云南省金太阳百校联考2026届高三上学期10月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1云南省金太阳百校联考2026届高三上学期10月期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】集合，则，故选：D.2.双曲线：的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为双曲线：，所以，则的渐近线方程为.故选：C.3.样本数据1，1，2，3，5，6的分位数为（）A.1 B.2.5 C.2 D.3【答案】C【解析】因为，所以该组数据的分位数为2.故选：C.4.在等差数列中，，则的公差为（）A. B. C.3 D.【答案】B【解析】由，所以等差数列的公差，故选：B.5.在梯形中，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，，所以.故选：D.6.若直线与函数的图象相切，则（）A.1 B. C.2 D.【答案】A【解析】由题意得，设切点为，则，解得.故选：A.7.若，则的最小值为（）A.16 B.24 C.32 D.40【答案】C【解析】由题意得，，且，.由，得，所以，当且仅当即时，等号成立.故选：C.8.把正方形沿对角线折成二面角，若，，，四点均在球的球面上，球的表面积为，且，则二面角的大小为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】取为的中点，则.设球的半径为，则，得，则.因为，，所以二面角的平面角为.由，得.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，则（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】，；；；；．故选：ABD．10.已知是抛物线：的焦点，，是上的两个动点，，则下列结论正确的是（）A.的准线方程为B.的最小值为C.若，，三点共线，则的最小值为2D.若（为坐标原点）为正三角形，则【答案】ACD【解析】对于选项A：由抛物线方程可得，即，且焦点在x轴正半轴上，所以的准线方程为，故A正确；对于选项B：因点在的内部，过点作垂直于直线，垂足为，则，当且仅当，，三点共线时，等号成立，所以的最小值为，故B错误；对于选项C：因为直线过焦点，可知当垂直于轴时，取到最小值为，C正确；对于选项D：当为正三角形时，可知垂直于轴，设，则，代入的方程得，得，所以，D正确.故选：ACD.11.在数列中，，且，则（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】当时，，得，当时，，得，A错误.由①，当时，②，得，得，得，则.又，所以，B正确.当时，由，得，又，所以，C正确.当时，由，得，得，所以（当时，也成立），D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若为偶函数，则__________.【答案】【解析】，因为为偶函数，所以当时，恒成立，即恒成立，化简，当时，恒成立，因此只需，故答案为：.13.甲、乙等5名同学参加羽毛球比赛，决出特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、优秀奖各1名.若甲、乙均没有获得特等奖，则获奖的所有可能情况有________（用数字作答）种.【答案】72【解析】因为甲、乙均没有获得特等奖，所以甲、乙获奖的可能情况有种，则除甲、乙之外的三个同学获奖情况有种，，所以5名同学获奖的所有可能情况有种.故答案为：72.14.已知圆，在函数的图象中，仅有一个最高点与一个最低点在圆内或在圆上，则的取值范围为__________.【答案】【解析】因为，所以是函数的一个对称中心，圆的圆心为，半径为，由对称性可知，要使的图象仅有一个最高点与一个最低点在圆内或在圆上，只需满足直线右边的第一个最值点在圆内或在圆上，第二个最值点在圆外，由正弦函数性质可知，函数的周期，所以函数在直线右边的第一个最值点为，第二个最值点为，所以，结合解得，即的取值范围为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.有一个翻牌游戏，规则如下：每一轮翻牌两次，每次翻出花色牌的概率为，且每次翻牌相互独立.若参与者在一轮翻牌游戏中，翻出的花色牌数不少于1，则获得一份精美礼品（多次参与可获得多份精美礼品）.（1）若甲参与一轮翻牌游戏，求甲获得一份精美礼品的概率；（2）若乙参与三轮翻牌游戏，设乙获得的精美礼品数量为，求的分布列与期望.解：（1）甲获得一份精美礼品的概率为.（2）由题意得，则，，，，所以的分布列为0123.16.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，为的中点.（1）证明：.（2）已知，直线与平面所成角的正切值为.①求；②求异面直线与所成角的余弦值.（1）证明：底面是矩形，.平面，平面，.，平面，平面，平面.平面，.（2）解：①如图，连接，设，.平面，直线与平面所成的角为.易得，，得.②方法一：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，则，，，，，得.异面直线与所成的角为锐角，异面直线与所成角的余弦值为.方法二：如图，分别取，的中点，，连接，，，，.，异面直线与所成的角为（或的补角）.，平面，平面.平面，平面，，.设，则.易得，，，，得，.在中，.异面直线与所成的角为锐角，异面直线与所成角的余弦值为.17.已知的内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若的面积为，求的最小值.解：（1）因为，所以，由两角和差的余弦公式得，则，由正弦定理得，因为，所以，可得，解得.（2）由三角形面积公式得，因为的面积为，所以，化简得，由余弦定理得，则，可得，由基本不等式得，当且仅当时取等，得到，解得，即的最小值为.18.已知函数.（1）若，求的单调区间.（2）已知函数有两个极值点.①求的取值范围；②若不等式恒成立，求的取值范围.解：（1）当时，，函数定义域为，，令，即，解得或；令，即，解得，故的单调递增区间为，，单调递减区间为；（2）①由题意得，，因为函数有两个极值点，又，故有两个不等的正实数根；令，则，则即为，则有两个大于1的不等实数根，故，解得；故的取值范围为；②可变形为，结合①可知，即，，则不等式恒成立，即为在时恒成立，由，即得，令，则，则在上单调递减，故，故.19.已知点在椭圆：上，且的长轴长为短轴长的2倍.（1）求的方程.（2）若，是上关于原点对称的两个点，为上一动点，直线，的斜率均存在，且分别设为，，判断是否是定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.（3）已知过点，且斜率不为0的直线与交于，两点，弦的中点为，直线（为坐标原点）与交于，