2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷【湖北武汉专用测试范围：人教版 九年级数学上册第 21~23 章（一元二次方程+二次函数+旋转）】（全解全析）

九年级数学上学期期中模拟卷（湖北武汉专用）

全解全析

（考试时间：120分钟，分值：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如雷改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：人教版2012九年级数学上册第21〜23章（一元二次方程+二次函数+旋转）。

第倦

一、选择题（本大题包括10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确

的，请将答题卡上对应题目所选的选项涂黑）

I.一元二次方程2/+3x=-l化为一般形式后的二次项系数、一次项系数、常数项分别可以是（）

A.2,3,1B.2,3,-1C.2,-3,1D.2,3,0

【答案】A

【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+hx+c=0（mb,c

是常数且。wO）特别要注意“工0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在•般形式中ad叫二次

项，瓜叫一次项，。是常数项.其中a，b,c分别叫二次项系数，-次项系数，常数项.本题中先把方程化

为一般式，即可确定a,b,c.

【详解】解：2/+3X=-1，则2/+3X+1=0，

：.a=2,b=3yc=\,

故选：A.

2.下列新能源汽车品牌的图标中，是中心对称图形的是（）

A武BX

【答案】B

【分析】本题主要考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键；因此此题可根

据“一个图形绕某个点旋转180度后能与原图完全重合的”进行求解即可.

【详解】解：A、不是中心对称怪形，故不符合题意；

B、是中心对称图形，故不符合题意；

C、不是中心对称图形，故不符合题意；

D、不是中心对称图形,故符合即意：

故选B.

3.以下一元二次方程有两个相等实数根的是()

A.X2-4X=0B.X2-4=0C.X2-4X+6=0D.X2-4X+4=0

【答案】D

【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元.次方程0？+阮+6=0(。。0),若

△=/-4团>0,则方程有两个不相等的实数根，若△=〃-4衣=0,则方程有两个相等的实数根，若

△=则方程没有实数根.据此进行判断即可.

【详解】解：A、/一4》=0,A=(-4)2-4X1X0>0,则有两个不相等的实数根，不符合题意；

B、犬-4=0，△=02-4xlx(-4)>0,则有两个不相等的实数根，不符合题意：

C、f-4x+6=0，A=(-4)2-4xlx6<0,则没有实数根，不符合题意；

D、》2_4》+4=0，A=(-4)2-4X1X4=0,则有两个相等的实数根，符合题意，

故选：D.

4.将抛物线y=Y向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为()

A.y=(x-\)2+2B.y=(.r+l)2+2

C.,y=(x-l)2-2D.y=(x+l)2-2

【答案】A

【分析】此题考查了二次函数图象与几何变换，根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可，解题的关

键是熟练掌握平移的规律:左加右减，上加下减.

【详解】解：将抛物线y=/向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为

y=(x—l>+2,

故选：A.

5.如图，点力、B、C、。都在方格纸的格点上，若△/OB绕点O按逆时针方向旋转到△CO。的位置，则

旋转的角度为（）

A.90°B.75°C.60°D.45°

【答案】A

【分析】根据旋转角的定义可得旋转角为ZBOD,结合图形即可求得旋转的角度.

【详解】解：由题意可知，旋转角为，BOD,

由图可知，乙BOD=90。，即旋转佗角度为90。，

故选：A.

【点睛】本题考查了旋转角，根据题意正确找到旋转角是解答的关键.

6.若凡,々是方程5x2+x-5=0的两个根，则'+'的值为（）

Mx2

A.—1B.~—C.5D.—

【答案】D

【分析】本题考查了根与系数的关系：若内,七是一元二次方程G-+c=0（a/0）的两根时，

x1+x2=--,V2=-.先利用根与系数的关系得到*+9=-"上吊=-1，再通分得到9+；=等，然后

ClCI5XlX2X\X2

利用整体代入的方法计算.

【详解】解：..・孙占是方程5/+》一5=0的两个根,

1

:%+x2=--,xix2=

11X]+X,

——十—=—-----21=1

-15

X]x2X]%

故选：D.

7.两年前生产某药品的成本是5000元，现在生产这种药品的成本是3000元，设该药品成本的年平均下降

率为工，则下面所列方程中正确的是（）

A.5000(1-2x)=3000B.3000(1+2x)=5000

C.3000（1+4=5000D.5000（1-x）2=3000

【答案】D

【分析】找出题目的等量关系，把相关数值代入计算即可.两年前的成本=现在的成本X（1-下降率）2.

【详解】解：设这种药品成本的年平均下降率是X，根据题意得：

5000（1-x）2=3000,

故选：D.

【点睛】本题考查一元二次方程的应用：得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键.

8.在同一坐标系中，一次函数产火+2与二次函数尸的图象可能是（）

A.J/B,L-。斗

7]vvpr

【答案】c

【详解】解：根据二次函数及一次函数的图象及性质可得，

当〃V0时，

二次函数图象开口向上，顶点在），轴负半轴，

一次函数经过一、二、四象限；

当〃>0时，

二次函数图象开口向上，顶点在『轴正半轴，

一次函数经过一、二、三象限.

符合条件的只有选项C,

故选：C.

9.如图，将△力8C绕点力顺时针旋转，得到ZUDE,连接BD,BE.若/8EO=80°,4D8=60。,则NC8E

的大小是（）

B

E,

C

AD

A.10°B.15°C.20°D.25°

【答案】C

【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.由

旋转的性质可得，AB=AD,设N/14C=N/10C=x,可证△/4D为等边三角形，再由角的数量关系转化求

解即可.

【详解】设48C=x.

•••将LABC绕点A顺时针旋转，得到LADE,

AB=AD,Z.ABC=/.ADC=x,

'：408=60°,

・•・ZUBO为等边三角形，

/./LADB=Z.ABD=60°,

...乙BDE-60°-A,乙CBD-60°十x,

•・•ZZ?£Z)=80°,

^DBE=180°-80°-(60°-x)=400+x,

£CBE=NCBD-4DBE=20°,

故选：C.

10.抛物线)，=/+云+软在直线『二16下方的图像上恰好有五个横坐标为整数的点，则〃的值不可能是

()

A.2B.45C.13D.47C+1

【答案】C

【分析】首先将抛物线y=/+h+4%和直线y=16联立，解出两个解码和声，然后根据抛物线在直线下方图

象上有五个横坐标为整数的点这一条件，列出不等式组，求出〃的范围，再检验选项是否符合题意即可作出

判断.

【详解】解：将抛物线y—和直线y=16联立，

得/+履+4%=16,即：x'+kx+4k-\6=0>

-♦±#2-4x1x(416)

■A-2x1

化简，得X=-1±"J6AT64,

2

解得：王=-4,x2=-k+4,

当一女+4>-4时，

...抛物线y=/+h+很在直线y=16下方的图象上恰好有五个横坐标为整数的点，

二这五个点的横坐标为-3,-2,-1,0,I,

-k+4>\

+4K2'

解得2"<3,

的值可以是2,石，

故选项A,B不符合题意；

当-k+4<-4时，

•.•抛物线%/+去+很在直线y=16下方的图象上恰好有五个横坐标为整数的点，

二这五个点的横坐标为-5,—6,-7,-8,—9,

-k+4<-9

■-jt+4>-10，

解得13<^<14

••小的值不可以是13,可以是4花+1,

故选项C符合题意，选项D不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考杳二次函数的图象，一元二次方程解法的应用，一元一次不等式组的解法和应用，无理数

大小估计，掌握相关知识的应用是解题的关键.

第II卷

二、填空题（本大题包括6小题，每小题3分，共18分。请把各题的答案填写在答题卡上）

11.若点4（肛2）,8（-1,〃）关于原点对称，则加一〃一.

【答案】3

【分析】本题考查了原点对称的两个点的坐标特征，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互

为相反数是解题的关键.根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数即可求解.

【详解】解：••・点力（叽2）,8（7,〃）关于原点对称，

二〃1==-2,

故答案为：3.

12.关于x的一元二次方程2--3x+c=O有两个相等的实数根，则c的值为.

9

【答案】-

O

【分析】根据题意直接列出A=(-3)2-4X2C=0,求解出。的值即可解决本题.

【详解】解：•♦•2x2-3x+c=0有两个相等的实数根，

.•.△=(-3)2-4x20=0,

解得：c=/9

O

9

故答案为：—.

O

【点睛】本题考查的是一元二次方程中根据根的个数求参数，注意掌握判别式的值与个数的关系.

13.某学校开办篮球比赛，规定每两个球队之间都要进行一场比赛，共要比赛15场，设参加比赛的球队有

x支，根据题意，列出的方程是

【答案】—x(x—1)=15

【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设参加比赛的球队有x支，根据题意列出方程，即可求解.

【详解】解：设参加比赛的球队有X支，根据题意得：

1x(x-l)=15.

故答案为：gx(x-l)=15.

14.如图，在平面直角坐标系中，线段Q1与x轴正方向的夹角为45。，且。4=2,若将线段04绕点。顺

时针旋转75。得到线段O©,则此时点A'的坐标为

【答案】(△7)

【分析】此题考查的是旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是

解决此题关键.过点4作轴于点8,根据旋转的性质可得04=3=2,/力00=75。，求得

NHOB=60。，NOA，B=30°,再结合含30度角的直角三角形的性质，即可求解.

【详解】解：如图，将线段。4绕点。沿顺时针方向旋转75。到线段

过点4作轴于点8,

NAOB=90°-(75°-45°)=60°.

在直角△©08中，ZOBA1=90°,ZOA'B=30°,

：.OB=-OA=\

2t

AB=>/A'O2—OB':=>/3，

点H的坐标为

故答案为：(百,T).

15.抛物线是尔+次+c(。，b,c是常数)的顶点在第四象限，且。-8+c=().下列四个结论：

®b>0,②"人一c<0,③方程ad+/xr+c=cx+c的解为X]=-1,«^2=0,④若cv-3。，贝J当王<工2<1

时，必〉月•其中正确的结论是一（填写序号）.

【答案】③④

【分析】根据二次函数的图象与性质、二次函数的图象与系数的关系及己知条件可得，该函数的图象开口

向二，对称轴在V轴右侧，当％=-1时，y=0,进而可得a>0,匕<0,c<0,丁是可知结论①错误：利

用不等式的性质可得于是可知结论②错误：根据方程的解的定义可知结论③正确：利用等式

的性质、不等式的性质及各项已知条件可得，抛物线对称轴工=-二>1,由于抛物线开口向上，因而当x<1

时，y随X的增大而减小，于是可•知结论④正确：综上，即可得出所有正确的结论.

【详解】解：:抛物线），=尔+氏+c（。，b,。是常数）的顶点在第四象限，且a-b+c=O,

•••该函数的图象开口向上，对称轴在歹轴右侧，当x=-l时，J，=0,

a>0,b<0,c<0,

故结论①错误，不符合题意；

*/a>0,-b>0,-c>0,

：.a-b-c>0,

故结论②错误，不符合题意；

对「方程尔+bx+c=cx+c,

当Z=T时，方程左边=a-b+c=O,方程右边=-。+。=0,方程左边=方程右边，

当3=0时，方程左边=。，方程右边=%方程左边=方程右边，

.・小=-1,吃=0能使方程左右两边相等，

=-1,/=0是方程+/>x+c=cx+e的解，

又7方程a-+bx+c=cx+c是一元二次方程，最多只有两个解，

方程OX?+bx+c=CT+C的解为怎=-1,X2=0,

故结论③正确，符合题意；

a-b+c=0,

：.c—b-a,

•/c<-3a,

:.b-a<-3a,

化简可得：-二>1，

2a

即：抛物线对称轴工=-3>1,

又">0,

..•当x<l时，V随x的增大而减小，

故结论④正确，符合题意；

综上所述，正确的结论是③④，

故答案为：③④.

【点睛】本题主要考查J'二次函数的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点问题,

不等式的性质，方程的解，等式的性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质及二次函数的图象与系

数的关系是解题的关键.

16.如图，在口力BCD中,/比10=120。，AB=2,8C=3,点E是边8c上的动点，连接如口将绕点

E顺时针旋转60。至连接O'和。/，则Cb+O/7的最小值为.

【答案】布

【分析】由平行四边形的性质得/。，CD=AB=2,而/8力。=120。，则/8=60°,在BC上截取

HB=AB=2,连接FH,AF,则△45〃是等边三角形，由旋转得尸£=月£,乙4£尸=60。，则△/£•尸

是等边三角形，可证明/会“8E,得NX〃r=NA=60。，则NC〃/=60。，所以FU〃AB〃CD,取力〃

的中点L连接。交”于点/,连接FL,DL,则LH=CH,所以〃/垂直平分CL,贝IJ

ZDC£=ZC/H=90°,HI=-CH=-,求得。/=且，CL="，进而求得。£=⑺，\\\LFDF>DL,

222

得CF+DFN此即可得到问题的答案.

【详解】解：•••四边形是平行四边形，NA4QT20。，AB=2,BC-3,

BC//AD,CD=AB=2,

.•./8=18()°—/8力。=60。，

在8c上截取〃B=45=2,连接/〃，FH,AF,则18〃是等边三角形，C//=3-2=l,

4D

EHC

AH=AB=2,NB4H=NAHB=60'

由旋转得庄=力七，4£万=60。，

.•.△AEF是等边三角形,

•••AF-AE,々EAF=60°,

/HAF=NBAE=600-ZEAH,

在澳场和“BE中，

AH=AB

<NHAF=Z.BAE,

AF=AE

.•.△4所g“8E（SAS）,

•ZHF=/B=60。,

：.Z.CHF=180°-NAHB-NAHF=60°,

•••点F在经过点〃且与直线BC所夹的锐角为60。的直线HF上运动，NCHF=Z.AHF=N8=60°,

FH//AB//CD,

取/，的中点心连接CZ,交尸，于点/,连接也，“，则〃/=4=；力〃=1,

LH=CH,

•：HF平分4CHL,

••・*垂直平分CL,

：.LF=CF,ZDCL=NCIH=9。。,

:.AHCI=90°-ZCHF=30°,

：.HI=-CH=-,

22

a=y/cH2-Hi2=—以=4,

.--a=2c/=V3,

•••DL=Jee?+c?=,22+（Ki=布,

-：LF+DF>DL,

•••CF+DF>V7,

.•.6+)'的最小值为4，

故答案为：V7.

【点睛】此题重点考查旋转的性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与

性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识，正确的作出辅助线是解题的关键.

三、解答题（本大题共8个小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.解方程：x2++1=0.

r--3+V5-3-y/5

【分析】利用公式法可求出方程的解.

【详解】/+3*+1=0

*•*。=1,b=3,c=l,

•••A=Z>2-4ac=9-4xlxl=5>0

-b±y/b2-4ac-3±y/5

:•x------------=------»

2a2

-3+V5-3-45

4=——-~~,X,=---•

2-2

【点睛】本题考杳了一元二次方程的解法-公式法，利用此方法解方程时，首先将方程化为一般形式，找出

a,b及c,然后计算出根的判别式〃一4四的值，若〃_4"20,则将a,b及c的值代入求根公式即可求出

解.

18.如图，在Rt△力8。中，«=90。,将“8C绕点8逆时针旋转得到△F8E,点C,/的对应点分别为点

E、凡点E落在84上，连接力b.若NB力C=240.求力力心的度数.

【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理.熟练掌握旋转的性质，是

解题的关键.

根据旋转的性质，推出N班E=22。，NEBF=68。,△切尸是等腰三角形，进而求出N8"的度数，利用

/BFA—/BFE即可求出/力心的度数.

【详解】解：如图:

•••AACB旋转90。得到AFEB,

.-.ZC=NBEF、NCAB=NEFBZCBA=ZEBF、AB=BF,

vZC=90°,

.-.Z5/4C+ZC5J=90°,

­,•Z5JC=24°,

Z.CBA=66°,

/BFE=24。,NEBF=66°,

,:AB=BF、

•••^BAF=Z.BFA,

•••4"=66。,

Z.BAF=Z.BFA=(180°-66°)=57%

2

ZAFE=NBFA-NBFE=57°-24。=33。.

19.在平面直角坐标系中，己知二次函数的解析式为），=〃/+6+c.请观察表格完成下面题目.

X・・・-1012345•・・

y・・・-1-4-5-4-1411•・・

（1）抛物线的对称轴是直线;

⑵若则y的取值范围是：

（3）若y之4,则x的取值范围是.

【答案】（l）x=l

（3»石-2或"4

【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，正确掌握相关性质内容是解

题的关键.

（1）先用待定系数法求出函数解析式为），='2-2'-4,化为顶点式即可作答..

（2）因为-l<x<5,对称轴x=l,且开口方向向上，所以当x=l时，N有最小值，且旷=-5,则越远离

对称轴x=l的x所对应的函数值越大，因为卜1-1|<|5-1］，则即勺取值范围是即可作答.

（3）依题意，令必=/一2工-8,结合开口方向向上以及对称轴x=l,即可作答.

【详解】（1）解：依题意，把（Tf，（0,-4M依-4）分别代入—小2+加+c,

1=abIc

则<-4=c,

-4=4a+2b+c

a=1

：.<b=—2,

c=-4

•••二次函数的解析式为y=x2一2x-4,

vj=%2-2x-4=（x-1）2-5,

二抛物线的对称轴为直线x=l；

故答案为：X=l；

（2）解：v-l<x<5,对称轴x=l,且开口方向向上，

・•・当x=l时，V有最小值，且y=F—2xl—4=—5,

则越远离对称轴直线x=1的％所对应的函数值越大，

v|-l-l|<|5-l|,

••・当x=5时，P有最大值,且尸52-2x5-4=11,

当—l<x<5,则V的取值范围是一5。<11.

故答案为：-5<^<11.

（3）解：vy>4,y=x2-2x-4,

•••x:-2x-4<4»

即X2-2X-8<0,

令为=--2X-8,

v1>0,

二开口方向向上，且对称轴X=---=1,

2x1

当%=0时，贝11/一M一8=0,

解得x=-2或*=4,

,:开口方向向上，

.­•x--2x-8>O0'b

贝或xN4.

故答案为：北4或X4-2.

20.已知关于x的一元二次方程9-(左+3卜+3〃=0.

(1)求证：无论〃为何值，此方程总有一个根是定值；

(2)若直角三角形的一边为4,另两边恰好是这个方程的两根，求A的值.

【答案】(1)见解析：

⑵5或J7.

【分析】(1)先通过因式分解解方程，从而可得到两个因式的积为0,从而可求解；

(2)由(1)求出方程的两个根为X=3,x2=k,t然后分两种情况讨论即可：

本题主要考查一元二次方程解法，勾股定理，分类思想，解题的关犍是熟练掌握一元二次方程的解法及其

应用.

【详解】(1)VX2-(^+3)X+3^=0,

.­.(J-3)(X-A:)=0,

二占=3,x2=k,

••・无论々为何值，此方程总有一个根是定值；

(2)分两种情况：

①当4为直角边时，则3?+42=依，得〃=±5,

又•.边长女>0,

:♦k=5,

②当4为斜边时，则32+公=42,得k=±此

又,•边长〃>0，

k-yfl»

综上所述，左的值为5或g.

21.下图是由单位长度为I的小正方形组成的10x5网格，每个小正方形的顶点叫做格点.△/BC的三个顶

点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示.

(1)在射线”上取格点0,使

(2)画NCAD的角平分线AE:

(3)在力。上取点尸，使力尸=2；

(4)将MBC绕点彳逆时针旋转，旋转角为484C,得到"FG.

【答案】(1)作图见解析

(2)作图见解析

(3)作图见解析

(4)作图见解析

【分析】(1)由勾股定理可得彳C=5,据此即可找到点。的位置：

(2)取格点E,可知点E为8的中点，由等腰三角形三线合一可知4E平分N。。，即射线4E即为所求;

(3)取格点连接与4C相交于点尸，可知由平行线等分线段定理可得

ARAQ0

~~=丁，即可得力尸=2,故点下即为所求；

ACAD5

(4)根据平行线等分线段定理取4C、8C的中点〃、T,再利用矩形的性质作力V_L4。于N,与4E相交

于点。，可知点N为力。的中点，连接。〃与格线相交于点/,易证明△"“g△O/N(SAS),即得

NOH4=NOM/=90。，可得O"为线段/C的垂直平分线，即可得〃=/C,得到N"C=//CN,又

Z/CA=ABAC,所以N//C=N84C,取点K,因为“七_1_8，可知点K为"CQ三条高的交点，连接DK

并延长交于点。，交射线4F点G,可得4。6=44。。=90。，可证"0G0"0Q(ASA),得到

AG=AD=AC,连接FG,可得“R7,由NE4G=N64C,AG=AC,”产=可知△力/G即为所求.

【详解】(1)解：如图所示，点。即为所求:

(2)解：如图所示，射线即为所求;

(4)解：如图所示，“尸G即为所求.

【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，平行线等分线段定义，线段垂直平分线的性质，全等

三角形的判定和性质，三角形三条高的交点，灵活运用以上知识点是解题的关键.

22.综合与实践某校数学小组的同学把“用数学的眼光观察校园”作为一项课题活动，利用课余时间完成了

实践调查，并形成了活动报告，请根据该活动报告完成后面的任务.

课题用数学的眼光观察校园

调查方

实地查看了解

式

调查对

校门口隔离栏

象

平面图口"

上1H1H"

各个栏杆上彩色部分的顶端及点48所在曲线呈抛物线形(栏

杆宽度忽略不计)

•

(、H

调查内

数学眼光

容Mfmrmu

a£1

隔离栏长为13米，并且力用的长被12根栏杆等分成13份，

相关数据左起第4根栏杆涂色部分的高度CE=().9米.隔离栏顶端G距栏

杆底部距离4G=1.6米.

任务:

(1)请以点力为坐标原点，48所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，并求出抛物线的表达式.

/y

(2)若学校从防护栏的顶点G处开始向下拉横幅，为了不遮挡防护栏.上的彩色栏杆，则横幅最宽为多宽？

H

（3）若相邻某两根栏杆涂色部分的高度差为0.15米，求这相邻的两根栏杆分别是左起第几根？

【答案】⑴—学+袅

⑵0.55米

（3）用邻的两根栏杆分别是左起第9根与第10根或第3根与第4根

【分析】此题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求出函数解析式是解题的关键.

（1）求出8（13,0）和。（4,0.9）,利用待定系数法求出函数解析式即可；

（2）栏杆彩色部分的最高点为第六根和第七根栏杆，它们高度一致，据此进行解答即可；

（3）当左边栏杆涂色部分高于右边栏杆时，设相邻两栏杆中左边一根栏杆为第6根，它的彩色部分高度为

,+2*第W+1）根，它的彩色部分高度为-+++列方程求出加=9,即可得到

二4〃0404040

第9根与第10根的高度差为0.15米.再根据二次函数的对称性得到第3根与第4根的高度差也为0.15米.

【详解】（1）解：设抛物线的表达式为j=。一+次依题意得网13,0）.

•.•隔离栏的长力8被12根栏杆等分成13份,

AE=4.C（4,0.9）,

将8（13,0）,C（4,0.9）代入<="+加,

169。+13Z）=0

得1

|16«+4/>=0.9'

解得

b=—

40

I13

・•・抛物线的表达式为尸-2一+2、.

4040

（2）栏杆彩色部分的最高点为第六根和第七根栏杆，它们高度一致，

依题意f'}AF=6,"ix=6时，）'=一L*6'+x6=1.05.

4040

二•横幅最宽为1.6-1.05=0.55米.

（3）当左边栏杆涂色部分高于右边栏杆时，

设相邻两栏杆中左边一根栏杆为第〃?根，它的彩色部分高度为-1/〃2+^1小，

4040

第（阳+1）根，它的彩色部分高度为-士++-^（w+1）,

ri12131/,\213/_

贝I」---)n~+——m----(w+1)+—(6+1)=0.15,

4040L40、)40Vf\

解得m=9.

故第9根与第10根的高度差为0.15米.

由抛物线的对称性可知第3根与笫4根的高度差也为0.15米.

答：相邻的两根栏杆分别是左起第9根与第10根或第3根与第4根.

23.问题背景

如图1,与△川勿？中，AB=AC,AD=AE,"AC=NDAE,求证：BD=CE；

尝试应用

如图2,点。是等边△力8c内一点，连接8。、CD,点E在BD上,ED=CD,延长。。交力E于尸，若

Z£Z)C=120°,求证：点尸是NE的中点；

拓展应用

如图3,已知△力8c中，ZJBC=30°,AB=2向,BC=9,以AC为底边在△48C外作等腰”CO,且

ZJDC=120°,连接30,则40的长为.

【答案】问题背景：见解析；尝试应用：见解析：拓展应用：7

【分析】［问题背景］由“SAS”可证△力4。0△力CE,可得BD=EC；

［尝试应用］由“SAS"可证△加弘/丝△04。，可证4/=C。，NBDC=NB“A=1200,由“AAS”可证

“FHAEFD,可得4F=EF,可得结论；

［拓展应用］作于E,求出.4E、BE、CE的长度，进而求出4C的长度，过点。作OG_L4C于G,由

4D=CD,得出力G、CG,进而得出4)、DG,作。尸_L8CJ/,ZGDH=ZACE,证明△OGZ/SAXEC,

求出GH、"C的长度.利用勾股定理求得尸C,再得DF,最后由勾股定理求出8。的长度.

【详解】［问题背景］证明：•：NBAC=NDAE,

ABAD=/CAE,

AB=AC,AD=AE>

.•・"BQg"CE（SAS）,

BD=CE；

［尝试应用］证明：延长CD至H,硬BD=DH,连接4/,BH,

图2

vZEZ)C=120°,

：.4DH=60。,

又••BD=DH,

•••△80”是等边三角形，

:'BH=BD=DH,NHBD=600=NABC,

^ABH=ZDBC,

又•.AB=BCt

.•.△48H%C8D(SAS),

；.AH=CD,/BDC=/BH4=120。,

ZAHF=4BDF=60°,NAFH=ZDFE,

•••CD=DE,

•••DE=AH,

：gAFH%EFD〈\2,

•••AF=EF>

•・•点厂是4E的中点；

［拓展应用］解：如图3,作彳E_L8C于E,

:.AE=；AB=S,BE=0AE=3,

；.EC=BC-BE=9-3=G,

AC=>IAE2+CE2=^(5/3)2+62=底，

过点。作OG_L/C于G,

vAD=CD,DG1AC,

­.ZJDC=120°,

.•./CMC=30。，

-V39

AD=———=-i-=>/\3,

cosZ.DACV3

T

•••QG=Uo=巫，DC=用,

22

作_18c于尸，交力。于点〃，

•••ZDGC=ZDFC=90°,/DHG=/CHF,

"GDH=4ACE,

乂•.NOGC=N4£C=90°,

ADGHS^CEA,

DGGH

:.-----=------,

CEAE

.3DGAEV39

CE12

：HC=CG-GH

12

vtanZGDA/=—=—,NGDH=NACE,

DG6

八…HFV3

FC6

设〃〃=则产C=6x,

在RLC/Z/中，FC2+HF2=CH2,

...(6力2+(烟-=(^^)

••・x=《（负值已舍去）,

SPFC=-,

2

在RtZXC力产中，由勾股定理得:

故答案为：7.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，解

直角三角形，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是解题的关键.

24.抛物线G与x轴交于力、8两点（点4在点8左侧），与P轴交于点C.

⑴如图1,若G的顶点为⑵-9）,C（0,-5）

①求抛物线的解析式；

②点尸为抛物线上一点，若点8、点。到直线力夕距离相等，请直接写出夕点横坐标；

（2）如图2,将抛物线G平移得到抛物线的顶点为原点.直线y=+〃（s,/为常数，5>0）交抛物

线G于点P、点Q.已知点T（O，T）,TP交抛物线G于点70交抛物线G于点N,连接MV.求证：宜

线过定点，并求出这个定点的坐标.

【答案】⑴①y=--4x-5；②6或亍

（2）证明见解析，定点的坐标（1,0）.

【分析】（1）①用待定系数法求解即可；

②先求出抛物线与坐标轴的交点，4（7,0）,5（5,0）,C（0,-5）,再用待定系数法求出直线8c的解析式为

y=x-5,根据点8、点。到直线力P距离相等，则/尸〃〃。或"经过线段8c的中点，分别用用待定系数

法求出直线4P的解析式，然后联立求点。坐标.

,y=sx+t

(2)根据抛物线的平移求得抛物线C2的解析式为了二/，联立，,则/一“，=0,所以

Xp-4=s,xp-xQ=-t,设直线外才的解析式为y=〃a-S,则/_〃x+s=o,所以％”=S,所以Xr二士；

XM

设直线7W的解析式为y=m'x-s,则Y-Mr+s=O,所以X-S,所以•”=一";所以Xp+%=T~+/=s,

X*VXMXN

则=所以+4,=x“气；设直线MV的解析式为y=〃x+P,则x2-〃x-p=