，C，D在球O的表面上，为等边三角形且边长为3，平面ABC，，则球O的表面积为（

）A． B． C． D．6．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（

）A． B． C． D．7．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”日：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．意思是：球的体积V乘16，除以9，再开立方，即为球的直径d，由此我们可以推测当时球的表面积S计算公式为（

）A． B．C． D．8．等于90°的二面角内有一点，过有于点，于，如果，则到的距离为（

）A． B． C． D．二、多选题9．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，下列说法正确的有（

）A．该圆台轴截面面积为B．该圆台的体积为C．该圆台的侧面积为D．沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为10．长方体中，，，，则（

）A．到平面的距离为B．到平面的距离为C．沿长方体的表面从到的最短距离为D．沿长方体的表面从到的最短距离为11．已知正方体，过对角线作平面交棱于点，交棱于点，则：①平面分正方体所得两部分的体积相等；②四边形一定是平行四边形；③平面与平面不可能垂直；④四边形的面积有最大值.其中所有正确结论的序号为（

）A．① B．② C．③ D．④12．如图，在边长为的正方体中，点在底面正方形内运动，则下列结论正确的是（

）A．若平面，则三棱锥的体积为定值B．若平面，则动点的轨迹长度为C．若，则动点的轨迹长度为D．存在点，使得平面三、填空题13．如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且＝＝＝，则＝________.14．在正四棱柱中，E是BC的中点，F是的中点，P是棱所在直线上的动点．则下列四个命题：①②平面③④不存在过P的直线与正四棱柱的各个面都成等角．其中正确命题的序号是______（写出所有正确命题的序号）．15．直三棱柱的所有棱长均为2，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为______．16．从一个底面半径和高均为R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的棱锥，得到一个如图几何体.如果用一个与圆柱下底面距离为d的平行平面去截这个几何体，截面面积为______.四、解答题17．如图所示，底面半径为1，高为1的圆柱中有一内接长方体，设矩形的面积为S，长方体的体积为V，，(1)将S表示为x的函数；(2)求V的最大值．18．如图，在四棱锥中，底面为边长为2的菱形且对角线与交于点，底面，点是的中点.(1)求证：；(2)若三棱锥的体积为1，求的长.19．如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，PA是圆柱的母线，，，，C是上的一个动点.(1)求圆柱的表面积；(2)求四棱锥的体积的最大值.20．如图，正四棱柱'．(1)请在正四棱柱中，画出经过P、Q、R三点的截面（无需证明）；(2)若Q、R分别为'中点，证明：AQ、CR、三线共点．21．如图，正方体的棱长为4cm，分别是和的中点．(1)画出过点的平面与平面及平面的两条交线；(2)设过的平面与交于点P，求PM+PN的值．22．对于精美的礼物，通常人们会用包装纸把礼物包好，还会用彩带捆扎包装好的礼物，有时还会扎出一个花结.这些包装彩带也不便宜，因此在捆扎时不仅要考虑美观､结实，也要考虑尽量地节省包装彩带.以长方体的礼物为例，较为典型的两种捆扎方式分别为“十字”和“对角”，如下图所示.“十字”捆扎“对角”捆扎假设1：将礼物视作一个长方体，其长为4，宽为2､高为1；假设2：不考虑花结处的彩带，将每一段彩带视为线段，且完全位于礼物的表面上；假设3：“十字”捆扎中，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）都与其相交的棱垂直；假设4：“对角”捆扎中，以某种方式展开长方体后，长方体表面上的每一段彩带（上底