2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷【湖南长沙专用测试范围：人教版九年级上册第21章-第24章】（全解全析）

九年级数学上学期期中模拟卷（湖南长沙专用）

全解全析

（考试时间：120分钟，分值：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.【回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题尸上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：人教版九上第21章.第24章。

5.难度系数：0.65。

第一部分（选择题共30分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.下列关于x的函数中，是二次函数的是（）

2

A.y=22-xB.y=（x-l）2-x2C.y=—D.y=3x2

【答案】D

【分析】一般地，我们把形如4/+反+。=0（。工0）（其中是。、b、C为常数）的函数叫做二次函数，其中

。称为二次项系数，人为一次项系数，。为常数项，根据二次函数的定义逐项判断即可.

本题考查了二次函数的定义，理解并掌握二次函数的定义是解题的关键.

【详解】A.y=22-x,是一次函数，故该选项不符合题意；

B.：v=（x-l）2-x2=-2x+l,是一次函数，故该选项不符合题意；

2

C.y=—,不符合二次函数的定义，不是二次函数，故该选项不符合题意；

x

D.歹=3,一,是二次函数，故该选项符合题意.

故选:D.

2.未来乃可预见之时代，寰宇知名人工智能企业徽标林立，请问下列图示中，属中心对称而非轴对称的图

像是（）

【答案】B

【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两

旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形：中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋

转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对

称中心.根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可.

【详解】解：A.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合题意；

B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故B符合题意；

C.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C不符合题意；

D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意.

故选：B.

3.设方程/+x-5=0的两个根为。,夕，那么a+夕-姐的值等于（）

A.-4B.-6C.4D.6

【答案】C

【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系“对于一元二次方程G2+bx+C=0（Q，0）,若它的两个

hc

实数根为不，占，则玉+占=--，X/2=£''，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键.根据

aa

一元二次方程的根与系数的关系可得尸=-LM=-5,代入计算即可得.

【详解】解：•.•方程V+x—5=0的两个根为

.,.«+/?=-\,ap=-5,

：.a+/3-afi=-l-（-5）=4,

故选:C.

4.如图,将为△■（其中N8=35°,NC=90°）绕点4按顺时针方向旋转到△明G的位置,使得点C4R

在同一条直线上，那么旋转角NCNG等于（）

B

G

CAB、

A.110。B.115°C.125°D.135°

【答案】C

【分析】此题考查是旋转的性质，三角形内角和性质及平角定理，根据题意可得/8/C=55。，再结合旋转

的性质及平角定理可得答案.

【详解】vZB=35°,ZC=90\

/.ABAC=1800-Z5-ZC=55°,

又△48C是由Rt△48c绕点A旋转得到，

,ZCABi=NBAC=55。,

又&44在同一条直线上，

所以NCNG+NC/4=180。，解得NC4C1=125。,

故选:C.

5.《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一

寸，锯道长一尺，间径几何？用数学语言可表述为：如图，6为。。的直径，弦于瓦£。=1寸,

48=10寸,求半径OO的长（）

【分析】连接。1,设。。的半径为「寸，则04=/•寸，。石=（厂-1）寸，先根据垂径定理得到XE=8E=5寸,

再利用勾股定理得到夕+行-If：/,然后解方程求出厂本题考查了垂径定理的应用：把垂径定理和勾股

定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦K、半径、弦心距等问题.

【详解】连接a,

设OO的半径为〃寸，则04—•寸，OE-(r1)寸，

vAB1DC,

AE=BE=；AB=5寸,

在RtZ\O/E中,52+(r-l)2=r2,

解得尸=13,

故选：D.

6.对于二次函数y=i-2x+3,下列说法正确的是()

A.图象开口向下B.当x=l时，y有最大值为2

C.对称轴是直线x=lD.与y轴的交点坐标为(0,-3)

【答案】C

【分析】本题考查了二次函数(小b,。为常数，。=0)的性质，熟练掌握二次函数y=ad+bx+c的性质

是解答本题的关键.

对于二次函数7=/一2%+3,可化为顶点式再根据其性质分析即可.

【详解】解：,二次项系数4=1>0,

••・抛物线开口向上，

二选项A不符合题意，

vy=x2-2x+3

=(X-1)2+2,

・•・当x=l时，y有最小值为2,

••・选项B不符合题意，

•.•^=(X-1)2+2,

・••二次函数的对称轴是直线x=l,

•••选项C符合题意,

当z=0时，J；=(0-1)2+2

=1+2

=3,

••・与y轴的交点坐标为(0,3),

••・选项D不符合题意，

故选：C.

7.三角形两边长分别是8和6,第三边长是一元二次方程/_16工+60=0的一个实数根，则该三角形的面

积是()

A.24B.24或8石C.48或8后D.8指

【答案】B

【分析】此题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的性质与直角三角形的性质.此题难度适中，解题

的关键是注意分类讨论思想，小心别漏解.

由--16》+60=0,可利用因式分解法求得x的值，然后分别从x=6时，是等腰三角形；与x=10时，是

直角三角形去分析求解即可求得答案.

【详解】:丁一16工+60=0,

/.(x-6)(x-10)=0

解得：$=6,x2=10,

当［=6时，则三角形是等腰三角形，如图①：AB=AC=6,/?C=8,力。是高,

.40=4，AD7AB2-BD?=2万，

二.5.1BC=-BCAD=-xSx245=Sy/5,

当x=10时，如图②，AC=6,BC=8,42=10,

-AC2+BC2=AB2,

.•・△.46C是直角三角形，ZC=900,

/.SA/Wioc=—2BCJC=—2x8x6=24.

故选：B.

8.如图，在平面直角坐标系中，菱形。4C的边长为2指，点8在x轴的正半轴上.且乙40c=60。，将

菱形048c绕原点O逆时针旋转60。.得到四边形OH"C（点4与点。重合），则点"的坐标是（）

A.（3疯3拉）B.（3&,36）C.（372,672）D.（6夜,3#）

【答案】B

【分析】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，坐标与图

形.延长*C交x轴于点。，根据旋转的性质以及已知条件得出/*。。=90。，进而求得。。,。*的长，即

可求解.

【详解】解：如图所示，连接*0,延长"C'交x轴于点。，

A

•.•四边形。48c是菱形，点A在x轴的正半轴上，08平分//OC,4"=60。,

Z.COB=NAOB=30°,Z.CBA=60°

•••将菱形。48c绕原点。逆时针方向旋转60。，

.-.ZCW=60°,则NO8'C=：NCBC=30°,AB=CB'

.•.NB'OD=60°

••.NB'DO=90°,

在RtZkCOO中，0C=B，C=2瓜

:.CD=；OC=迎,。。=6c0=3在

:•DB'=3瓜,

.•.43&,3指卜

故选:B.

9.如图，已知。。是Ria/AC的内切圆，ZC=90°,与8C,AC,48的切点分别为D,E,F,若

4c=8,BC=6,则。。的半径为（）

C.2.5D.3

【答案】B

【分析】连接O。，0E,由NC=90。，JC=8,BC=6,求得力8=10,由。。与力C,BC,的切点

分别为E,D,F,得4E=力尸,BD=BF,CD=CE,由4E+3。==10,求得

CD+CE=2CD=AC+BC-（AE-^BD）=4,则8=2,再证明四边形OOCE是正方形，所以。。=8=2,

于是得到问题的答案.

【详解】解：连接oo,0E,

,JC=8,BC=6,

♦；OO与BC,AC,48的切点分别为D,E,F,

:.BC1OD,ACLOE,AE=AF,BD=BF,CD=CE,

AE+BD=AF+BF=AB=\01

:.CD+CE=2CD=AC+BC-（AE+BD）=S+6-\0=4,

CD=2,

•••NOQC=NC=NOEC=90。，OD=OE,

.•・四边形。。。£是正方形，

:.0D=CD=2t

.•.0。的半径长为2,

故选:B.

【点睛】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线长定理、勾股定理、正方形的判定与性质等知识，求

得CO=2,并且证明四边形0DCE是正方形是解题的关键.

10.如图，二次函数旷=亦'+及+。（〃工0）的图象过点（7,0）,抛物线的对称轴是直线x=l,顶点在第一象

限，给出下列结论：①帅<0；②4a+2"c>0：③3a+c>0；④若4（*小）、（其中西<々）

是抛物线上的两点，且％+七=2,则必=%.其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的图象与各项系数符号的关系是解题关键.根

据二次函数的性质可得"0,8=-2。">0,即可判断结论①；由x=2处的函数值可•判断结论②；由x=-l

处函数值可判断结论③：根据玉+x?=2得到点力（不山）到对称轴的距离等于点8（占,外）到对称轴的距离可

判断结论④.

【详解】解：•.•二次函数开口向下，

二«<（）,

•.•一次函数y=仆2+hx+e（aw0）的对称轴是直线x=1,

ab<0,故①正确：

•••二次函数^=尔+乐+。(30)的图象过点(TO),抛物线的对称轴是直线x=l,

・•・由对称性可得二次函数与x轴的另一交点为(3,0),

由函数图象可得x=2时,y>0.

.•.4。+2力+。>0,故②正确；

•.•x=T时,y=0,

:.a-b+c=O,

«-(-2«)+c=0,即3“+c=0,故③错误；

•••对称轴是直线x=l,

...若上产=1,即玉+々=2时，故④正确.

综上所述，正确的选项是①②④，共3个.

故选：C.

第二部分(非选择题共90分)

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

11.在平面直角坐标系中，点(2,-3)关于原点对称的点的坐标是.

【答案】(一23)

【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标.根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解

答.

【详解】解：点(2,-3)关于原点对称的点的坐标是(-2,3),

故答案为：(-2,3).

12.已知力。,乂)，8(2,8)，。(4,%)是二次函数y=-V+2x+c的图象上的三个点，则乂，%，%的大小

关系为.

【答案】%2VM

【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键是掌握二次函数

图象的性质.

【详解】解：由二次函数》=-/+2/+。=-(x-iy+c+l,则它的对称轴为x=l,开口向下，

••・便象上的点离对称轴越远则V的值越小，

v|l-l|=o,|2-1|=1,|4-1|=3,0<1<3,

二切>%>为，

故答案为：乂>乃>为.

13.关于x的一元二次方程〃状2-3彳-1=0有两个不相等的实数根，则〃，的取值范围是.

9

【答案】-丁且〃?工0

4

【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，利用根的判别式求加即可.

【详解】•.•关于》的一元二次方程加/-3、-1=0有两个不相等的实数根，

m工0

：.<戊,

△=(-3)'+4w>0

解得：w>—且，〃工0,

4

故答案为：〃?>-=且〃?*0.

4

14.二次函数歹=一/+21+4,当0KxK3时，y的范围.

【答案】1«"5

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先根据开口确定最大值，再分别计算出x=0,x=3时的函数

值，即可求解取值范围.

2,

【详解】解：对称轴为直线：一两刁=1，

v0<1<3,-1<0,

•••当x=1时，ymax=-1+2+4=5,

当i=0时，y=4；

当1=3时，^=-9+6+4=1,

二当0WxW3时，y的范围是15,

故答案为：

15.如图，菱形43。。的边长为6c〃?，4=120。，弧8。是以点4为圆心，48长为半径的弧，弧。。是以

点5为圆心，3CK为半径的弧，则阴影部分的面积为.

【答案】9^cm2

【分析】本题主要考查了扇形的面积计算，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理.连接8。,

过点。作工44于点区证明△44。是等边三角形，可得4冽)=60。，AE=^AB=3cm,从而得到

S"=9V3crri,再由阴影部分的面积为舟曲+与形㈤-与形的，即可求解.

【详解】解：如图，连接60,过点。作。E/川？于点E,

•••四边形48CQ是菱形，

阳=AD=BC=6crp//EC,

.♦.4+/48C=180。，

-ZABC=\20°,

4-60。，

••.△/BD是等边三角形,

H?=A?=5C=6cm乙ABD=60°,

Z.CBD-60°,AE=—AB=3cm,

2

•••CE=J㈤-坦=V62-32=3x/3cm.

•••S⑼=1加X£F=1X6X3、/5=975cM,

z./CL/22

・•・阴影部分的面积为邑跖+线形®_形四9

=函+^£^一^£^=啦而

故答案为：9>/3cm2.

16.已知，在“8C中，N4C8=90。，4%C=3()。，AB=66,。是直线力C上一点，将。点绕5点逆

时针旋转60。得其对应点E,当N/E8=90。时，则力。长为

【答案】3"+3&或36一3五

【分析】通过连接辅助线，利用旋转性质和全等三角形的判定，确定点E的运动轨迹，再分情况结合等腰

直角三角形、勾股定理求解力。长.

【详解】解：连接8。、DE,取48的中点作直线EM.

•••将。点绕8点逆时针旋转60。得对应点E,

:.BE=BD,ZDBE=60°,ABDE为等边三角形.

•••/4CB=90°,^BAC=30°,48=6上，

BC=-AB=342.

2

•••〃是力4中点，N8<C=30。，N4cB=90。,

AAM=BM=—AB=3^2,BM=BC=AM.

2

•:/DBE=NABC=60。,

:.NEBM=NDBC.

在和△Q8C中，

BE=BD

NEBM=NDBC,

BM=BC

.•.△E8W空△OBC(SAS).

：./BCD=NBME=90。,

••.E"_LW8,点£在直线EM上运动.

情况：点。在力。的延K线上.

;.EM=>AB=3R=BM.

2

•:△EBM*WBC,

：•EM=DC=36.

在Rta/18C中，AC=AB-cos30°=672x—=3>/6,

2

­■AD=AC+DC=3>/6+3>/2.

：•AD=AC-DC=3瓜-36.

故答案为：36+3人或36-3收.

三、解答题（第17,18,19,20®,每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题

12分；共9小题，共72分）

17.按规定方法解方程：

⑴/_3工+1=0；（公式法）

⑵甸2.1）=3（24-1）；（因式分解法）

【答案】（1.=土立/2=上立

【分析】本题主要考查元二次方程的解法，熟练掌握元二次方程的解法是解题的关键;

(1)根据公式法求解方程即可：

(2)利用因式分解法求解方程即可.

【详解】(1)解：X2-3X+1=0

：a=l,b=-3,c=1,

A=〃-4ac=9-4xlxl=5>0»

.-b±y1b2-4ac3±>/5

••x=-------------=------，

la2

3+百3-75

•5=-3―，々=­

（2）解：4x（2x-l）=3（2x-l）

4x|2x-l）-3（2x-l）=0

(2A-1)(4X-3)=0

2x-1=04x-3=0

13

.•.X,=y,X2=-.

18.二次函数图象过4、C、占三点，点/1的坐标为(-1,0),点3的坐标为(4.0),点。在y轴正半轴上，且

(1)求。的坐标；

(2)求二次函数的解析式，并求出函数最大值.

【答案】(1)点C的坐标为(0,5)

(2)y=+；x+5,,最大值

4416

【分析1本题主要考查了二次函数的性质，二次函数解析式的求法，解答此题的关键是熟知二次函数的解

析式为y=a/+bx+C,顶点坐标公式为x=y=—~.

2a4a

(i)根据力、8两点的坐标及点c在y轴正半轴上，且=求出点。的坐标即可；

(2)设二次函数的解析式为》=»2+云+c(QHO),把力、8、。三点的坐标代入解析式，可求出明b、

C的值，然后利用二次函数的性质求其最大值即可，也可通过两点式求出函数解析式，再求最值.

【详解】(1)•・F(T,O),(4,0),

/.AO=1,OB=4,

48=40+08=1+4=5,

.•.0C=5,即点C的坐标为(0,5)；

(2)解法1：设图象经过4、C、8三点的二次函数的解析式为JYQX，队+C(“HO),

由于这个函数图象过点(0,5),可以得到。=5,

又由F该图象过点(TO),(4.0),

a-b+5=0

则《，

16〃+4力+5=()

I5

a=—

解方程组，得:

b=—

4

••・所求的函数解析式为"十+5+5.

解法2：设图象经过力、C、8三点的二次函数的解析式为y="x-4)(》+1)(〃工0),

•.•点C(0,5)在图象匕

••・把C坐标代入得：5=a(O-4)(O+l),解得：a=~,

所求的二次函数解析式为y="(x-4)(x+1),

4

•••点4,8的坐标分别是点力(TO),5(4,0),

••・线段的中点坐标为即抛物线的对称轴为直线x==,

3y有最大值，为/

.•.当x=§时,

19.如图，在平面直角坐标系中，△4BC的三个顶点分别是/(-3,2),5(-1,4),C(0,2).

(1)画出△48C关于原点。对称的△44G；

⑵平移ZUAC,若点力的对应点出的坐标为(-5,-2),画出平移后对应的△“C；

⑶洛MBC以点O为旋转中心顺时针旋转90。,画出旋转后对应的△4名G；

(4)若将△44G绕某一点旋转可以得到,请直接写出旋转中心的坐标为.

【答案】(1)图见解析

(2)图见解析

(3)图见解析

(4)(-1,-2)

【分析】本题考查了作图-旋转变换，作图-平移变换，属于基础题，解决本题的关键是掌握旋转的性质和平

移的性质.

(1)根据旋转的性质即可画出旋转后对应的△耳qG；

(2)点力向左平移2个单位，向下平移4个单位得到点次，根据平移的性质即可画出平移后对应的

ABC；

△,2

(3)根据旋转的性质即可画出旋转后对应的△4&G；

(4)连接44和6。2,找出交点，根据旋转的性质即可得出旋转中心的坐标.

【详解】(1)解：如图所示，根据旋转的性质画出的△44G即为所求;

点4向左平移2个单位，向卜.平移4个单位得到点4,画出区G即为所求作;

(4)解：如图，连接44和GG，交点为

二旋转中心为(-1,-2),

故答案为：(-1,-2).

20.如图，48是。。的直径，弦CO垂直于48于点E,点M在。。上，A/D恰好经过圆心O,连接M8.

⑴若。0=16,BE=4,求。。的直径；

(2)若NB=ND,求/。的度数.

【答案】(1)0。的直径为20；

(2)"=30。.

【分析】本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直

角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.

(1)先根据。。=16,8E=4,得出。上的长，进而得出的长，进而得出结论；

(2)由NB=ND,NDOB=2/D,结合直角三角形可以求得结果

【详解】(1)解：•“8J.8,8=16,

:.CE=DE=8,

设OB=OD=x,

又・；BE=4,

0E=x-4,

/.x2=(x-4)2+82,

解得：x=l(),

•••。。的直径是20；

(2)解：=

:.ZA/=N8,

•••ZZ?=Z£）,

•••ZA/=Z.D»

NM=、NBOD,

2

：.ZD=L/BOD,

2

ABICD,

.•.NOE。=90°,

ZD+ZEOD+NOED=NO+2ND+90°=180°,

ZD=30°.

21.如图，在平面直角坐标系x。，中，点力（0,2）,8（1,3）,C（3,3）,过这三个点作一条圆弧.

(1)用无刻度直尺画出该圆弧的圆心"(保留作图痕迹).

(2)。”的半径长为.

⑶点N(4,1)在(填”内”“外M上”).

(4)若用扇形力围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是.

【答案】(1)见解析

(2)75

⑶内

(4)与

4

【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理、弧长公式、点与圆的位置关系等知识点，熟练掌握以上知识点

并灵活运用是解此题的关键.

(1)根据垂径定理，圆心〃是线段48和4C垂直平分线的交点，作图即可；

(2)由图可得〃(2,1),再结合勾股定理计算即可得解;

(3)先求出MN=2,计算得出2〈逐＜3,再结合点与圆的位置关系即可得解；

(4)先判断出△4WC为直角三角形，即4MC=90。，再利用孤长公式得出弧力C的长为好兀，由此即可

得解.

【详解】(1)解：如图,点”即为所求.

y

4

~o]~12""34^

(2)解：由图可得，"(2,1),

故由勾股定理可得：4M=62+?=5

故。加的半径长为后，

故答案为：y/5；

(3)解：・.・N(4,1),

MN=2,

•••4＜5＜9,

：・6＜小＜亚,即2VA3,

.••点N(4,l)在内，

故答案为：内；

(4)解：•・•。加的半径长为逐，

.•.4M=CM=逐，

,•^c=Vi2+32=Vio,

-AC2=AM2+CM2,

为直角三角形,

.-.Z^WC=90°,

.•.弧力。的长为为7cx石=吏冗,

1802

•••该圆锥的底面圆半径为更714-271=在，

24

故答案为：走.

4

22.已知,在△48C中./历1C=9O°.48=4。,点。是8c4卜的一点（不与点8,。重合）.连接力力.

（1）如图1,将线段力。绕点力逆时针方向旋转9（）。得到线段力£,连接CE.求证：BD=CE,BD1CE.

（2）如图2,点。，尸都在线段6c上，且ND4F=45。.

①求证：DF2=BD2+CF2.

②若8。=4,3=3,求△力。F的周长.

【答案】（1）见详解

（2）①见详解；②5+2历+3加

【分析】（1）证明△4即可得到；

（2）①将线段4。绕点力逆时针方向旋转90°得到线段4E,连接£F,证明△力£尸可得。p=",

从而可证明结论；

②过A作AH_18c于”，然后根据勾股定理分别求出AW尸三边即可得到答案.

【详解】（1）证明：•.・/胡。=90。，将线段4。绕点彳逆时针方向旋转90。得到线段力E,

:.ZBAD=90°-Z.DAC=NCAE,AD=AE,

在.4ABD和△/（7£■中，

AB=AC

■/BAD=/CAE,

AD=AE

.•.△48。丝△ACE(SAS),

BD=CE,NABD=NACE,

•••NA4c=90°,

44O+N/C8=90°,

/.ZACE+ZACB=90°,BPZ5CE=90°,

/.BDLCE；

(2)①证明：将线段力。绕点力逆时针方向旋转90。得到线段/E,连接EF,如图所示:

NDAF=ZEAF=45°,AD=AE,

又••AF=AF,

..△4力尸丝△力E/(SAS),

;.DF=EF,

由(1)可知：BDA.CE,BD=CE,

-CE2+CF2=EF2,

•••DF?=BD，+CF?；

②解：过力作力"于"，

图2

•：BD=4,C尸=3,DF2=BD2+CF2,

：.DF=5,BC=BD+DF+CF=12,

vZLBAC=90°,AB=AC,AH1BC,

:.AH=BH=CH=、BC=6,

：.DH=BH—BD=2,HF=CH-CF=3,

在羽中，AD=yjDH^+AH1=2yf\0»

在RtZX/切中，AF=>jAH2+Hr2=375>

.••△力。万的周长为。/+力。+力尸=5+2jld+3后.

【点睛】本题考查勾股定理及等腰直角三角形的相关知识，解题的关键是全等三角形的判定定理的应用.

23.某商品现在的售价为每件60亓,每星期可卖出3()0件.市场调杳反映：如调整价格,每降价I元,每

星期可多卖出3()件.已知商品的进价为每件40元.设每件商品降价x元.

(1)用含x的代数式表示下列各量.

①每件商品的利润为元：②每星期卖出商品的件数为件.

(2)当商家每星期想获得利润5280元，如何定价？

(3)如何定价才能使每星期的利润最大，其最大值是多少.

【答案】(1)(207)；(300+30%)

(2)55元/件

(3)当商家每星期想获得利润5280元，应定价为48元/件.

【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数

的性质求最值.

(1)①根据题意和题目中的数据，可以用含x的代数式表示出每件商品的利润：②根据每降价1元，每星

期可多卖出30件，可以写出每星期卖出商品的件数；

(2)根据总利润=单件利润x销售量列方程求解即可；

(3)根据总利润=单件利润x销售量，可以写出y关于x的函数关系式，再将函数解析式化为顶点式，即

可得到如何定价才能使每星期的利润最大，其最大值是多少.

【详解】(1)①每件商品的利润为60-40-X=(20T)元，

故答案为：(20-切；

②每星期卖出商品的件数为：300+30》，

故答案为：(3OO+3OX)；

(2)设每件商品降价x元，依题意得：

J关于x的函数关系式是:(207)(300+30%)=5280,

解得：玉二-2（不合题意，舍去，X2=12,

当x=12时，售价为6072=481元）.

答：当商家每星期想获得利润5280元，应定价为48元/件.

（3）解：设总利润为V,依题意得：

=（20-x）（300+30x）=-30.v2+300x+6000,

...y=-3()(x-5f+6750,

.•.当x=5时，J取得最大值6750.此时售价为60-5=55（元）,

答：当定价为55元/件时才能使每星期的利润最大，其最大值是6750元.

24.已知矩形48CD48=3,2AB<AD,以力。为直径作00,点4为。。上一点.

48,4)=10.

①求证：44是。。的切线;

②求O厂的长:

（2）如图2,若点G是5C上的动点，将四边形4OG8沿OG折叠，点力恰好落在H处，点《的对应点为点",

GB'交于点、H.若ZW=G，求行/的长.

17

【答案】⑴①见解析；②m

r）,2百

⑵亍%

【分析】本题主耍运用矩形的性质、全等二角形的判定与性质、切线的判定、勾股定埋以及弧长公式等知

识求解，灵活运用这些性质定理是解题关键.

（1）①通过证明三角形全等得到直角来判定切线；对于②，利用全等三角形性质和勾股定理求线段长度;

（2）根据折叠性质求出角度，进而确定三角形形状，再用弧长公式求弧长.

【详解】（1）①证明：如解图①，连接30,

Ar

■：AB=A'B,OA=OA\08=08,

.♦.△H8OgZU8O(SSS),

/.NOA'B=NOAB=90°,

•••OH是OO的半径，

是OO的切线;

②解：如解图①，由①可知

△才员注△480,

AAOB=4AOB,

•••四边形48。是矩形，

BC//AD,

ZAOB=Z.CBO,

ZCBO-/HOB,

/.FB=FO.

在RtA^^F中，A'F2+A'B2=BF2，

•.7。=1(),AB=3,

A'B=3,©0=5,

.•.(5-0/)2+32=0万2

17

解得。尸二丁：

(2)(2)解：如解图②，连接4日，OH,由题意可知N"8W=/Q48'=90。，A'B'=AB=3,

B'

解图②

/.NHA'B'=30°，

.•./雨。=60。，A,H=2y/3.

•;OA'=OH,

.•.△Of”是等边三角形，

.•.NHOH=60。，0A=0H=AH=2百,

.♦/内之小〃仃60^-x2-752\fi

•・/〃的长为=丁*

25.定义：已知平面直角坐标系X。，中有4,8两点(点力在点8左侧)，48>0,且44〃工轴，若抛物线

。了=江+瓜+°(々工0)经过力，8两点,则称抛物线。：、=加+队+。(。工0)是线段力3的“共弦抛物线”.

⑴若41,3),8(7,3),线段”的一条，洪弦抛物线”C：尸♦-6x+c("0)的顶点N的纵坐标为-6,求

这个抛物线的解析式：

(2)在(1)的条件下，抛物线C与x轴相交于E,F