2025-2026学年北师大版九年级数学上学期期末必刷常考题之一元二次方程

2025・2026学年上学期初中数学北师大新版九年级期末必刷常考题之一元

二次方程

一.选择题（共7小题）

I.（2025秋唱平区期中）将二次函数y=V-6r+4化成（x-〃）2+*QW0）的形式，下列结论中正

确的是（）

A.y=（x-3）2+4B.y=（x+3）2-5

C.），=（x-3）2-5D.>>=（x-6）2+4

2.（2025秋♦碧江区期中）如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有

两条.除道路外，剩下的是种植面积.已知该矩形基地的长为40米，宽为24米，种植面积为520平方

米，设修建的路宽为x米，根据题意可列方程为（）

A.(24-2r)(40-2x)=520B.(24-x)(40-x)=520

C.(24-x)(40-2x)=520D.(24-2x)(40-x)=520

3.（2025秋•固安县期中）若方程一+3户1=0是关于k的一元二次方程，则〃的值不可能是（）

A.-2B.0C.2D.4

4.（2025秋•南开区期中）已知关于x的一元二次方程»-2x+加-1=0无实数根，则一次函数y=x+〃?的

图象一定不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.（2025秋•西丰县期中）将方程*-4.r+3=0配方后所得的方程正确的是（）

A.（户2）2=7B.（x-2）2=4C.（x-2）2=7D.（x-2）2=1

6.（2025•湖北）一元二次方程v-4.计3=0的两个实数根为川，4，下列结论正确的是（）

A..11+也=-4B.XI+A2=3C.XI%2=4D.XI%2=3

7.（2025•石林县校级模拟）“少生强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，

进一步推动学校体育活动的健康发展，以赛促练.我县计划组织初中学生篮球赛，若首轮进行单循环赛

（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有『个队参赛，根据题意，下面所列方程正

确的是（）

A.A-(x+1)=28B.x(x-1)=28

11

C.-x（x+1）=28D.-%（x—1）=28

二.填空题（共6小题）

8.（2025秋•山阳县期中）已知关于x的一元二次方程，-2x+，〃=0的一个整数解是3,则m的值

为.

9.（2025秋•潮阳区期中）若元二次方程/十6八-1=0经过配方，变形为Q十〃。？=〃的形式，则〃的

值为.

10.（2025秋•长治期中）若一元二次方程?-3xU=0有两个不相等的实数根，则太的取值范围

是.

11.（2025秋•兴庆区校级期中）为积极响应国家“双减政策”，某中学2022年第三季度平均每周作、也时长

为500分钟，经过2022年第四季度和2023年第一季度两次整改后，平均每周作业时长为320分钟.则

每季度平均每周作业时长的下降率为.

12.（2025•南关区校级三模）若关于x的方程.P-2_r+a=0有两个相等的实数根，则实数。的值是.

13.（2025•苏州）已知xi，X2是关于x的一元二次方程?+2A-w=0的两个实数根，其中用=1,则x2

三,解答题（共3小题）

14.（2025秋•碧江区期中）解下列方程.

（1）f+lOx-2=0；

（2）x（x-5）-（x-5）=0.

15.（2025秋•固安县期中）己知关于x的一元二次方程.1-（K+2）x+2k=0.

（1）求证：出取任何实数值，方程总有实数根；

（2）当攵=4时，若△ABC的一边长。=3,另两边长江c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长.

16.（2025秋•重庆期中）某海鲜排档购进一批大龙虾和海胆，它们的进货单价之和是360元.大龙虾的零

售单价比进货单价多40元，海胆的零售单价比进货单价的1.5倍少60元，按零售单价购买2只大龙虾

和4个海胆，共需要1200元.

（1）求大龙虾和海胆的进货单价；

（2）该海鲜排档平均每天卖出20只大龙虾和12个海胆.经调查发现，大龙虾的零售单价每降低5元，

平均每天就可多售出10只，海鲜排档决定把大龙虾的零售单价下降。（«>0）元，海胆的零售单价和

销量都不变，在不考虑其他因素的条件下，当〃为多少时，海鲜排档每天销售大龙虾和海胆获取的总利

润为1490元？

2025-2026学年上学期初中数学北师大新版九年级期末必刷常考题之一元

二次方程

参考答案与试题解析

一,选择题(共7小题)

题号1234567

答案CCBDDDD

一.选择题(共7小题)

1.(2025秋•昌平区期中)将二次函数)，=?-6/4化成(x-人)?+k(a#0)的形式，下列结论中正

确的是()

A.y=(x-3)2+4B.y=(x+3)2-5

C.)，=(x-3)2-5D.(x-6)2+4

【考点】配方法的应用.

【专题】配方法；运算能力.

【答案】C

【分析】利用配方法将)，=/-6工+4转换即可.

【解答】解：y=7-6x+4

=7-6A+9-9+4

=(x-3)2-5,

那么将二次函数-6x+4化成y=a(x・/?)2+k(aWO)的形式为y=(x-3)2-5,

故选：C.

【点评】本题考查配方法的应用，熟练掌握配方的方法是解题的关键.

2.(2025秋•碧江区期中)如图.在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有

两条.除道路外，剩下的是种植面积.已知该矩形基地的长为40米，宽为24米，种植面积为520平方

米，设修建的路宽为x米，根据题意可列方程为()

h----------40米------H

24米

A.(24-2x)(40-2x)=520B.(24-x)(40-x)=520

C.(24-x)(40-2t)=520D.(24-2r)(40-x)=520

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】C

【分析】设修建的路宽为x米，利用图形的平移法，将种植面积平移拼接为长方形，即可列出方程.

【解答】解：根据题意可列方程为(24-x)(40-2x)=520.

故选：C.

【点评】本题考查一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键.

3.(2025秋•固安县期中)若方程^是关于x的一元二次方程，则。的值不可能是()

A.-2B.0C.2D.4

【考点】一元二次方程的定义.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】B

【分析】注意：只含有一个未知数,并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程.根

据一元二次方程的定义判断即可.

【解答】解：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程.

若方程aP+3x+l=0是一元二次方程，则。的值不可能是0.

故选：B.

【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，

4.(2025秋•南开区期中)已知关于x的一元二次方程7-2X+〃L1=0无实数根，则一次函数y=x+〃?的

图象一定不经过()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【考点】根的判别式；一次函数的性质.

【专题】一元二次方程及应用；应用意识.

【答案】。

【分析】先利用根的判别式的意义得到4=(-2)2-4(〃?-1)<0,解不等式得到的取值范围，

然后根据一次函数的性质解决问题.

【解答】解：根据题意得：△=(-2)2-4(m-1)<0,

解得

所以一次函数y=x+〃?的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限.

故选：D.

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ad+Zu:+c=O(aWO)的根与△=户・4〃c有如下关系：

当A>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=()时，方程有两个相等的实数根；当八<0时，方程

无实数根.也考查了一次函数的性质.

5.(2025秋•西丰县期中)将方程，-4x+3=0配方后所得的方程正确的是()

A.(x+2)2=7B.(x-2)2=4C.(x-2)2=7D.(x-2)2=I

【考点】解一元二次方程・配方法.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】D

【分析】根据配方法解一元一次方程的步骤对所给一元二次方程进行变形即可.

【解答】解：由题知，

x2-4x+3=0,

x2-4x+4=-3+4,

(x-2)2=1.

故选：D.

【点评】本题主要考查了解一元二次方程-配方法，熟知配方法是解题的关键.

6.(2025•湖北)一元二次方程f-4x+3=0的两个实数根为N，*2，下列结论正确的是()

A.xi+x2=-4B.XI+J2=3C.X\X2=4D.X\X2=3

【考点】根与系数的关系.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力；推理能力.

【答案】。

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，直接求解即可.

【解答】解：根据一元二次方程根与系数的关系，»-4,计3=0,

a=I,b=-4,c=3,

・b“cr

•・X|+X2=一0=4,X\*X2=-=3»

故选：O.

【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握该知识点是解题的关键.

7.(2025•石林县校级模拟)“少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性,

进一步推动学校体育活动的健康发展，以赛促练.我县计划组织初中学生篮球赛，若首轮进行单循环赛

（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正

确的是（）

A.x（x+1）=28B.x（x-1）=28

11

C.-x（x4-1）=28D.-x（x-1）=28

【考点】由实际问题抽象山•元二次方程.

【专题】一元二次方程及应用；应用意识.

【答案】。

【分析】利川首轮需要安排比赛的总场数=参赛队伍数X（参赛队伍数-1）+2,即可列出关于x的一

元二次方程，此题得解.

1

【解答】解：根据题意得：-x（x-l）=28.

故选：D.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的

关键.

二.填空题（共6小题）

8.（2025秋•山阳县期中）已知关于x的一元二次方程7-2什〃?=（）的一个整数解是3,则机的值为-3.

【考点】一元二次方程的解.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】-3.

【分析】将已知的整数解x=3代入一元二次方程，直接求解机的值.

【解答】解：由条件可得32・2X3+〃?=0,

9-6+加=0,

3+6=0,

解得m--3.

故答案为：-3.

【点评】本题考杳一元二次方程的解，掌握知识点是解题的关键.

9.（2025秋•潮阳区期中）若一元二次方程/+6x-1=0经过配方，变形为（x+〃?）2=〃的形式，则〃的

值为10.

【考点】解一元二次方程-配方法.

【专题】一元二次方程及应用.

【答案】10.

【分析】由方程知，只要加上一次项系数一半的平方，再减去这个数即可完成配方.

【解答】解：由题意得：

»+6x-1=0,

/+6犬+9-9-1=0,

即（x+3）2=10.

；・〃=10.

故答案为：10.

【点评】本题主要考查了配方法的应用，掌握其相关知识点是解题的关键.

10.（2025秋•长治期中）若一元二次方程f-3x+k=o有两个不相等的实数根，则♦的取值范围是kv

9

A.

【考点】根的判别式.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】k<l，

【分析】根据判别式的意义得到△=（-3）2-4Q0,然后解不等式即可.

【解答】解：根据题意得△=（-3）2-4Q0,

解得k，.

故答案为：k<T^.

【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，熟练掌握该知识点是关键.

II.（2025秋•兴庆区校级期中）为积极响应国家“双减政策”，某中学2022年第三季度平均每周作业时长

为500分钟，经过2022年第四季度和2023年第一季度两次整改后，平均每周作业时长为320分钟.则

每季度平均每周作业时长的下降率为20%.

【考点】一元二次方程的应用.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】20%.

【分析】设每季度平均每周作业时长的下降率为〃?,根据两次整改后作业时长的变化列出一元二次方程，

解方程并检验根的合理性.

【解答】解：设下降率为〃?，则整改后作业时长为原来的1・〃?倍.经过两次整改，

根据题意列一元二次方程得，500（1-m）2=320.

所以1一m=融1一m=（不符合题意，舍去），

41

因11■匕m=1—F=F=20%,

故答案为：20%.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式.

12.（2025•南关区校级三模）若关于％的方程『・2什。=0有两个相等的实数根，则实数。的值是J.

【考点】根的判别式.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据题意得出△=（）即可求出答案.

【解答】解：由于关于x的方程/-〃+。=0有两个相等的实数根，

:.A=房-4ac=4-4。=0,

解得。=1.

故答案为：1.

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程—+云+尸。（。70）的根与A-4ac有如下关系：

当A>0时，方程有两个不相等的实数根；当A=0时，方程有两个相等的实数根；当AV0时，方程

无实数根，熟记以上知识点是解题的关键.

13.（2025•苏州）已知X2是关于x的一元二次方程/+2x-m=0的两个实数根，其中M=l，则

-3.

【考点】根与系数的关系.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】利用根与系数的关系，可得出内+妆=-2,结合川=1,即可求出总的值.

【解答】解：•・"”也是关于X的一元二次方程/+2x-/〃=o的两个实数根，

/.X|4-X2=-2,

乂"»x\=1»

*»X2=~2-x\=-2-1=-3.

故答案为：-3.

【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程版+c=0(aWO)的两根之和等于一，'

是解题的关键.

三,解答题(共3小题)

14.(2025秋•碧江区期中)解下列方程.

(1)?+10A-2=0；

(2)x(x-5)-(A-5)=0.

【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】(1)与=-5+3V3,x2=-5-3V3；

(2)川=5,X2=1•

【分析】(1)利用配方法即可求解；

(2)利用因式分解法即可求解.

【解答】解：(1)原方程移项可得：

/+10%=2,

/+10工+25=2+25,

(x+5)2=27,

%4-5=3>/3B£X+5=-3A/3,

=—5+3A/3,乃=-5-3V5；

(2)原方程分解因式可得：

(x-5)(x-1)=0,

x-5=0或x-1=0,

/.XI=5>X2=1.

【点评】本题考查/解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的

关键.

15.(2025秋•固安县期中)已知关于工的一元二次方程7・(H2)x+2k=0.

(1)求证：女取任何实数值，方程总有实数根；

(2)当攵=4时，若△ABC的一边长a=3,另两边长Ac恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长.

【考点】根与系数的关系；根的判别式.

【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】（1）证明：-（―2）]2-4XlX2A

=必+4&+4-8k

=（h2）220,

・•/取任何实数值，方程总有实数根；

（2）ZSABC的周长是9.

【分析】（1）由方程的系数，结合根的判别式A=〃2-4〃c,可得出△=（A-2）22（），进而可证出：k

取任何实数值，方程总有实数根；

（2）将&=4代入原方程，可得出原方程为7-6户8=0,利用根与系数的关系，可得出加c=6,再结

合三角形的周长公式，即可求出结论.

【解答】（1）证明：•・•△=[・（R2）『-4X1X2攵

=F+4A+4-8A

=（k-2）220,

・•4•取任何实数值，方程总有实数根；

（2）解：当&=4时，原方程为--6汇+8=0,

•・》,c是这个方程的两个根，

:.Z?+c=6，

，4+/?+C=3+6=9.

答：△ABC的周长是9.

【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当A20时，方程有

两个实数根”；（2）牢记“一元二次方程o?+版+c=0（〃#0）的两根之和为一"两根之积等于

aa

16.（2025秋•重庆期中）某海鲜徘档购进一批大龙虾和海胆，它们的进货单价之和是360元.大龙虾的零

售单价比进货单价多40元，海胆的零售单价比进货单价的1.5倍少60元，按零售单价购买2只大龙虾

和4个海胆，共需要1200元.

（1）求大龙虾和海胆的进货强价；

（2）该海鲜排档平均每天卖出20只大龙虾和12个海胆.经凋查发现，大龙虾的零售单价每降低5元，

平均每天就可多售出10只，海鲜排档决定把大龙虾的零售单价下降。（«>0）元，海胆的零售单价和

销量都不变，在不考虑其他因素的条件下，当。为多少时，海鲜排档每天销售大龙虾和海胆获取的总利

润为1490元？

【考点】一元二次方程的应用：二元一次方程组的应用.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】(1)大龙虾进货单价为200元，海胆的进货单价为160元;

(2)15.

【分析】(1)设大龙虾的进货单价为x元，海胆的进货单价为)，元，根据题意列出二元一次方程组，解

方程组即可；

(2)根据海鲜排档每天销售大龙虾和海胆获取的总利润为1490元列出方程，解方程即可求解.

【解答】解：(1)它们的进货单价之和是360元.大龙虾的零售单价比进货单价多40元，海胆的零售

单价比进货单价的1.5倍少60元，设大龙虾的进货单价为x元，海胆的进货单价为y元，

(x+y=360

(2(%+40)+4(1.5y-60)=1200'

解得忧图，

答：大龙虾进货单价为200元，海胆的进货单价为160元：

(2)由题意得(200+40-a-200)(20+£x10)+12x(1.5x160-60-160)=1490,

解得41=42=15,

答：当。为15时，海鲜排档每天销售大龙虾和海胆获取的总利润为1490元.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用等知识.

考点卡片

1.二元一次方程组的应用

(-)列二元一次方程组解决实际问题的i般步骤：

(1)审题：找出问题中的己知条件和未知量及它们之间的关系.

(2)设元：找出题中的两个关键的未知最，并用字母表示出来.

(3)列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组.

(4)求解.

(5)检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答.

(二)设元的方法：直接设元与间接设元.

当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元.无论怎样设元，设几

个未知数，就要列几个方程.

2.一元二次方程的定义

(I)一元二次方程的定义：

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.

(2)概念解析：

一元二次方程必须同时满足三个条件：

①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；

②只含有一个未知数：

③未知数的最高次数是2.

(3)判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数。”未知数的最高

次数是2”；“二次项的系数不等于0"；“整式方程”.

3.一元二次方程的解

(1)一元二次方程的解(根)的意义：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是•元二次方程的解.又因为只含有•个未知数的方程的解

也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.

(2)一元二次方程i定有两个解，但不•一定有两个实数解.这是一元二次方程ad+bx+c=0(a/0)

的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量.

ax\2+bxi+c=0(aKO),av22+fe+c=0

4.解一元二次方程-配方法

（I）将一元二次方程配成（X+"）2=〃的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫

配方法.

（2）用配方法解一元二次方程的步骤：

①把原方程化为ad+Zu，+c=O（〃卉0）的形式；

②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方

程无实数解.

5.解一元二次方程.因式分解法

（I）因式分解法解一元二次方程的意义

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两

个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一

元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）.

（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得

到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解.

6.根的判别式

利用一元二次方程根的判别式（△=//-4比）判断方程的根的情况.

一元二次方程cur+bx+c=0（aW0）的根与△=/??-有如下关系：

①当△＞（）时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当△=（）时，方程有两个相等的两个实数根；

③当AVO时，方程无实数根.

上反的结论反过来也成立.

7.根与系数的关系

（I）若二次项系数为I，常用以下关系：XI，X2是方程』+〃户4=0的两根时，X|+X2=-p，=反过

来可得p=-（X1+X2），q=XlX2,前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系

数.

（2）若一次项系数不为1,则常用以下关系：XI，X2是一元一次方程a『+"+c=O（。手0）的两根时，X1