河南省南阳市2026届高三上学期11月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省南阳市2026届高三上学期11月期中数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则A的子集的个数有（）A.4 B.8 C.16 D.32【答案】B【解析】集合，则集合的子集的个数有个.故选：B.2.已知复数z满足，为虚数单位，则复数z的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题知，故复数的虚部为.故选：C.3.若，则恒成立的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为当时，，当且仅当时等号成立，则恒成立等价于，结合各选项知恒成立的一个充分不必要条件为.故选：D.4.已知向量若向量在向量上的投影向量为，则（）A.-1 B. C.1 D.【答案】C【解析】因为向量，则向量在向量上的投影向量为：，故有，解得.故选：C.5.已知不等式的解集是，设，则函数的大致图象不可能为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题知是的两个实数根，可得，解得，所以.当时，，故A符合题意；当时，二次函数的图象开口向上，由，解得或，所以，的零点为0和，且，故B符合题意，而C不符合；当时，二次函数的图象开口向下，的零点为0和，且，故D符合题意.故选：C.6.已知，则（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】，①，②①+②得，，则；①-②得，，则.所以.故选：D.7.已知数列的通项公式，在每相邻两项之间插入个，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记数列的前n项和为，则成立的n的最小值为（）A.35 B.36 C.37 D.38【答案】A【解析】由题可知，数列各项依次为：，当时，，当时，，所以成立的的最小值为35.故选：A.8.教材中给出习题“已知函数且a≠1），讨论函数f(x)的单调性”，对上述问题的解决过程，我们获取了复合函数单调性“同增异减”的判断原则，据此可以快速解决复合函数的相关问题.已知函数，则该函数在上的单调递减区间是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题目信息，不妨令，则的减区间即为所求，又，解得，所以函数的单调递减区间是.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.记为等差数列的前项和，公差为，若，则下列结论正确的是（）A. B.C.没有最小值 D.【答案】AB【解析】设等差数列的公差为，依题意有，解得，所以，故AB正确；又最小值为，故C错误，由于，所以，故D错误，故选：AB.10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.该函数图象上始终有两个增区间和一个减区间B.若为的极小值点，则的取值范围为C.若为的极大值点，则的取值范围为D.若，则过点且与曲线相切的直线有且只有两条【答案】BC【解析】对A：当时，，则单调递增，故A错误；对B：又，令，解得，由为的极小值点，则，解得，故B正确；对C：当时，，当时，，故的取值范围为，故C正确；对D：当时，，设切点，则切线斜率，切线方程为，由切线过点，代入切线方程得，即，解得或，故有三条直线与曲线相切，故D错误.故选：BC.11.已知函数在上恒有，其中，则下列结论正确的是（）A.成等差数列 B.成等比数列C. D.【答案】ACD【解析】和差化积公式推导：，则；，则.对A、B：由题，因为，可得，所以，所以，故，解得，故A正确，B错误；对C：，故C正确；又因为，故，故D正确.故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知正数满足，则的最大值是__________．【答案】【解析】根据题意，所以，（当且仅当，即时取等号），即最大值为．故答案为：．13.若是定义在上的偶函数，且满足为奇函数，则__________.【答案】【解析】令，由为奇函数，得，即，于是，又为偶函数，，用替换，得，，即4为的周期.根据，令，得，令，得，又为偶函数，且，，于是可得：.又余2，.故答案为：.14.设函数，若存在唯一整数使得，则实数λ的取值范围是__________.【答案】【解析】当时，，舍去；当时，令，得，设，得，令得，，当时，；当时，，所以函数的极小值点为，不存在极大值点.此时不等式有无穷多解，舍去；当时，得，数形结合只需：，解得；综上.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图①为一个圆锥形酒杯，圆锥的顶角（即过圆锥的轴的平面截圆锥所得等腰三角形的顶角）为，向酒杯中注水．（1）写出注入杯中的水量V（单位：mL）关于水面高度h（单位：cm）的函数关系式；（2）图②的图象是否能反映第（1）问中的函数关系？说明理由．解：（1）如图所示，由题意可知：该酒杯的纵截面为等腰三角形，又顶角，所以，设水面半径为，则，所以；（2）由（1）知，所以定义域内单调递增，令，即定义域内单调递增，故增加的越来越快，即图象②可以反映这一函数关系.其实杯子下窄上宽，高度每增加一厘米显然容量增加变大.16.已知的外接圆半径为，内切圆半径为，角的对边分别为，且，，（1）求的值；（2）求的取值范围.解：（1）由题意，由余弦定理得，又，则，又由正弦定理：，解得.（2）由（1）得，则，，则，方法一：由，解得（当且仅当时取等号），又因为，故，从而得.方法二：在中，由正弦定理得，即，则，又，则，，即，.17.“生成函数”是一种将数列的递推关系转化为代数方程从而简化运算的数学工具.已知函数是数列的“生成函数”，且.（1）求；（2）求.解：（1）因为且，所以①，当可得，当时②，①-②得，显然当时上式也成立，所以.（2）由题得，，则两式相减得：，所以.18.已知函数），若的图象过三点，其中点为函数图象的最高点（如图所示），将图象上的每个点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象.（1）求函数的解析式；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数t的取值范围.解：（1）由题意得，得，又，则，所以.由，得，由图知在上单调递增，所以，又，只可能，所以，所以，将图象上横坐标变为原来的倍，得到，再向右平移个单位长度，得到，即.（2）由（1）知，所以不等式可化为：，即对任意的恒成立，令，则，且，原不等式转化为恒成立，解法一：即对恒成立，当时，易知不等式恒成立；当时，，即对恒成立，因为在上单调递减，故，所以的取值范围为.解法二：设函数，当时，对称轴在上单调递增，要使，只需，解得；当时，由于，故恒成立；当时，对称轴，只需，解得；综上所述，.19.已知函数.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）求不等式的解集；（3）设函数，若函数恰好有两个不同的极值点，求实数a的取值范围.解：（1）当时，由，得，则；从而有，故切线方程为：.（2）函数的定义域为，由，可得函数为偶函数，当时，，令，则，且，则函数在上单调递增，故，即，即函数在上单调递增，因函数为偶函数，则即，可得，