2025-2026学年人教A版高二数学上学期期末常考题之空间向量与立体几何

2025・2026学年上学期高二数学人教A版)期末必刷常考题之空间

向量与立体几何

一.选择题(共6小题)

1.已知平面a的法向量为2=(1,2,3),平面0的法向量为r=(2,m,6),若a〃仇则实数，〃的值

为()

A.-4B.4C.-10D.10

2.在空间直角坐标系中，4(2,3,5),B(3,1,4),贝iJ|A3|=()

A.V6B.6C.29D.A/29

3.已知向量蓝=(4,一3,2),n=(1/x,4),若蓝_L蔡，则x的值是()

A.-4B.-1C.1D.4

4.如图，在平行六面体ABC。-AIBICWI中，设2=心1，b=DBlt若％、b.1组成空间向量的一个基,

则"可以是()

C.BDD.BD1

5.给定四面体A8CD平面a满足：①A、B、C、。四个点均不在平面a上，也不在a的同侧；②若平

面a与四面体A8c。的棱有公共点，则该公共点一定是此棱的中点或两个三等分点之一.设A、8、C、

D四个点到平面a的距离分别为d<i=l,2,3,4),那么山的所有不同值的个数组成的集合为()

A.{\,2,3,4}B.{1,2,3)C.{1,2}D.{1}

6.已知空间向量Z,b,之满足Z+21+3"=G,向=3,|山二企，日|=1,则/W的值为()

2345

A.-3B.--TC.-D.—

3434

二.多选题(共3小题)

(多选)7.如图，平行六面体A8CO-AI8ICIDI中，以A为顶点的三条棱长均为1,且两两之间的夹角

都是60°,则下列说法中正确的是()

B.AC\LBD

C.向量8%与8；C的夹角是120°

V6

D.4。1与AC所成角的余弦值为三

J

(多选)8.以下说法正确的是()

A.设入。是两个空间向量，则之、5不一定共面

B.设。、匕是两个空间向量，则a•8=b・a

C.设2、b,展是三个空间向量，则：、b>"一定不共面

D.设；、b、1是三个空间向置，则之•(b+W)=1•b+；•2

(多选)9.已知空间向量2=(3,-2,2),b=(4,3,m),卜列说法止确的是()

A.若2a+匕=(10,—1,0),则/〃=-4

B.若a1b,则〃?=-3

C.若a在匕上的投影向量为孑b,则加只有一个实数解

D.若之与守的夹角为钝角，则〃»・3

三,填空题(共4小题)

10.在空间直角坐标系。冲z中，已知点A(0,2,-1),8(1,0,1),C(-1,4,-3),则几•品>=.

11.已知空间向量3=(1,0,1)，b=(2,-1,1),则向量之在向量5上的投影向量的坐标

是.

12.已知平面a的一个法向量为?1=(1,0,2),平面p的一个法向量为m=(-2,0,-4),则平面a

和平面B的位置关系是.

13,已知向量a=（1,-2,——2）,b=（加，3,—当—2）,若（a+b）_L（a—b）,则机的值为.

22--------

四,解答题（共2小题）

14.如图，直三棱柱48C-AiBiCi中，AC=BC=2,A4i=3,AC1BC,。是AC的中点，E,尸分别是棱

AAi,BB1上的点,A\E=BF=\.

（1）证明：60〃平面CEF；

（2）求平面人和平面CEF所成的二面角的止弦值.

15.如图，在四棱锥P-A8CO中，△以。为等边三角形，平面见O_L平面A8CD,CD±AD,AD//BC,

AD=CD=2BC=2,F为棱。8的中点，E为棱PD上一点、.

（1）求证：无论点E在棱的任何位置，都有CO_LAE成立；

（2）若E为尸。中点，求平面AE/与平面附。夹角的余弦值；

PG

（3）若E为尸。中点，在棱PC上是否存在点G,使得。G〃平面AEf?若存在，求右的值，若不存

1L

在，说明理由.

B

A

2025・2026学年上学期高二数学人教A版(2019)期末必刷常考题之空间

向量与立体几何

参考答案与试题解析

一,选择题(共6小题)

题号123456

答案BADBBA

二.多选题(共3小题)

题号789

答案ABCBDAB

一.选择题(共6小题)

I.已知平面a的法向量为2=(1,2,3),平面0的法向量为b=(2,m,6),若a〃仇则实数，〃的值

为()

A.-4B.4C.-10D.10

【考点】平面的法向量；空间向量语言表述面面的垂直、平行关系.

【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解.

【答案】B

【分析】由空间向量平行的坐标表示得结论.

【解答】解：因为平面a的法向量为2=(1,2,3),平面。的法向量为6=(2,m,6),

因为a〃仇所以a||b,则,=：=1

解得“2=4.

故选：B.

【点评】本题考查平面平行的性质的应用，属丁•基础题.

2.在空间直角坐标系中，A(2,3,5),B(3,1,4),则|A8|=()

A.V6B.6C.29D.V29

【考点】空间两点间的距离公式.

【专题】整体思想；综合法；空间位置关系与距离；运算求解.

【答案】A

【分析】根据空间两点间的距离公式求解即司..

【解答】解：A(2,3,5),8(3,I,4),

\AB\=J(2-3尸+(3-1尸+(5-4/=V6.

故选：A.

【点评】本题主要考查了空间两点间距离公式的应用，属于基础题.

3.已知向量m=(4,—3,2),九=(1,x,4),若7九1九，则x的值是()

A.-4B.-1C.1D.4

【考点】空间向量的数量积判断向量的共线与垂直.

【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解.

【答案】D

【分析】由云J•蓝得到蔡・7=0,利用坐标公式计算求解.

【解答】解：m1n,m=(4,—3,2),九二(1,x,4),

/.m-n=lx4—3x+4x2=0,.*.x=4.

故选：D.

【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题.

4.如图，在平行六面体A8CO-AIBICIOI中，设之二力入，b=DB^若盂、%、"组成空间向量的一个基,

则"可以是()

TTTT

A.BB、B.BC[C.BDD.BD^

【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示.

【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解.

【答案】B

【分析】根据空间向量基本定理求解.

【解答】解：由空间向量基本定理可知，空间中不共面的三个向量可以组成空间向量的一个基，

对于A,若c=BB],则。=c,

所以2b,"共面，故A错误；

对于B,若c=BCi，

因为晶I，DR不共面，所以会力、工组成空间向量的一个基，故8正确；

对于C,若c=BD,

则防1二而+而1=-BD+AAlt即1=-?+«,

所以六E,"共面，故C错误；

对于D,若c=BD],

—♦—♦TTTTTT—T

则8£）i=BB、+B、Di=AAr+B^D+DDr=2AAt+B、D=2G-b>

即c=2a—b,所以a,b,c共面，故。错误.

故选：B.

【点评】本题主要考查了空间向量的基本定理，属于基础题.

5.给定四面体A3CQ.平面a满足：①A、B、C、。四个点均不在平面a上，也不在a的同侧；②若平

面a与四面体A/3CO的棱有公共点，则该公共点一定是此楂的中点或两个三等分点之一.设A、4、C、

。四个点到平面a的距离分别为小（i=l，2,3,4）,那么小的所有不同值的个数组成的集合为（）

A.{1,2,3,4}B.{I,2,3}C.{1,2}D.{1}

【考点】空间中点到平面的距离.

【专题】分类讨论；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维.

【答案】B

【分析】根据题意，分类讨论，确定平面心的位置，结合点到平面的距离的定义，进行分析判断，即

可求解.

【解答】解：当平面a与四面体ABCO的三条棱的中点相交时，

不妨设平面a过棱A8,AC,AZ）的中点E,M,N,此时点A,B到平面a的距离相等，

且平面a〃平面8CQ,如图（1）所示，

此时9C,。到平面a的距离可能与A,8到平面a的距离相同，此时4•有I不同的值;

不妨设平面a过棱A3的中点£且过AC,AQ分别为的三等分点M,N时，

如图（2）所示，此时点4B到平面a的距离相等，且C,。到平面a的距离相等,

且A,3到平面a的距离与C。到平面a的距离不相等，此时4•有2不同的值；

不妨设平面a过棱AB，A。的中点£,N,且过4c分别为的三等分点M时,

如图（3）所示，此时点A,从。到平面a的距离相等，

其中A,B,。到平面a的距离与C到平面a的距离不相等，此时小有2不同的值:

不妨设平面a过棱A8的中点E,过AC的靠近。的三等分点M,过A。靠近A点的三等分点N,

此时A,8到平面a的距离不司，C,。到平面a的距离不同,

且A,B,C,。到平面a的距离两两之间都可能不|可，此时修有3个不同的值;

又因为A,B,C,。四个点均不在平面a上，也不在平面a的同侧，

所以力不能有4个不同的值（若有4个不同的值，四个点必然在平面a的同侧）,

所以力的所有不同值的个数组成的集合为｛1,2,3）.

【点评】本题主要考查空间中点到平面的距离，考查分类讨论思想，属于中档题.

6.已知空间向量工b,1满足之+26+3"=5,向=3,向=&，向=1'则晨"的值为（）

23

----45

A.3B.4C._D.-

34

【考点】空间向量的数量积运算.

【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解.

【答案】A

【分析】由已知得-2=2^+3",两边平方利用向量的数量积运算律求解即可.

【解答】解：因为的=3,向=或，|?|=1,

,TTT-*

由a+2b+3c=0得-a=2b+3c,

两边平方得a?=4b2+9c2+12b-c,

所以9-8+9+12晨3

T—2

所以6-c=-o.

故选：A.

【点评】本题主要考查了向量数量积的性质的应用，属于基础题.

二.多选题（共3小题）

（多选）7.如图，平行六面体/IACO-AIAICIOI中，以人为顶点的三条棱长均为1,且两两之间的夹角

都是60°,则下列说法中正确的是()

C.向量力%与8；。的夹角是120°

V6

D.801与AC所成角的余弦值为耳

【考点】空间向量的夹角与距离求解公式；异面直线及其所成的角.

【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；运算求解.

【答案】ABC

【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题进行分析判断，能求出结

果.

【解答】解：平行六面体中，以A为顶点的三条楂长均为1,且两两之间的夹角都是

60°,

T2TT

22

»*.AA1=AB=AD=1,

AA^-AB=AA^AD=AD-A3=lxlxcos600=

对于A,V/lCi=^+^8+^0,

2222

/.I/!CiI—IABIAD)=AAJIABIAD\2AAX-ABI2ABAD\2AArAD=1+1+1I3x

2x=6,

.*.1^1=76,故A正确；

对于从(AB+AD+AA^XAD-AB')

22

=AD-AB+AD-AA}-AB-AAt=0,

：.AC\LBD,故B正确；

对于C,B1C=B1Ci+ByB=-AAr+AD,

・・・|B；C|=Jc-AAi+AD)2=VI+1-1=1,

「.cos<B；C,=二4疝①

出闾%|\BXCY\AAX\

-1+：1

=^XT=~2,

••・向量与B；C的夹角是120°,故C正确：

对于O,〈BBI=元)+力71-而，AC=AB+AD,

BD^AC=(AD+AA±-ABXAB+AD)

22

=ADAB+AD+AA1AB-VAAY-AD-AB-ABAD=1,

2

:|8)|=J(AD+AAX-AB)=Jl+l+l+2xi-2xi-2x1=x/2,

\AC\=+AD)2=Jl+2xi+l=V3,

T—*

：公>=吁=_^_^=唱故。错误.

,cos<BDlf1"

故选：ABC.

【点评】本题考杳空间向量的线性运算和数量积运算等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

(多选)8.以下说法正确的是()

A.设入昼是两个空间向量，则：、1不一定共面

B.设a、b是两个空间向量，则a•力=b,a

C.设Zb,W是三个空间向量，则2、人展一定不共面

D.设2、力、京是三个空间向:1：,则之・(匕+")=Z•》+鼠］

【考点】空间向量的共线与共面.

【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；直观想象.

【答案】BD

【分析】利用共面向量的定义可判断AC选项的正误;利用空间向量数量积的定义可判断8选项的正误;

利用空间向量数量积的运算性质可判断。选项的正误.

【解答】解：对于A选项，任意两个空间向量都共面，A错误:

对于8选项，由空间向量数量积的定义可知：•b=同•|b|cosG，b),b•a=|b|•|Q|COS(6,a),

由于|a|•|b|cos〈a,b)=\b\•\a\cos{b,a”故a・b=b・a,8正确;

对于C选项，在△ABC中，AB=a,BC=b,CA=c,则a、b、c共面，C错误；

a

对于。选项，由空间向量数量积的运算性质可得3・&+"）=；）+["'，D正确.

故选：BD.

【点评】本题主要考查了向量数量积的运算及性质的应用，属于基础题.

（多选）9.已知空间向量展=（3,-2,2）,b=（4,3,7九），下列说法正确的是（）

A.若23+5=（10,-1,0）,则6=・4

B.若a1b,则m=-3

Tf1T

C.若a在匕上的投影向量为则6只有一个实数解

D.若；与]的夹角为钝角，则〃?>-3

【考点】空间向量的投影向量与投影；数量积判断两个平面向量的垂直关系；空间向量及其线性运算.

【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解.

【答案】AB

【分析】利用空间向量的垂直、投影向量以及夹角问题的坐标运算，即可求解.

【解答】解：向量a=(3，-2,2),b=(4,3,m),

对于A,因为2展+6=(10,-1,4+m)=(10,—1,0)；所以〃?=-4,A正确.

对于8,因为a_Lb,所以a・b=(3,-2,2)•(4,3,m)=12-64-2m=0,得〃=i-3,B正确.

tt,abbab1

对于C,因为a在匕上的投影向量为所以=—=-，

闻\b\闻23

即一;"—=-»化简可得〃2-6m+7=0,

m2+253

因为△=36・28>0,所以/〃有两个实数解，C错误.

时于Q,因为Z与7的夹角为钝角，且■与了不共线，

所以展工=(3,-2,2)-(4,3,7九)=12-6+2m=6+27九V0,解得mV-3,

t—43m

假设aIIb,则，=—=—j此时m无解，

3-22

所以；与联的夹角为钝角，则加<・3,。错误.

故选：AB.

【点评】本题主要考查了空间向量的线性运算及空间向量数量积的坐标表示，属于中档题.

三,填空题(共4小题)

10.在空间直角坐标系。孙z中，已知点A(0,2,-1),B(L0,1),C(-1,4,-3),则成成=

9.

【考点】空间向量的数量积运算.

【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解.

【答案】-9.

【分析】应用空间向量的坐标及数量积公式计算求解.

【解答】解：因为A(0,2,-1),B(1,0,1),C(-1,4,-3),

所以北=(-1,2,-2),AB=(1,-2,2),

则益-/IC=1x(-1)+(-2)X2+2X(-2)=-9.

故答案为：-9.

【点评】本题主要考查了空间向量数量积的运算，属于基础题.

11.已知空间向量2=(1,0,1),b=(2,一1,1),则向量；在向量力上的投影向量的坐标是_(X

【考点】空间向量的投影向量与投影.

【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解.

【答案】(1,—3,

【分析】根据向量的坐标运算求正|,之上的值，进而求投影向量.

【解答】解：因为Z=(1，0,1),1=(2,-1,1),

所以联工=2+0+1=3,|&=j22+(-l)2+12=瓜,

->T

所以向量a在向量匕上的投影向量为(三号)6==(1,-3.1)-

b

故答案为：(1,—：，

【点评】本题主要考查了投影向量的定义，属于基础题.

12.已知平面a的一个法向量为］=(1,0,2),平面0的一个法向量为/=(一2,0,-4),则平面a

和平面B的位置关系是平行.

【考点】平面的法向量.

【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解.

【答案】平行.

【分析】先判断蔡，血勺关系，即可求解.

【解答】解：因为蔡二(1，0,2),m=(-2,0,-4),

所以m=-2n,

所以平面a和平面0平行.

故答案为：平行.

【点评】本题主要考查了利用向量判断两平面的位置关系，属于基础题.

T771T—T—T

13.已知向量a=(1»-2,--2),b=(〃?，3,—5—2),若(a+b)_L(a—/?),则〃?的值为

【考点】空间向量的数量积判断向量的共线与垂直.

【专题】计算题：转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解.

【答案】-2

【分析】直接利用向量的坐标运算和向量的数量积运算求出结果.

【解答】解：向量。=(1,-2,——2),b=(〃?，3,—y—2),

故a+b=(1,1,-4),a—b=(1-m,-5,〃?)，

由于（Z+匕）_L（a-/?）,故（a+b）・（Z-b）=0,

所以m2+4w+4=0»解得/«=-2.

故答案为：-2.

【点评】本题考查的知识点：句量的坐标运算，向量的数量积运算，向量垂直的充要条件，主要考查学

生的运算能力，属于基础题，

四.解答题（共2小题）

14.如图，直三棱柱A8C-481。中，AC=BC=2,A4=3,ACLBC,。是AC的中点，E,尸分别是棱

AA\,881上的点,A\E=BF=\.

（1）证明：8D〃平面CER

（2）求平面4BC和平面CEF所成的二面角的正弦值.

【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角：直线与平面平行.

【专题】转化思想；综合法；立体几何；运算求解.

【答案】（1）证明：取CE中点G,连接QG,FG,

由。是4c中点得。G〃4E,DG=^AE,

三棱柱ABC-AIBICI中，由48i〃A4,B8i=A4=3,

由题意石，尸分别是棱A41,BBi上的点，A\E=BF=\,得AE=2,

所以BF//DG,BF=DG=1,

所以四边形4QG尸是平行四边形，所以8O〃FG,

因为尸Gu平面CEF,8。《平面CEF,

所以〃平面CEF.

【分析】（1）取CE中点G,连接。G,FG,根据平行的传递性得四边形BOG厂是平行四边形，从而利

用线面平行的判定定理证明即可.

(2)建立空间直角坐标系，求出平面A8C和平面CE尸的法向量，然后利用向量法求得二面角的余弦

值，利用同角三角函数关系求解即可.

【解答】(I)证明：取CE中点G,连接QG,FG,

由。是AC中点得QG〃4E,DG=^AE,

三棱柱A6C・A18C1中，由66i〃A4,BB\=AAi=3,

由题意E,尸分别是棱AAi,8以上的点，A\E=BF=\,得AE=2,

所以BfWOG,BF=DG=\,

所以四边形8QG尸是平行四边形，所以BD〃FG,

因为尸Gu平面CEF,8OC平面CEF,

所以3。〃平面CEF.

(2)解：在直三棱柱中，CC']_L平面ABC,AC_L8C,

所以CCi,AC,8。两两垂直，

以CB,CA,所在直线为x,»z轴建立空间直角坐标系C-.pz,如图所示，

由AAi=3,AC=BC=2,AiE=BF=l,

知C(0,0,0),E(0,2,2),F(2,0,1),CE=(0,2,2),CF=(2,0,1),

设平面CE尸的一个法向量为3=(%,y,z),

则/金=0,即俨+2z=0,取自

(5.CF=0,L2x+z=0,

即蔡=(1,2,-2)；

易知平面ABC的一个法向量为cZi=(0,0,3),

可得/=1X0+2X0+(-2)X3=-6,而=+22+(-2)2=3,丘】|=3,

所卜]/、n-CC1—62

所以cosOi,CCj>=—.....=?—=373=-3,

1讣1久1|

设平面A8C和平面CEF所成二面角为8,

可得|cos0|=|cos<h,CC>\=

XJ

所以=71-COS2。=警，

即平面ABC和平面所成的二面角的正弦值为苧.

【点评】本题考查线面平行的判定定理的应用及面面所成的角的正弦值的求法，属于中档题.

15.如图，在四棱锥尸-48CQ中，△为。为等边三角形，平面布Q_L平面A8CO,CD1AD,AD//BC,

AD=CD=2BC=2,尸为棱P8的中点，E为梭PD上一点、.

（1）求证：无论点E在棱P0的任何位置，都有CO_LAE成立；

（2）若£为〃。中点，求平面■与平面外。夹角的余弦值；

PG

（3）若E为P。中点，在棱PC上是否存在点G,使得0G〃平面AEr？若存在，求左的值，若不存

在，说明理由.

【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角；直线与平面平行.

【专题】整体思想；综合法；立体几何；运算求解.

【答案】（1）证明：因为平面附。_L平面A8CD,平面以DG平面48CD=AD,

CD1AD,AOu平面4BCQ,

所以CO_L平面PAD,

又A£u平面PAD,

所以CQ_LAE；

⑵叵

17

PG4

（3）存在‘-

5

【分析】（1）根据面面垂直的性质定理证明COJ•平面外，然后得至U8_LAE：

（2）建立空间直.角坐标系，利用空间向量的方法求二面角即可；

（3）设而=%而=（一九2九-V3A）,得到拓=而+而=（1一九2/1,V3-V3A）,然后利用空

间向量和。G〃平面AE尸列方程，解得人即可.

【解答】（1）证明：因为平面以。平面A8CD,平面以。C平面A3C£）=A。，

CDLAD,4Qu平面A8C。，

所以。。_1_平面PAD,

乂AEu平面PAD,

所以CD1AE；

（2）解：取AD中点。，连接OP,0B,

因为CQ_L平面ABCQ,4Ou平面以。，

所以CQ_LAO,

因为。为中点，△以。为等边三角形，

所以PO_LAQ,AD=20D,

因为平面必。G平面ABCD=AD,POu平面PAD,

所以尸。_1_平面480。，

且AO=2OQ=28C,AD//BC,

所以四边形O8CO为平行四边形，ADVOB,

以。为原点，分别以04,OB,0P所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

A（1,0,0）,0,空）,“0,1,字）,AE=（-1..0,字）,AF=（-1,1,字），

因为COJ_平面力。，所以薪=（0,L0）可以作为平面玄。的一个法向量，

设平面厂的法向量为£=。，y,z）,

3月

TO

n-X+2_Z-

则T2

n

令x=l,则丫=一天z=V5,n=(l,-],V3),

可得薪S=Oxl+lx(-》+0xV5=-±,而|=1,|n|=/l2+(-1)2+(V3)2=^,

TT1

717

所以cosOn,¥7二N

|m||n|lx乎一_IT'

y/17

所以平面AEF与平面出。所成锐二面角的余弦值为行

(3)解：。(-1,0,0),C(-I,2,0),尸(0,0,V3),PC=(-1,2,-V5)，DP=(1,0,V3)

设而=/1而=（一九2九一百则拓=而+而=（1一九22,V3-V3A）,

因为OG〃平面AEr，

TT4

所以OG-n=1-入-2+3-3入=0,解得;I=，

所以在棱PC上存在点G使DG〃平面AEF,

【点评】本题考查异面直线垂直的证法及两个平面夹角的余弦值的求法，线面性质垂直的性质的应用,

属于中档题.

考点卡片

1.数量积判断两个平面向量的垂直关系

【知识点的认识】

向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交.当两

条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直.假如(1,0,1),b=(2,0,-2),那么

展与力垂直，=1X2+1X(-2)=0,即互相垂直的向量它们的乘积为0.

【解题方法点拨】

例：与向量(-a*H4垂直的向量可能为()

A：(3,-4)B：(-4,3)C：(4,3)D：(4,-3)

解：对于A：—卷，一)・(3,-4)=—,=—5,不成立;

34

♦♦*/%3\

*--7X(-7-152+152

5%,8不成立;

Q41719

对于C・・,(一去-)*(4,3)=-若+甘=0,・,・C成立；

对于。：V(-1,|)*(4,-3)=-第一号=一等，。不成立;

故添

。•

加34

点

分

--不

5B,。四个备选向量的乘积，如果乘积等于则这两个向量垂直,

5JC,0,

否则不垂直.

【命题方向】

向量垂直是比较喜欢考的一个点，主要性质就是垂直的向量积为0,希望大家熟记这个关系并灵活运用.

2.异面直线及其所成的角

【知识点的认识】

I、异面直线所成的角：

直线〃，力是异面直线，经过空间任意一点。，作直线",b',并使///a,br//b.我们把直线加

和3所成的锐角(或直角)叫做异面直线。和力所成的角.异面直线所成的角的范围：ee(o,当e

=90°时，称两条异面直线互相面直.

2、求异面直线所成的角的方法：

求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线.

3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：

1.余弦定理：在△ABC中，有

a2=b2+c2-2bccosA，

b2=a24-c2-2accosB，

c1=a2+〃-labcQsC・

>2_2_2

2.余弦定理的推论：cosA=+，

2bc

a2^c2-b2

cosB=--------------，

lac

a^b2-c2

cosCr=--------------.

2ab

3.直线与平面平行

【知识点的认识】

1、直线与平面平行的判定定理：

如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.用符号表示为：若

bua,a//b,则a//a.

2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的•条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直

线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行.即由线线平行得到线面平行.

I、直线和平面平行的性质定理：

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.

用符号表示为：若〃〃a,auB，anp=/7,则。〃江

2、直线和平面平行的性质定理的实质是：

已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行.即由线面平行=线线平

行.

由线面平行=线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行.

正胸的结论是：a//a,若bua,则〃与“的关系是：异面或平行.即平面a内的直线分成两大类，一类与

。平行有无数条，另一类与。异面，也有无数条.

4.空间两点间的距离公式

【知识点的认识】

空间两点间的距离公式：

已知空间两点尸(xi,y\,zi),Q(X2,)2,Z2),

则两点的距离为IPQ1=J(再-Z)2+31―-4一百,

特殊地，点A(x,y,z)到原点O的距离为1=4x2+艮+z2.

5.空间向量及其线性运算

【知识点的认识】

1.空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示.

2.向量的模：向量的大小叫向量的长度或模.记为|前|2|

特别地：

①规定长度为。的向量为零向量，记作示

②模为1的向量叫做单位向量；

3.相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量.

4.负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量.如；的相反向量记为-二

5.平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量.

6.注意：

①零向量的方向是任意的，规定i与任何向量平行；

②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；

③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向

显；

④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；

⑤一般来说，向量不能比较大小.

1.加减法的定义：

空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法.

空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则.

—>

OB-0A+AB=a+bOB-0A+AB=a+6

加法的三得形法则加法的平行四访加法则减法的三角形法则

2.加法运算律：

空间向量的加法满足交换律及结合律.

(I)交换律：a+b=b+a

（2）结合律：（a+b）+"=Q+（匕+2）.

3.推广：

（I）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量:

-♦TTTT

^1-42+42人3+人344+…+^n-l^n=力14n

（求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量）

（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量

TTTTT

+43A4+…+=0.

1.空间向量的数乘运算

实数人与空间向量靛勺乘积底仍是一个向量，称为向量的数乘运算.

①当人>0时,江与Z的方向相同；

②当入VO时，兄与涌勺方向相反；

③当入=0时，Aa=0.

@|Aa|=|A|*|a|

的长度是Z的长度的囚倍.

2.运算律

空间向量的数乘满足分配律及结合律.

(1)分配律：@A(a+b)=Aa+Ab

②(入+|i)a=Aa+na

(2)结合律：A(na')=(A/i)a

注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如4±2等无法计算.

6.空间向量的共线与共面

【知识点的认识】

1.定义

(I)共线向量

与平面向后一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向最叫做共线向

量或平行向量，记作2II£6与任意向量是共线向量.

(2)共面向量

平行于同一平面的向量叫做共面向量.

2.定理

(I)共线向量定理

对于空间任意两个向量2b(b^0),Zill的充要条件是存在实数入，使得3=4/

(2)共面向量定理

如果两个向量2、6不共线，则向量方与向量1总共面的充要条件是存在唯一的有序实数对G,)，)，使

得p=xa+yb.

【辩题方法点拨】

空诃向量共线问题:

(I)判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数入，使Q'=,lb成立，或充分利用空间向量的运算法则,

结合具体图形，通过化简、计算得出Z=大匕，从而3||b.

(2)aII成表示之与I所在的直线平行或重合两种情况.

空间向量共面问题：

(I)利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，

解题过程中注意直线与向量的相互转化.

(2)空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(尤)，)，使力。=%高4+丫麻.满足这

个关系式的点P都在平面MA8内，反之，平面M4B内的任一点P都满足这个关系式.这个充要条件常用

以证明四点共面.

证明三个向量共面的常用方法：

(I)设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；

(2)寻找平面a,证明这些向量与平面a平行.

【命题方向】

h考查空间向量共线问题

例：若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),如果a与b为共线向量，则()

A4.x=,1,y=.1B.x=21»y=~21C.x=g1，y=3D.x=—不1，y=3

分析：利用共线向量的条件I=推出比例关系求出x,)，的值.

解答：:。二(2v,1,3)与8=(1»-2y,9)共线,

故有牛=1___3

-2y~9

13

•«=4'y=-2-

故选C.

点评：本题考杳共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题.

2.考查空间向量共面问题

例：已知4、B、C三点不共线，0是平面ABC外的任一点，＜列条件中能确定点M与点人、B、C一定

共面的是()

OM=OA+OB+OCB.OM=20A-OB-OCC.OM=OA+\oCD.CM=^0A+

[T[T

^OB+^OC

OJ

分析：根据共面向量定理。>=m・&+〃•茄+p・R：,m+n+p=1,说明M、4、B、C共面，判断

选项的正误.

解答：由共面向量定理0M=m・。力+九•OB+p•OC,m+n+p=l,

说明M、A、B、C共面，

可以判断A、8、C都是错误的，

则。正确.

故选D.

点评：本题考查共线向量与共面向量，考查学生应用基础知识的能力.是基础题.

7.空间向量的数量积运算

【知识点的认识】

1.空间向量的夹角

已知两个非零向量入b,在空间中任取一点。，作&=ZOB=b,则NA08叫做向量3与1的夹角，

记作<2,b>.

2.空间向量的数量积

（1）定义：已知两个非零向量之、b,则向IblcosVa,叫做向量a与b的数量积，记作即总

TTfT-♦

b=|a||6|cos<a,b>

⑵几何意义：[与]的数量积等于靛勺长度而与不在福勺方向上的投影向cos。的乘积，或了的长度向

与；在I的方向上的投影向cos。的乘积.

3.空间向量的数量积运算律

空间向品的数后积满足交换律和分配律.

11）交换律：（元）工二入（之/）=3（应）

TTTT

a-b=b'a

（2）分配律：Q・（b+c）=a・b+a・c.

4.数量积的理解

(I)书写向量的数量积时，只能用符号〉b，而不能用符号Zxb,也不能用力

(2)两向量的数量积，其结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘

积，其符号由夹角的余弦值决定.

(3)当Q*0时，由a-b=0不能推出b一定是零向量，这是因为任一个与a垂直的非零向量b,都有Q-b=0

【解题方法点拨】

利用数量积求直线夹角或余弦值的方法：

利用数量积求两点间的距离：

利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的

向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，

利用公式日|=求解即可.特别注意准确求解已知两向量之间的夹角大小.

利用数量积证明垂直关系：

(I)向量垂直只对非零向量有意义，在证明或判断3时，须指明6,b*0；

(2)证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直，将两个方向向量表示为几个已知向量

b,2的线性形式，然后利用数量枳说明两直线的方向向量垂直，进而转化为直线垂直.

【命题方向】

求宜.线夹角或余弦值、两点间的距高、证明垂直关系等问题最基本的是掌握数量积运算法则的应用，任何

有关数量积计算问题都离不开运算:律的运用.

例：已知2a+b=(2,-4,1),且b=(0,2,-1),贝=-7

分析：通过2：+b=(2,-4,1),且b=(0,2,-1),求出向量之的坐标，然后进行向量的数量积的坐

标运算.

解答：'：2a+b=(2,-4,1),且1=(0,2,-1),

/.a=(1,-3,1),

：.a*b=1XO+2X(-3)+1X(-1)=-7；

故答案为：-7.

点评：本题考查了空间向量的数量积的坐标运算，属于基础题.

8.空间向量的夹角与距离求解公式

【知识点的认识】

1.空间向量的夹角公式