2025-2026学年湖北省武汉市江岸区九年级（上）期中数学试卷

2025・2026学年湖北省武汉市江岸区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）一元二次方程5f-3x-1=（）的一次项系数、常数项分别可以是（）

A.-3,1B.-3.-1C.3,-1D.5,1

2.（3分）中国占算诗词歌赋较多.占算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪

漫形式.下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其

中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（）

3.（3分）抛物线y=4（x-3）2+7的顶点坐标是（）

A.（3,7）B.（-3,7）C.（3,-7）D.（-3,-7）

4.（3分）方程/+x-6=0的根的情况正确的是（）

A.有一个实数根

B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根

D.没有实数根

5.（3分）在直角坐标系中，点尸（4,5）,以点P为圆心，则QP与y轴的位置关系为（）

A.相离B.相切

C.相交D.相交或相切

6.（3分）已知点P（2025,w）与点0（〃，-2026）关于原点O对称（）

A.1B.-1C.4051D.-4051

7.（3分）中，ZC=90°,AC.4C的长是方程3x+l=0的两根，则48的长为（）

第1页（共25页）

A.2B.3C.V5D.V7

8.（3分）飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间“单位：秒）的函数关系式是5=-1.8尸+72人飞

机着陆后滑行（）秒才能停止.

A.18B.20C.40D.72

9.（3分）如图，正方形内接于。0,点E是前，BE=\FZ，CE=2,DE,则的面积为（）

A.V2+2B.5C.6D.272+4

10.（3分）在平面直角坐标系中，抛物线），=加-4ax（a#0）,直线y=qx.过点尸（30）作x轴的垂

线，交直线y=ar于点M在点产从原点O运动到点0（3小0）,MN的长随。产的长的增大而增大，

则。的取值范围为（）

A.々W!且"WOB.且C.且4KoD.且

263

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11.（3分）关于x的一元二次方程/+31+〃=0有一个根为x=2,则％的值为.

12.（3分）己知点力（1,），1）,4（2,/）在二次函数丁=/+2什。的图象上，则》,”的大小关系为.（用

“V”连接）

13.（3分）某校九年级要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两班级之间赛一场），计划安排28场

比赛，请依据题意列出方程（化为一般式）：.

14.（3分）如图，△力8C是。。的内接三角形，Z/i=29°,将△力8C绕力点顺时针方向旋转，旋转后的

三角形为△/夕C（点8与点夕对应，点。与点C'对应），则/以）=.

15.（3分）二次函数），=〃/+属+3（〃工0）,其图象经过点（4,3）,则下列说法:

①该函数图象过点（（），3）：

②附＞0；

第2页（共25页）

③若点（1+〃3〃）在该函数图象上，则（3・/〃，〃）也在该函数图象上；

④当3WxW4时，y只有3个整数值，则2-WaV1或-1VaW-2.

33

其中正确的是（填序号）.

16.（3分）如图，在Rt△48C中，ZACB=90°，点。为边8。上一点，点£为4。的中点，将EF绕E

点顺时针旋转120。得到EG,连CG,BF=6,则CG长为.

三、解答题（共8小题，共72分）

17.（8分）解方程：，-2广8=0.

18.（8分）如图，某小区有一块长16〃?，宽10机的矩形场地，其余部分种草，如果使草坪部分的总面积

为135〃户，求小路的宽.

19.（8分）己知抛物线：y=kx2-3.r-1.

（1）若抛物线与x轴只有一个公共点，则上的值为

（2）若抛物线交x轴于点/Cxi»0）,B（也，0）,当XI+X2=-3时.

①则”的值为，抛物线的对称轴为直线；

②若直线丁=〃与该抛物线有公共点，则〃的取值范围为

20.（8分）如图，力8是。。的直径，点C、D、E在。。上，CD=DB=BE，BC交力D于点G.

（1）求证：AD±CE；

（2）若点G为中点，AF=2,求力。的长.

第3页（共25页）

21.（8分）如图是由小正方形组成的6X5网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△力8C三个顶点都是格

点.仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题

（1）在图1中，画线段40,使4。平分的面积;

图1图2

22.（10分）某校无人机兴趣小组开展以“无人机匕行路线”为主题的综合实践活动，在电脑上进行模拟

飞行测试.

研究背景如图是一个东西走向近似于抛物线的山坡，以地面的东西方向为x轴，西侧的坡底为原点建

平面直角坐标系丫「奇乂2噌x・在此平面进行无人机模拟飞行.

收集数据无人机从坡底。点左侧的点E起飞，沿山坡由西向东飞行，飞行轨迹可以近似看作抛物线的

一部分，x（米）2（米）记录的部分数据如下：

X•••01015303550•••

•••253254()45400325•••

99

探索发现数学小组借助计算机画图软件，发现飞行轨迹可以近似看作抛物线的一部分.

建立模型求”与x的函数解析式（不要求写自变量取值范围）.

模型应用

（1）当无人机飞行的水平距离为35米时，求无人机到山坡的竖直距离4

（2）由于山坡上有障碍物，无人机不能离山坡过近.当无人机与山坡的限直距离大于15米时，无人机

飞行才是安全的，并说明理由.

第4页（共25页）

问题背景如图1,将C力绕点C逆时针旋转90°得到线段C£,作EOJL8C于点D&CQ；

问题探究如图2,将。绕点。逆时针旋转90°得到线段CE,连接4E,求证：BH=CH；

问题拓展如图3,将YC绕点4逆时针旋转90°得到线段力M,连BM,连NP,若AB=近,则种

24.（12分）如图，抛物线。：J=4F-4G+C与x轴交于4,8两点，力8=8（0,-3）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点C的直线丁=当-3与x轴交于点。，点Q为y轴右侧的抛物线上一点，且点E'落在y轴

4

上，求点P的横坐标；

（3）如图2,将抛物线Ci向左平移2个单位得到抛物线C2,不过原点的直线/1与抛物线C2交于点

交y轴的正半轴于点尸，直线，2〃八，直线匕和抛物线。2有且只有一个公共点N,若CF=CM+4,请你

证明直线MN恒过定点

第5页（共25页）

2025-2026学年湖北省武汉市江岸区九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

题号12345678910

答案BDACBADBCB

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）一元二次方程5?-3x-1=0的一次项系数、常数项分别可以是（）

A.-3,1B.-3，-1C.3,-1D.5,1

【解答】解：一元二次方程5/-7x-1=0的一次项系数、常数项分别可以是-8,

故选：B.

2.（3分）中国古算诗词歌赋较多.古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪

漫形式.下列分别是一占算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其

中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（）

【解答】解：A.既是中心对称图形，故木选项不符合题意;

B.既是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C.不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D.既不是中心对称图形，故本选项符合题意.

故选：D.

3.（3分）抛物线y=4（x-3）2+7的顶点坐标是（）

第6页（共25页）

A.(3,7)B.(・3,7)C.(3,-7)D.(-3,-7)

【解答】解：・・？=4（x-3）3+7为抛物线的顶点式,

・•・抛物线的顶点坐标为（3,5）.

故选：A.

4.（3分）方程f+x・6=0的根的情况正确的是（）

A.有一个实数根

B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根

D.没有实数根

【解答】解：f+x-6=7,

VA=12-7X1X(-6)=25>8,

••・方程有两个不相等的两个实数根.

故选：C.

5.（3分）在直角坐标系中，点尸（4,5）,以点P为圆心，则0P与y轴的位置关系为（）

A.相离B.相切

C.相交D.相交或相切

【解答】解：•・•点尸（4,5）,

点夕到y轴的距离为7,

•••以点尸为圆心，4为半径作QP，

，OP与y轴的位置关系为相力，

故选：B.

6.（3分）已知点尸（2025,w）与点。（〃，-2026）关于原点。对称（）

A.1B.-1C.4051D.-4051

【解答】解；•・•点〃（2025,〃力与点。（〃，

Aw=2026,n=-2025,

故〃?+〃=2026-2025=1.

故选：A.

7.（3分）△力8c中，ZC=90°,AC.4c的长是方程，-3行1=0的两根，则的长为（）

A.2B.3C.V5D.V7

【解答】解：根据题意，得*C+6c=3,

第7页（共25页）

所以由勾股定理，得/B2={C7+BC2=（AC+BC）2-3AC*BC=32-2=7.

所以

故选：D.

8.（3分）飞机着陆后滑行的距离$（单位：米）与滑行的时间“单位：秒）的函数关系式是$=7.8P+72/.飞

机着陆后滑行（）秒才能停止.

A.18B.20C.40D.72

【解答】解:由题意得，s=-1.8/8+72/,=-1.8（Z2-40什40（）-400）

=-1.8（/-20）7+720,

・••当f=20秒时,飞机才能停下来.

故选：B.

9.（3分）如图，正方形48co内接于OO,点E是前，CE=2,DE,则△/£>£的面积为（）

A.V2+2B.5C.6D.2a+4

【解答】解：如图，连接04OD,在4E上取一点T,连接87,使得CE=C0.过点/作4H_LQE

于点

•・•四边形力8CO是正方形，

；./AOB=/AOD=90°,ZABC=ZBCD=90a,

AZAEB=ZAED=ZDEC=45°,

BT=BE,

:.NBTE=NBET=45°,

:・NEBT=NABC=90°,

，/ABT=/EBC,

第8页（共25页）

,:BA=BC,BT=BE,

:•△BAT94BCE(SAS),

:.AT=CE=2,

ET=V^8E=5,

：.AE=4,

:.AH=EH=2娓,

同法可知DE=DQ+QE=a+2/芯,

••.△ADE的面积=L・QE・/1H=LX3V2V2=8.

72

故选：C.

10.(3分)在平面直角坐标系中，抛物线y=ar2_4or(a*0),直线过点P(f,0)作x轴的垂

线，交直线y=ax于点N,在点尸从原点。运动到点。(3%0),A/N的长随。夕的长的增大而增大，

则。的取值范围为()

A.aW工且aWOB.且〃WOC.且。去0D.〃W2且“H0

263

【解答】解：当点尸从点O运动到点4(3m0)的过程中，

•.•PW_Lx轴，P(/,

:•XM=XN=I，

将x=Z代入y=ax7-4ax,可得/=白尸-^at,

即M(/♦at2,-4at)>

将x=/代入y=ax,可得歹=G,

即N(f,at),

•••MER4-4aLS|="-3k|,

令MN=0,即at1・3af=0,

解得t=0或f=2,

若a>0,可有3a>4,如图，

第9页(共25页)

y八

若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随/的增大而增大,

则3Y小,

3

解得“W旦,

6

・・.5V4W互;

6

当，＞6时，可有户-5或其图象开口向上，对称轴为直线4=反:

2

当Y0时，可有MN=-d+5”其图象开口向上，对称轴为直线x=豆,

6

若MN的长随OP的长的增大而增大，即A/N的长随t的减小而增大,

则

6

解得旦,

6

第10页（共25页）

・・・QV3,

综上所述，。的取值范围为aW回.

6

故选：8.

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11.（3分）关于x的一元二次方程/+3叶太=0有一个根为x=2,则上的值为70.

【解答】解：・・X的元二次方程/+3人乜=8有个根为x=2,

.•・4+7+k=0,

解得k=-10.

故答案为：-10.

12.（3分）已知点力（1小），夙2,.丹）在二次函数旷=X2+2/。的图象上，则尸,歹2的大小关系为V.（用

“V”连接）

【解答】解：二次函数的对称轴为X=-互=-2,

2a4

由二次函数y=/+a可得抛物线开口向上，对称轴为y轴，

V|1-（-5）|<|2-（-1）|f

故答案为：V.

13.（3分）某校九年级要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两班级之间赛一场），计划安排28场

比赛，请依据题意列出方程（化为一般式）：x2-r56=（）.

【解答】解：由题意得：工［x-3）=28,

2

整理得：x27-56=0,

故答案为：?-x-56=0.

14.（3分）如图，△48。是。。的内接三角形，Z/i=29°,将。绕4点顺时针方向旋转，旋转后的

三角形为△/1"C'（点，与点）对应，点C与点C'对应），则NC/也'=27°.

第11页（共25页）

B

个,

•・•点c'落在00上，

，四边形4BCC为OO的内接四边形，

・・・N8+N4CC=180°.

•；NBAC=29°,N4C8=33°,

AZ^=180°-ABAC-ZJC^=118°,

AZACC=62<>.

•・•将△/8C绕力点顺时针方向旋转，旋转后的三角形为△48,C,

:・NB'AC=NBAC=29°,AC=AC,

/.ZJCC=ZJCC=62°,

・・・NG4C=1800-ZACC-ZJCC=56°,

：.^CAB'=ACAC-Z^C=27°.

故答案为：27°.

15.（3分）二次函数），=。/+&+3（aWO）,其图象经过点（4,3）,则下列说法:

①该函数图象过点（0.3）：

②M>0；

③若点（1+m,〃）在该函数图象上，则（3-〃?，〃）也在该函数图象上；

④当3WxW4时，y只有3个整数值，则2，V1或-1〈心-2.

33

其中正确的是①⑶④（填序号）.

2

【解答】解：x=0时，y=ax-i-bx+l=3t

・•,该函数图象过点（0,6）：

•・•函数的图象经过点（0,3）,4）,

••・抛物线的对称轴为直线工=如邑2,

5

工-互=4,

2a

.・.a/）V0,故②错误：

第12页（共25页）

»»l+m+4-in—2

工点（4+机,〃）和（3-m,

・•・若点（1+机，〃）在该函数图象上，〃）也在该函数图象上;

8a

:・b=-4a,

，二次函数y=ad-4av+3,

•・•当3WxW4时，y只有3个整数值，

・•・当”>6时，y的3个整数值为1,4,3,

，x=3时，2VjWl,

.\0<5a-12o+3Wl,

解得反W〃VI,

3

当。<3时,，），的3个整数值为3,3,5,

・•・x=3时，8WyV6,

J5W7a・12a+3V6,

解得-4VQW-2,故④正确.

3

故答案为：①③④.

16.（3分）如图，在RtZ\4?C中，N1C8=90°,点。为边8C上一点，点£为4。的中点，将E尸绕E

点顺时针旋转120°得至IJEG,连CG,BF=6,则CG长为6・2雨.

在中，80=4,

第13页（共25页）

・•・DH=X5D=27BD2-DH8=2^3，

6

YBF=8,

:,FH=6-2戈，

•・,£为4。中点，

・••在RtZXXCO中，CE=4E=ED=L

2

在RtZ\/〃O中，EH=AE=ED=LQ,

2

：,EA=EH=EC=ED,

・"、C、D、〃四点共圆，

AZCEH=2ZCAB=120<,,

•:EF绕E点顺时针旋转120°得到EG,

.*.ZGEF=120°,EG=EF,

・•・ZCFG=ZFF/7=120°-NGEH,

在△ECG和中，

rEC=EH

<NCEG=/HEF，

EC=EH

:.△ECGqAEFH(S/1S),

：.CG=F/I=5-2^3.

故答案为：5-2百.

三、解答题(共8小题，共72分)

17.(8分)解方程：f・2x・8=0.

【解答】解:(x-4)(x+2)=3,

x-4=0或x+8=0,

所以Xi=8,X2=-2.

18.（8分）如图，某小区有一块长16〃?，宽1（加的矩形场地，其余部分种草，如果使草坪部分的总面积

为135〃汽求小路的宽.

第14页（共25页）

【解答】解：设小路的宽为初?，则其余部分可合成长为（16-x）m,

根据题意得：（16（10・x）=135,

整理得：x2-26x+25=0,

解得：X2=LX2=25（不符合题意，舍去）.

答：小路的宽为8m.

19.（8分）已知抛物线：y=kx1-3x-1.

（1）若抛物线与x轴只有一个公共点，则A的值为_二2一:

4

（2）若抛物线交x轴于点力（X1，0）,B（12,0）,当用+工2=-3时.

①则人的值为7，抛物线的对称轴为直线A=--1-_;

②若直线丁=〃与该抛物线有公共点，则〃的取值范围为运豆_.

4

【解答】解：（1）根据题意得女工0且4=（・3）7・4kX（-1）=8,

解得k=-a；

4

故答案为：-工；

4

（2）①•・•抛物线交x轴于点4（用,7）,B（X2,0）,

...一元二次方程履3・3x-1=7的两个根为XI，必

Vx8+x2=--^-=-4,

k

：,k=-I,

抛物线的对称轴为直线X=-二工，

3k

即直线x=-S；

2

故答案为：-6,x=--：

2

②・・•抛物线），=-A4-3A--1与直线歹=〃有公共点，

工一元二次方程・4・3x・1=〃有实数解，

整理得9+3K〃+1=2,

AA=32-6（n+1）20,

解得〃W旦,

4

即〃的取值范围为〃W旦.

2

笫15页（共25页）

故答案为：〃W旦.

4

20.（8分）如图，相是。0的直径，点C、D、£在。。上，CD=DB=BE，4c交4。于点G.

（1）求证：ADLCEx

（2）若点G为力。中点，AF=2,求力。的长.

【解答】（1）证明：如图1,连接0。交8C于点M,

D

图1

,.⑥每

：.OD±BC,

，ND，WG=90°,

VBE=BD，

:・NBCE=NBAD,

'：OA=OD,

；・NBAD=/ADO,

JZADO=ZBCE,

ZDGM=ZCGH,

:・NCHG=NDMG=90°,

J.ADA.CE；

(2)解：如图2,连接。。交AC于点M,

第16页（共25页）

图2

•・・45是O。的直径，

:・/ACB=NADB=90°,

VCD=BD.

；・NC4D=NB4D,

•；NAHC=NAHF=90°,AH=AH,

:•△AHC妾AAHF(ASA),

：.AC=AF'=7,

•・•点G为中点,

：.AG=DG,

•:NAGC=/DGM,N/CG=NQMG=90°,

:.4ACG义/\DMG(44S),

:,DM=AC=2,

^ODLBC,

:・CM=BM,

*：AO=OB,

：.OM是△/出。的中位线，

・・・OM=LC=I,

8

・・・OZ)=2i3=3,

•・Z8=2OO=8,

由勾股定理得：BC—VAB2-AC2=^52-28=>

:・BM=^C=2虫,

2

RtZ\OM4中，BD=V224-(8A/2)2^7»

第17页（共25页）

中，^=7AB2-BD2=V22-(2A/6)2A^-

21.（8分）如图是由小正方形组成的6X5网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△力8C三个顶点都是格

点.仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题

（1）在图1中，画线段8。，使8。平分△48C的面积；

（2）在图2中，作点4关于,4C的对称点凡过点尸作入7〃力8交/C于点G.

图1图2

（2）如图2中，点凡

22.（10分）某校无人机兴趣小组开展以“无人机飞行路线”为主题的综合实践活动，在电脑上进行模拟

飞行测试.

研究背景如图是一个东西走向近似于抛物线的山坡，以地面的东西方向为x轴，西侧的坡底为原点建

平面直角坐标系y]:磊^2噜X・在此平面进行无人机模拟飞行.

收集数据无人机从坡底。点左侧的点8起飞，沿山坡由西向东飞行，飞行轨迹可以近似看作抛物线的

一部分，x（米）2（米）记录的部分数据如下：

X•••01015303550•••

•••253254045400325•••

9~9~9

探索发现数学小组借助计算机画图软件，发现飞行轨迹可以近似看作抛物线的一部分.

第18页（共25页）

建立模型求”与X的函数解析式（不要求写自变量取值范围）.

模型应用

（1）当无人机飞行的水平距离为35米时，求无人机到山坡的竖直距离小

（2）由于山坡上有障碍物，无人机不能离山坡过近.当无人机与山坡的竖直距离大于15米时，无人机

飞行才是安全的，并说明理由.

【解答】解：建立模型：由题意，观察表格数据，户均为等,

，抛物线对称轴为直线x=30.

・•・顶点为（30,45）.

・•・可设抛物线顶点式为：2

y8=a（X-30）+45»

，代入x=0,.4=25,则25=。（0-30）2+45.

・・.a=-且.

45

2

・•・”的函数解析式为：Y=-^.（X-30）+45-

245

模型应用：

（1）当x=35时，则y广一（35-30）2+45=-第+45;空必

445459

_1-2d9.,_1225,665_595

九一万XVQ3f5宝XVQ35--WF-五，

・•・无人机到山坡的竖直距离为则-y1=驷-&至=11运〜19.65（米）.

92472

（2）无人机此次模拟飞行安全，理由如下：

设竖直距离为4=泗-巾，

d=（-犷++25）-（磊噜x尸志x525’

;此函数为开口向上的二次函数（/焉•〉（）），

2_

b4

・•・最小值在顶点处：顶点横坐标x=+=―生丁=45.

2X360

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工代入x=45,则d=」-x432,X45+25,

3607

工无人机飞行时竖直距离始终大于15米，飞行安全.

23.（10分）如图，△48C中，ZABC=45°.

问题背景如图1,将C力绕点C逆时针旋转90°得到线段CE,作EQ_L8C于点

问题探究如图2,将。绕点C逆时针旋转90"得到线段CE,连接力区求证：8〃=C〃；

问题拓展如图3,将力C绕点/逆时针旋转90°得到线段/Ml,连迩NP,若月笈=亚，贝ijNF=

V2_.

【解答】（1）证明：作力K_LEC于点K,

:・/AKB=/AKC=90°，

•；NB=45°,

•••△48K是等腰直角三角形，

:,AK=BK,AB=V2AK.

〈ED±BC于点、D,

:・NEDC=NAKC=NACE=90°,

・•・NACK+NDCE=NE+NDCE=90°,

・•・NACK=/E,

•；CA=CE,

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:.△ACK9XCED(AAS),

：,AK=CD.

AAB=V2AK=V5CD.

(2)证明：连接W,作力K_L8C于点K.

♦・1"_L4c于点〃，

:,NG=NGKH=NFHK=90’,

・•・四边形R7KH是矩形，

•；G4=CE,ZACE=90°,

；・AF=CF=EF,ZAFC=90°,

：.ZG=ZAFC=9QQ,ZGAF=ZHCF,

:AAGFmXCHF(AAS)t

：.AG=CH,FG=FH,

••・矩形产GKH是正方形，

:,KG=KH,

:・AK+KG=BK+KH,

：,AG=BH,

:.BH=CH.

(3)解：作4/_L8C于点〃，过M作于点E,

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则/4〃C=N40M=9O°,

VAB=>/2»ZABC=45°,

：,AH=BH=1,C1/=BC=BH=5,

由题可知力C=4W,NC4"=9()°,

••・NC4M=NQ4H,

：.ZCAH=ZMAQ=900-ZPAQt

:•丛AHC叁丛AQM(AAS),

：.AH=AQ=\,MQ=CH=2,

・•・四边形XQE”为正方形，

,:EH=EC=2,AP=CP,

:,PE是△力C〃的中位线，即PE//AH,

'：ME//AH,且夕后=工曲.

2

・••点M、Q、P、E四点共线，

延长BA交MQ于点。，

•；NBAH=N4DQ,NAHB=NAQD,

:•△BHAmAAQD(AAS),

:,BD=AD,DQ=AH=1,

则DM=DQ=1,

'：BN=NM,

:.NA是ABMD中位线，

:.NA〃DM,=

52

・••点N、A."三点共线，

过P作P/UNH于点F,

则PF=i.CH=l，