2026届百师联盟高三一轮复习12月质量检测数学B（含答案）

2026届高三一轮复习12月质量检测

数学试题

注童事项：

1.将继前，考牛等必将自己的姆名、弩场号、你信号、准考证号瞋写在答题卡上，

2.问等进怫趣时、选出每小魉答案后.用铅笔艳答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改

动，用橡皮撑干净后.再选涂其他答案标号.阿答阜选择题时.将答案写在答题卡上.写在

本斌程上无效。

3.考试结束后.将木试卷和溶题卡一并交同.

考试时间为120分钟.满分150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.若.则1zl=

A.1B.√2C.√3D.4

2.若集合A={x∈NI0<x≤4},B={x|x²-9x+18≤0},则A∩B=

A.(3}B.{4}C.{2,3}D.{3,4}

3.如图.四棱锥P-ABCD的底面是边长为4正方形，E为BC上的点，F为PC的中点，

PD⊥底面ABCD.PD=2,CE=1,则以下向量可以作平面DEF的法向量的是

A.(4.-2.1)B.(4,-1,2)C.(4,1,—2)D.(4,-2,-1)

第3题图第5题图

4.将函数的图象向左平移个单位，得到函数g(x)的图象，则函数

g(x)=

AC.cos3xD.sin3x

5.如图，在直三棱柱ABC-A,B₁C₁中，∠ACB=90°,AA₁=AC=BC=2,P为线段BC

的中点，E,F分别为线段A₁P与线段CC₁上的点，则线段EF长的最小值为

ABCD

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6.如图，在三棱锥P-ABC,平面PAC⊥平面ABC,△ABC是边长为2的等边三角形，

PA=PC=3,则二面角A-PC一B的正切值为

ABCD

第6题图第7题图

7.如图，记三棱锥P-ABC的体积为V,,BA=BC=2,∠ABC=90°,D为AC的

中点，且PD⊥平面ABC,则该三棱锥外接球的表面积的取值范围为

ABCD

8.已知函数在(一∞,十∞)上单调递增，则a+b的

取值范围是

A.[一∞,-1]B.(一∞,0)C.[一∞,1]D.[一∞,2]

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知m,n是两条不同的直线，aα,β,y是三个不同的平面，下列命题正确的是

A.若mCa,nCa,m//β,n//β,则a//β

B.若a//β,β//γ,m⊥a,则m⊥γ

C.若mLa,n//α,则m⊥n

D.若m//n,m//a,nCa,则n//a

10.下列各式化简结果为一√3的有

A.3cos²75°—sin²75°-1B

D

11.如图，在多面体ABCD-A₁B₁C₁中，平面ABCD//平面A₁B₁C₁,A₁C₁=AD,DC=

2AB,AB//DC,且交线A₁C₁与A₁B确定的平面与DC交于点E,

则下列结论正确的是

A.点E在线段DC上的位置不确定

B.A₁B//平面DCB₁C₁

C.EC₁//平面A₁BB₁

D.EC₁//平面BCB₁

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.如图，平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D,中，延长AB至点P,使AB=2BP,则向量C₁P

可用向量DA,DC,DD表示为

P

13.已知一球O与一圆台的上、下底面及其侧面都相切，圆台的上、下底面的半径分别为

r₁=1,r₂=3,则球O的体积为

14.如图，在△ABC中，P为AC的中点，AB=4AF,Q为BC上一点，且满足CB=4CQ,

PQNCF=E.若CE=λCA+μCB,则λ+μ=·

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=nan+λn(1-n)(λ∈R,n∈N+),a₂=

a₁+2.

(1)求实数λ的值；

(2)若a₁=1,求{an}的通项公式；

(3)将数列{an}与数列{n²—1}的公共项从小到大排列得到新数列{bn},求的值.

16.(15分)某勘测队在河岸的一侧隔河进行测绘工作，河岸一侧A,B两地相距50米，河对

岸有C,D两地，测得AC=70米，∠DBA=∠DBC,

(1)求sin∠ACB的值；

(2)若测量后发现DB=DC,求A,D两地的距离.

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17.(15分)如图，在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC,AB⊥BC,AC=4,PC=2,

,D为BP上靠近点B的三等分点.

(1)证明：ABLCD;

(2)求平面ABP与平面ADC夹角的余弦值.

18.(17分)如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为6,且E,F,P分别为BB₁,B₁C₁,

CC,的中点.

(1)证明：平面A₁EF//平面AD₁P;

(2)平面AD₁P将正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁截成两部分，若这两部分的体积分别

为V,V'(V≤V′),求；的值.

19.(17分)已知函数f(x)=ax+e²(a∈R).

(1)求函数f(x)的极值.

(2)若a<0,函数f(x)有两个零点x₁,xz,且x₂>x₁>0.

①求：的值；

②求证：

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百B

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数学参考答案及评分意见

1.A【解析】∵,∴|z|=1.故选A.

2.D【解析】∵o<x≤4,x∈N,∴A={1,2,3,4}.解不等式x²—9x+18≤0得3≤x≤6,∴B={x|3≤x≤6},

∴A∩B={3,4}.故选D.

3.B【解析】由题意，知D(0,0,0),P(0,0,2),C(0,4,0),E(1,4,0),F(0,2,1),∴DE=(1,4,0),DF=(0,2,1).

设平面DEF的法向量为m=(x,y,z),则即令x=4,则y=-1,z=2,所以m=

(4,—1,2).故选B.

4.C【解析】函数的图象向左平移单位，

所得图象对应的函数为

5.C【解析】在直三棱ABC-A₁B₁C₁中，∵∠ACB=90°,∴CA,CB,CC₁两两垂直.建立如图所示的空间直角坐

标系，则C(0,0,0),P(0,1,0),C₁(0,0,2),A₁(2,0,2),∴PA₁=(2,—1,2),CC₁=(0,0,2).

设PĚ=λPA,o≤λ≤1,F(0,0,t),则E(2λ,1—λ,2λ),EF=(-2λ,λ—1,t—2λ).

要使线段EF最短，必满足EF⊥CC₁,则EF·CC₁=0,解得t=2λ,∴EF=(—2λ,λ—1,0).

当且仅当时等号成立.

∴线段EF长的最小值为.故选C.

6.B【解析】如图，设AC的中点为E,连接PE,BE.

在△PAC中，AC=2,PA=PC=3,则PE⊥AC,PE=√PA²-AE²=√9-1=2√2.

∵BA=BC,E为AC的中点，∴BE⊥AC.又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,

BEC平面ABC,∴BE⊥平面PAC.∵PCC平面PAC,∴BE⊥PC.

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作EF⊥PC于点F,连接BF.∵BE,EFC平面EFB,BE∩EF=E,∴PC⊥平面EFB.

∵BFC平面EFB,∴BF⊥PC.∴∠BFE是二面角A-PC一B的平面角.

在Rt△PEC中，EF⊥PC,有PE·EC=EF·PC,即2√2×1=EF×3,∴

在Rt△ABE中，BE=√2²—1²=√3.∵BE⊥平面PAC,EFC平面PAC,∴BE⊥EF,∴

.故选B.

7.C【解析】∵∠ABC=90°,BA=BC=2,∴AC=2√2.又∵D为AC的中点，∴AD=BD=CD=√2.

∵PD⊥平面ABC,.×,∴1≤PD≤3.

由题意知，该三棱锥外接球的球心O在直线PD上.

设OD=t(t为负值，则球心在平面ABC的下方),外接球半径为r,PD=x,1≤x≤3,

则r²=(x—t)²=t²+(√2)²,整理得

设,f(x)在(0,十∞)上单调递增，∴f(1)≤f(x)≤f(3),

,故

∴该三棱锥的外接球的表面积.故选C.

8.C【解析】f'(x)=e-ax²—bx-1,∵函数f(x)在(一∞,+∞)上单调递增，

∴f'(x)≥0在(一∞,+∞)上恒成立，即e≥ax²+bx+1在(一∞,+∞)上恒成立.

设g(x)=ax²+bx+1,h(x)=e,

当a=0时，g(x)=bx+1,直线g(x)恒过点(0,1),

故只需直线g(x)=bx+1为曲线h(x)=e在点(0,1)处的切线即可，b=h'(0)=1,此时a+b=1;

当a≠0时，函数g(x)的图象恒过点(0,1),为使e≥ax²+bx+1在(一∞,+∞)上恒成立，

需函数g(x)=ax²+bx+1的图象开口向下，且在点(0,1)处与函数h(x)=e²的图象有公切线，

则有∴a+b<1,

综上，a+b的取值范围是(一∞,1).故选C.

9.BCD【解析】对于A,若mCa,nCa,m//β,n//β,因为直线m,n未必相交，

所以a与β不一定平行，故A错误；

对于B,由a//β,β//γ,得a//γ,又m⊥a,则m⊥y,故B正确；

对于C,由n//a,得存在过直线n与平面α相交的平面，设交线为l,则n//L,

因为m⊥a,所以m⊥l,m⊥n,故C正确；

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对于D,由m//α,得存在过m的平面与α相交，令交线为L,则m//L,因为m//n,所以n//l,

又因为nCa,所以n//α,故D正确.故选BCD.

10.ACD【解析】对于A,3cos²75°—sin²75°-1=(cos²75°-sin²75°)+(2cos²75°—1)=2cos150°=—√3,故A

正确；

对于

B,故B错误；

,故C正确；

,故D正确.故选ACD.

11.BC【解析】∵平面ABCD//平面A₁B₁C₁,平面ABCD∩平面ADC₁A₁=AD,

平面A₁B₁C₁∩平面ADC₁A₁=A₁C₁,∴AD//A₁C₁,同理得BE//A₁C₁,∴AD//BE.

∵AB//DC,∴四边形ABED为平行四边形，∴AB=DE.又∵DC=2AB,∴E为DC的中点，故A错误.

由A知，四边形ABED为平行四边形，∴AD=BE.∵A₁C₁=AD,∴BE=A₁C₁.

又∵BE//A₁C₁,∴四边形A₁C₁EB为平行四边形，∴A₁B//C₁E.

∵A₁B平面DCB₁C₁,C₁EC平面DCB₁C₁,∴A₁B//平面DCB₁C₁,故B正确.

由B知，C₁E//A₁B,C₁E平面A₁BB₁,A₁BC平面A₁BB₁,∴C₁E//平面A₁BB₁,故C正确.

B₁C₁与EC的长短不确定，若B₁C₁与EC的长短不一样，又EC₁与CB,在同一平面内，

则EC₁与CB₁一定相交，EC₁与平面BCB₁相交，故D错误.故选BC.

13.4√3π【解析】设圆台的高为h,母线长为l,球O的半径为R,作出圆台的轴截面，如图.

圆台的轴截面等腰梯形的高h等于球O的直径2R.∵球O与圆台的侧面相切，∴OE⊥CD.

则△COE≌△COO₂,△DOE≌△DOO₁,∴CE=CO₂,DE=DO₁,

∴l=DE+CE=DO₁+CO₂=r₁+r₂=1+3=4,h=2R.

2026届高三一轮复习12月质量检测数学答案第3页(共7页)

在Rt△DFC中，由勾股定理得h²+(r₂-r₁)²=l²,∴(2R)²+2²=4²,解得R=√3.

∴球O的体积为

14.【解析】∵AB=4AF,.

又∵C,E,F三点共线，

∵P为AC的中点，∴∵CB=4CQ,∴

又∵P,E,Q三点共线，.

解得;,即;

15.解：(1)∵S,=na+λn(1-n)(λ∈R,n∈N+),∴+λ(1-n),

*

,即a₂—a₁=2λ.又a₂-a₁=2,∴λ=13分

(2)由(1)得，S,=na„+n(1-n)=na+n-n²(n∈N+),

∴Sπ+1=(n+1)an+1+n+1—(n+1)².

以上两式相减得an+1=(n+1)an+1-na—2n,

整理得an+1-aπ=2(n∈N+)6分

∴数列{an}为等差数列，公差d=2,首项a₁=1,

∴通项公式为an=2n-18分

(3)若将数列{an}与数列{n²—1)的公共项从小到大排列得到新数列{bm},得bn=(2n-1)(2n+1),

……………13分

16.解：(1)由∠DBA=∠DBC,

.………2分

在△ABC中，由正弦定理得,即

………………5分

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(2)在△ABC中，由余弦定理得，

整理得BC²+20BC-2400=0,解得BC=40(BC=-60舍去).……………7分

在△DBC中，DB=DC,

设BC的中点为点E,连接DE,∵DB=DC,∴DE⊥BC.

,即,∴DB=DC=10√1010分

在△ABD中，AD²=DB²+AB²—2DB·ABcos∠DBA

∴AD=10√15米，即A,D两地的距离为10√15米.………15分

17.(1)证明：∵PC⊥平面ABC,ABC平面ABC,∴PC⊥AB2分

又∵AB⊥BC,PC∩BC=C,PC,BCC平面PBC,∴AB⊥平面PBC4分

∵CDC平面PBC,∴AB⊥CD5分

(2)解：设AC的中点为0,作Oz⊥平面ABC,在平面ABC内作Ox⊥AC,建立如图所示的空间直角坐标系

0—xyz.

,AC=4,PC=2,∴BC=2,AB=2√3,则A(0,-2,0),C(0,2,0),B(√3,1,0),P(0,2,2),

∴BP=(一√3,1,2).……………………7分

又∵D为BP上靠近点B的三等分点，

,AC=(0,4,0),AB=(√3,3,0)9分

设m=(x,y,z)为平面ABP的法向量，

则

令y=-1,则m=(√3,-1,2)·11分

设n=(a,b,c)为平面ADC的法向量，

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令a=-1,则n=(-1,0,√3)13分

∴平面ABP与平面ADC夹角的余弦值为

………………15分

18.(1)证明：如图，设BC的中点为Q,连接PQ,AQ,FQ,BC₁.

∵四边形ABC₁D₁为平行四边形，∴BC₁//AD₁.……………2分

∵P,Q分别为CC₁,BC的中点，∴PQ//BC₁,∴PQ//AD₁,

即平面AD₁P与平面AD₁PQ为同一平面.…………………4分

∵FQ//BB₁//AA₁,FQ=BB₁=AA₁,

∴四边形AQFA₁为平行四边形，∴AQ//A₁F.

又∵A₁F女平面AD₁P,AQC平面AD₁P,∴A₁F//平面AD₁P6分

∵E,F,P,Q分别为BB₁,B₁C₁,CC₁,BC的中点，∴EF//PQ.

∵EF大平面AD₁P,PQC平面AD₁P,∴EF//平面AD₁P8分

∵A₁F∩EF=F,A₁F,EFC平面A₁EF,

∴平面A₁EF//平面AD₁P10分

(2)解：由(1)得平面AD₁P即平面AD₁PQ11分

.……………14分

∴V′=V正方体—V=6×6×6—63=153,

.…………………17分

19.(1)解：函数f(x)的定义域为R,且f'(x)=a+e.

当a≥0时，