2025-2026学年人教九年级数学上学期期末必刷常考题之一元二次方程

20251026学年上学期初中数学人教新版九年级期末必刷常考题之一元二

次方程

一.选择题（共8小题）

I.（2025秋•长治期中）若关于J的方程/-2履=4-1化成一般形式后不含有x的一次项，则女的值为

（）

A.2B.-2C.4D.-4

2.（2025秋•碧江区期中）关于x的一元二次方程"2+3x・2=0有实数根，则女的取值范围是（）

Q9

C.k>-lD.k>一［且上WO

oo

3.（2025秋•碧江区期中）下列方程中是一元二次方程的是（）

A.xy+4=7B.%2+-8=0

C.A2+3X-5=0D.ad+/u:+c=0

4.（2025秋•固安县期中）一元二次方程x（x-3）+l=2x化成一般形式后，二次项的系数为〃?，一次项

的系数为〃，常数项是1,则点（加，〃）在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.（2025秋•江北区校级期中）如图，根据图形中标出的量及其满足的关系，列出方程为（）

面积咫

x

1+1

1

A.x（x+1）=6B.-x(x+1)=6

xx+1

C.——=6D.——=6

x+1x

6.（2025秋•海南期中）将一元二次方程7-6A-1=0配方后所得的方程是（）

A.（x+3）2=10B.（x-3）2=1C.（x-3）2=4D.（x-3）2=10

7.（2025秋•宣化区期中）对于任意4个实数a,b,c,d定义一种新的运算］二d3例如：|：詈二4

X6-1X2=22,则关于x的方程14_|的根的情况为（）

A.只有一个实数根

B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根

D.没有实数根

8.（2025秋•长治期中）太原某中学开展“环保卫士”垃圾分类实践活动，2025年7月有120人参加，2025

年9月有270人参加，则参加人数的月平均增长率为（）

A.20%B.30%C.40%D.50%

二.填空题（共5小题）

9.（2025秋•沈河区校级期中）有一个人患流感，经过两轮传染后共有25个人患流感.设每轮传染中平均

一个人传染x个人，则第三轮传染后共有个人患流感.

10.（2025•固原一模）若关于%的一元二次方程（a・1）f・如+。2=0的一个根为1.则。=.

II.（2025秋•朝阳区校级期中）杭州亚运会的吉祥物“江南忆”出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最

忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因.经统计，某商店吉祥物“江南忆”6月

份的销售量为1200件，8月份的销售量为1452件.设吉祥物“江南忆”6月份到8月份销售量的月平

均增长率为x,则可列方程为.

12.（2025秋•山阳县期中）若方程（加一2）”12-2-3%一7=0是关于x的一元二次方程，则m的值

为.

13.（2025秋・长治期中）一元二次方程/-3.15=0的两个根分别为不，必则.叫工2・内・12=.

三.解答题（共2小题）

14.（2025秋•固安县期中）已知关于工的一元二次方程7-&+2）x+2&=0.

（1）求证：4取任何实数值，方程总有实数根；

（2）当2=4时，若△A8C的一边长。=3,另两边长6,c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长.

6（2025秋•集美区校级期中）某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克.在销售过程中发现，当这

种水果的价格定在7元/千克时，每天可以卖出160千克.在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千

克，该水果店每天就会少卖出20千克.

（I）当定价为13元/千克时，该水果店每日的利润为元；

（2）若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，为了让利于顾客，单价应定为多少？请用

方程的方法解决问题.

2025・2026学年上学期初中数学人教新版九年级期末必刷常考题之一元二

次方程

参考答案与试题解析

一,选择题（共8小题）

题号12345678

答案B.BCDADCD

一,选择题（共8小题）

1.（2025秋•长治期中）若关于人的方程/-2履=4x・1化成一般形式后不含有x的一次项，则出的值为

（）

A.2B.-2C.4D.-4

【考点】一元二次方程的一般形式.

【专题】计算题；方程思想：整式；运算能力.

【答案】B.

【分析】先把多项式合并，然后令x的一次项系数等于0,再解方程即可.

【解答】解：:』・2履=4x-1不含x的一次项，

:.-2k-4=0,

解得上=-2.

故选：B.

【点评】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，要知道多项式中的每个单项式叫

做多项式的项，题目设计精巧，有利于培养学生灵活运用知识的能力.

2.（2025秋•碧江区期中）关于”的一元二次方程Zdor-2=0有实数根，则女的取值范围是（）

99

k<--

A.--8B.8

99

C.k>-iD.且/HO

oO

【考点】根的判别式.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】B

【分析】先根据一元二次方程的定义得出AWO,再由方程有实数根，利用根的判别式八20求出k的取

值范围，最后联立得到结果.

【解答】解：由条件可知LWO.判别式A20.

其中A=32-4-^（-2）=9+8%,

•••9+8Z20,即822-9,

:.kN一看.

Q

综上，k之一石O且上W0.

故选:B.

【点评】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，解题的关键是根据一元二次方程的定义确定A

W0,再结合根的判别式求出上的取值范围.

3.（2025秋•碧江区期中）下列方程中是一元二次方程的是（）

°1

A.xy+4=7B.x24--8=0

C.?+3x-5=0D.o?+辰+c=0

【考点】一元二次方程的定义.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】C

【分析】根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判

断各选项.

【解答】解：A.x户4=7含有两个未知数，不符合定义，不符合题意；

B.-8=0分母中含未知数，不是整式方程，不符合定义，不符合题意；

C.7+3/-5=0只含一个未知数，最高次数为2,且是整式方程，符合定义，符合题意；

D.欠2+饭+c=0中。=0时不是二次方程，因此不一定是一元二次方程，不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查了一元二次方程的定义，正确记忆相关知识点是解题关键.

4.（2025秋•固安县期中）一元二次方程x（x-3）+l=2r化成一般形式后，二次项的系数为〃，?一次项

的系数为〃，常数项是1,则点（m,〃）在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【考点】一元二次方程的一般形式；点的坐标.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】。

【分析】先把方程X（X-3）+l=2x化为一元二次方程的一般形式（ur+bx+c=O（aWO）,然后确定m

和〃的值，最后判断点（〃?，后所在象限.

【解答】解：将方程x（x-3）+l=2x展开并整理：/-5x+l=0,

则点（m,〃）为（I,-5）,

因为横坐标1>0,纵坐标-5<0,

所以该点在第四象限.

故选：D.

【点评】本题考查一元二次方程的一般形式，解题的关键是将给定方程化为一般形式，确定二次项系数

和一次项系数.

5.（2025秋•江北区校级期中）如图，根据图形中标出的量及其满足的关系，列出方程为（）

面积:5?6

x

1+1

、1

A.x（x+1）=6B.~x（x4-1）=6

xx+1

C.-----=6D.------=6

x+1x

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】A

【分析】根据矩形的面积公式列出方程即可.

【解答】解：根据题意，列方程为x（x+1）=6.

故选：A.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，熟练掌握矩形的面积公式是解题的大键.

6.（2025秋•海南期中）将一元二次方程7-6x-1=0配方后所得的方程是（）

A.（x+3）2=10B.（x-3）2=1C.（x-3）2=4D.（x-3）2=10

【考点】解一元二次方程■配方法.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】D

【分析】通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式解答即可.

【解答】解：原方程移项得』-6x=l,

配方得f-6.v+9=1+9（两边加一次项系数一半的平方），

故配方后的方程为（,[3）2=10.

故选：D.

【点评】本题主要考查了配方法解一元二次方程.熟练掌握该知识点是关键.

7.（2025秋•宜化区期中）对于任意4个实数〃,4定义一•种新的运算^=^-be,例如胃=4

X6-1X2=22,则关于"勺方程行:J的根的情况为（）

A.只有一个实数根

B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根

D.没有实数根

【考点】根的判别式；实数的运算.

【专题】一元二次方程及应用；应用意识.

【答案】C

【分析】先根据新定义得到六（X-*）-2X4=0,再把方程化为一般式，再计算根的判别式的值，然后

根据根的判别式的意义判断方程根的情况.

【解答】解：根据题意得x・G・k）-2X4=0,

整理得了-履-8=0,

VA=（k）2-4XlX（-8）=必+32>0,

・••方程有两个不相等的实数根.

故选：C.

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程/+以+。=0（aWO）的根与A=b2-4"有如下关系：

当A>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=（）时，方程有两个相等的实数根；当八<0时，方程

无实数根.

8.（2025秋•长治期中）太原某中学开展“环保卫士”垃圾分类实践活动，2025年7月有120人参加，2025

年9月有.270人参加，则参加人数的月平均增长率为（）

A.20%B.30%C.40%D.50%

【考点】一元二次方程的应用.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识.

【答案】。

【分析】设参加人数的月平均增长率为x,根据2025年7月有120人参加，2025年9月有270人参加，

列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可.

【解答】解：设参加人数的月平均增长率为X,

根据题意得：120（1+x）2=270,

解得：xi=0.5=50%,X2=~2.5（不符合题意，舍去），

即参加人数的月平均增长率为50%,

故选：D.

【点评】本题主要考杳了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

二.填空题（共5小题）

9.（2025秋•沈河区校级期中）有一个人患流感，经过两轮传染后共有25个人患流感.设每轮传染中平均

一个人传染x个人，则第三轮传染后共有125个人患流感.

【考点】一元二次方程的应用.

【专题】其他问题；推理能力.

【答案】125.

【分析】根据两轮传染后的总人数列出方程，求解即可二

【解答】解：（1+x）2=25,

解得x=4或-6（舍去），

25+25X4=125人.

故答案为：125.

【点评】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握传播问题的公式并应用，是解决本题的关键.

10.（2025•固原一模）若关于A的一元二次方程（«-1）x2-ar+a2=0的一个根为1.则a=-1.

【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】-1.

【分析】根据题意把X=1代入方程（4-1），-&叶。2=1中，可得〃=士|,然后根据一元二次方程的

定义可得即可解答.

【解答】解：把x=l代入（a-1）办+/=0中，得

fl2—1,

.\a=±1,

由题意得:

a-IWO,

1,

-1,

故答案为：-I.

【点评】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的

关键.

11.(2025秋•朝阳区校级期中)杭州亚运会的吉祥物“江南忆”出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最

忆是杭州“，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因.经统计，某商店吉祥物“江南忆”6月

份的销售量为120()件，8月份的销售量为1452件.设吉祥物“江南忆”6月份到8月份销售量的月平

均增长率为x，则可列方程为1200(1+方2=1452.

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】1200(1+x)2=1452.

【分析】设月平均增长率为x,根据增长率问题的等量关系列方程即可.

【解答】解：设月平均增长率为X,

根据题意得：1200(1+x)2=1452,

故答案为：1200(1+x)2=M52.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，正确进行计算是解题关键.

12.(2025秋•山阳县期中)若方程(巾一2)》而-2一3%-7=0是关于1的一元二次方程，则”的值为-

2.

【考点】一元二次方程的定义.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】2.

【分析】根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2,且二次项系数不为0.

【解答】解：由题意可知：x的最高次数为2,即〃/-2=2,

ni2=4,

，加=±2.

又因为小产2,

故m=-2.

故答案为：・2.

【点评】本题考查一元二次方程的定义，掌握知识点是解题的关键.

13.（2025秋•长治期中）一元二次方程x2・3x-5=0的两个根分别为xi，必则》1X2・xi72=-8.

【考点】根与系数的关系.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】-8.

【分析】利用一元二次方程根与系数的关系进行计算即可.

【解答】解：由题知，

因为一元二次方程?-3x-5=0的两个根分别为Xi,X2，

则文|+.0=3,X\X2=-5,

所以X1X2-X]-X2=X\X2-（X1+X2）=-5-3=-8.

故答案为：-8.

【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关犍.

三,解答题（共2小题）

14.（2025秋•固安县期中）已知关于工的一元二次方程7-（K+2）x+2k=0.

（1）求证：攵取任何实数值，方程总有实数根；

（2）当A=4时，若的一边长。=3,另两边长力，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长.

【考点】根与系数的关系；根的判别式.

【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】（1）证明：-（A+2）『-4X1X2A

=必+4―4-弘

=（后-2）2^0,

••/取任何实数值，方程总有实数根：

（2）的周长是9.

【分析】（1）由方程的系数，结合根的判别式△=庐-4时，可得出△=（〃-2）220,进而可证出：k

取任何实数值，方程总有实数根；

（2）将2=4代入原方程，可得出原方程为，-6卢8=0,利用根与系数的关系，可得出"c=6,再结

合三角形的周长公式，即可求出结论.

【解答】（1）证明：•・•△=[・（&+2）F-4X1X24

公+4k+4-8k

=（k-2）220,

••・左取任何实数值，方程总有实数根：

（2）解：当k=4时，原方程为f-6x+8=0,

•・》,。是这个方程的两个根，

:.b+c=6,

«+/?+<1=3+6—-9.

答：△ABC的周长是9.

【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△2。时，方程有

两个实数根”；（2）牢记“一元二次方程ad+bx+cuO（”WO）的两根之和为一。两根之积等于工”.

15.（2025秋•集美区校级期中）某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克.在销售过程中发现，当这

种水果的价格定在7元/千克时，每天可以卖出160千克.在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千

克，该水果店每天就会少卖出20T-克.

（1）当定价为13元/千克时，该水果店每日的利润为二元；

（2）若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，为了让利于顾客，单价应定为多少？请用

方程的方法解决问题.

【考点】一元二次方程的应用；有理数的混合运算.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】（1）320；

（2）单价应定为8元.

【分析】（1）根据这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克即可求出当定价

为13元/千克时每天可卖出的千克数，再根据总利润=每千克的利润X销售数量即可得出答案；

（2）该水果单价应定为x元/千克，根据题意列出一元二次方程解答，再结合为了让利于顾客，即可得

出答案.

【解答】解：（1）当定价为13元/千克时，

此时可以卖出：160-（13-7）X20=160-120=40（千克），

利润为：（13-5）X40=8X40=320（元）,

（2）该水果单价应定为x元/千克，

由题意知,（x-5）[160-20（x-7）]=420,

整理得：，-20.1+96=0,

解得XI=12,X2=8.

•・•为了让利于顾客，

，1=8,

答：单价应定为8元.

【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适

的等量关系，列出方程，再求解.

考点卡片

1.有理数的混合运算

（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计

算；如果有括号，要先做括号内的运算.

（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化.

【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧

I.转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化

为分数进行约分计算.

2.凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积

为整数的两个数分别结合为一组求解.

3.分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算.

4.巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更询便.

2.实数的运算

（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，

又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算

加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行.

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

【规律方法】实数运算的“三个关键”

1.运算法则：乘方和开方运算、幕的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三

角函数值的计算以及绝对值的化简等.

2.运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运

算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算.

3.运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度.

3.一元二次方程的定义

（I）一元二次方程的定义：

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.

（2）概念解析：

一元二次方程必须同时满足三个条件：

①整式方程，即等号两边都是整式：方程中如果有分母，那么分母中无未知数；

②只含有一个未知数；

③未知数的最高次数是2.

(3)判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数。”未知数的最高

次数是2"；“二次项的系数不等于0"；“整式方程”.

4.一元二次方程的一般形式

(I)一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式/+灰+c=03W0).这种

形式叫一元二次方程的一般形式.

其中以2叫做二次项，。叫做二次项系数：法叫做一次项；c叫做常数项.一次项系数〃和常数项c可取任

意实数，二次项系数〃是不等于。的实数，这是因为当。=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程

就不是一元二次方程了.

(2)要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式.

5.一元二次方程的解

(I)一元二次方程的解(根)的意义：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知数的方程的解

也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.

(2)一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解.这为，X2是一元二次方程at2+尻+c=O"WO)

的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量.

ax\2+bx\+c=0(aWO),at22+te+c=O(a*0).

6.解一元二次方程-配方法

(1)将一元二次方程配成a+〃?)2=〃的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫

配方法.

<2)用配方法解一元二次方程的步骤：

①把原方程化为a/+〃x+c=OQ*0)的形式；

②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方

程无实数解.

7.根的判别式

利用一元二次方程根的判别式（△=庐-4"）判断方程的根的情况.

一元二次方程ar+bx+c=O（aWO）的根与-4ac有如下关系：

①当△＞（）时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当△=（）时，方程有两个相等的两个实数根；

③当avo时，方程无实数根.

上面的结论反过来也成立.

8.根与系数的关系

（1）若二次项系数为1，常用以下关系：XI，X2是方程入2+〃%+°=0的两根时'X\+X2=-pyx\X2=q,反过

来可得〃=-（A1+X