2025-2026学年天津市北辰区九年级（上）期中数学试卷（含答案）

2025・2026学年天津市北辰区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列图形中，是中心对称图形的是（）

2.下列方程是一元二次方程的是（）

A.N+2y=lB.P2x=3C.M4-5D.a?=0

3.用配方法解一元二次方程』-10i+21=0,下列变形正确的是（）

A.(x-5)2=4B.(x+5)2=4C.(x-5)2=121D.(x+5)2=121

4.抛物线广（x+2）2+1可由抛物线产/平移得到，下列平移正确的是（）

A.先向右平移2个单位，再向上平移1个单位B.先向右平移2个单位，再向下平移1个单位

C.先向左平移2个单位，再向上平移1个单位D.先向左平移2个单位，再向下平移1个单位

5.已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根分别为足=1,及=2,则力与c的值分别为（）

A.b=3,c=2B.b=3,c=-2C.Z>=-3,c=2D.b=-3,c=-2

6.已知m是方程Ax-1=0的一个根，则代数式序加+2()24的值等于()

A.2025B.OC.-2024D.2023

7.关于抛物线产3（x-1）2+2,下列说法错误的是（）

A.开口方向向上B.对称轴是直线尸1

C.顶点坐标为（1,2）D.当x>l时，y随x的增大而减小

8.若关于x的一元二次方程^^&十矢。有两个不相等的实数根，则2的取值范围是（）

A3V1BMV1且々WOCMWOD.k'>\

9.设人（-2,>-|）,B（1,”），C（3,心）是抛物线ywd+M-g上的三点，则），i,”，心的大小关系为

（）

A.yi>.V2>J^C.y3>yi>y\D.yi>y\>y3

10.参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场,设共有x个队参加比赛，则下列方程符

合题意的是()

A.与(x+1)=90B.x(e)=9。C,JX(A-1)=90D,X(X-1)=90

11.如图，将△A8C绕点4顺时针旋转90。得到点从C的对应点分别为。,

E,连接CE,点。恰好落在线段CE上，下列结论一定正确的是()

A.AI3=AEB.乙48C+匕£=180°C.4c平分MC。D.13C+CD=AE

12.二次函数产aF+/状+c(〃>())图象与x轴的一个交点坐标为(1,0),对称轴为直线x=-l,结合图象

给出下列结论：

①abcVO；

②儿240；

③+G〃+C=O；

④关于x的一元二次方程af+bx+kO(aWO)的两根分别为・3和1；

®Gm2+bm>a-b.

其中正确的结论有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

13.一元二次方程f-6=0的解为—.

14.在平面直角坐标系中，点M(-5,4)关于原点对称的点的坐标是—

15.一元二次方程(x-2)(,r+5)-0的较小的根为—.

16.已知抛物线产？-2计时1与x轴只有一个交点，则m的值是—.

17.如图，边长为2的正方形A8C。绕点A顺时针旋转30°得到正方形

ABGd,则它们公共部分的面积为一.

18.如图，A点的坐标为（-1,5）,5点的坐标为（3,3）,。点的坐标为（5,

3）,。点的坐标为（3,-1）小明发现线段八8与线段CO存在一种特殊关系，即其

中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段.

（［）AB=—；

（H）写出旋转中心的坐标是_.

三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19.（本小题8分）

选择适当的方法解下列方程：

（1）f+2x=6：

（2）3（JT-2）2=JT-4.

20.（本小题8分）

如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，

△A8C的顶点都在格点上.

（1）将aABC向右平移6个单位长度得到△48iG，请画出△AiSG，并写出4、5、G三点的坐标.

（2）画出山iG关于点。的中心对称图形AA282c2，并写出4、&、C2三点的坐标.

21.（本小题10分）

如图，某校准备在校园里利用25〃?长的旧围墙MN的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园力8CQ,现已

备足可以砌60加长的墙的材料（全部用完），设48的长为力m.

（1）8c的长为机：x的取直范围是

（2）当/为何值时，可使矩形花园44C。的面积为400/序

22.（木小题10分）

已知抛物线产v2+（,„.1）x+〃?-2的对称轴为直线x=\,请你解答下列问题:

（1）求〃?的值及顶点坐标;

（2）求抛物线与x轴的交点坐标，并画出函数图象；

（3）当xVl时，y随x的增大而（填“增大”或“减小”）；

（4）当），V0时，x的取值范围是.

_

_

_

_

_

23.（本小题10分）

某商场将每件进价为80元的某种商品按每件10（）元出售，一天可售出100件.后来经过市场调查，发现这

种商品在原售价的基础上每件每降价1元，其销量可增加10件.

（1）求商场经营该商品原来一天可获利润元.

（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润,，元.

①若商场经营该商品一天要获利涧2160元，则每件商品应降价多少元？

②求出），与x之间的函数关系式，当x取何值时，商场获利润最大，最大值是多少？

24.（本小题10分）

P是等边三角形A8C内的一点,连结PA、PB、PC,将线段5P绕点5顺时针旋转60°,得到线段BQ,

连结CQ.

（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论.

（2）若PA：PB：PC=3：4：5,连结PQ,试判断△PQC的形状，并说明理由.A

.A

Q

25.（本小题10分）

如图，已知抛物线产-*+/M+C•与一直线相交于4（-1,0）、C（2,3）两点，与y轴交于点M其顶点为

D.

（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；

（2）若户是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；

（3）设点M（3,〃），求使MN+MO取最小值时〃的值.

ynv

1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】C

10.【答案】D

11.【答案】C

12.【答案】R

13.【答案】瓜J2

14.【答案】（5,-4）

15.【答案】x=-5

16.【答案】2

17.【答案】年3

18.【答案】2、片

（h1）或（4,4）

19.【答案】xi=-1+»^2=-1-\fl；

.ri=2,A*2=4

y八

I----F--T--7----1---

20.【答案】4(3,5),Bi(2,1)Ci

(5,2).

A；A2(-3,-5),Bi(-2,-1),Ci(-5,-2)

21.【答案】60-2x；17.5^x<30；

当x为20m时,矩形花园ABCD的面积为400//

22.【答案】m=-\,顶点坐标为（1,-4）；抛物线与x轴交点坐标为（3,0）,（-1,0）,函数图象如

图所示；减小；-\<x<3.

23.【答案】商场经营该商品原来一天可获利润2000元；

①每件商品应降价2元或8元；

②)=-10、2+100/2000；当x=5时，商店所获利润最大，最大值为2250

24.【答案】猜想：AP=CQ.

证明：由旋转得，BP=BQ,乙PBQ=60。,

:•乙QBC+乙PBC=6()°.

•••△ABC为等边三角形，

.•.AB=BC,NABC=60°,

SBP+"8c=60°,

，心BP=LQBC.

:.△ABPWACBQ(SAS),

：.AP=CQ.

△PQC是直角三角形.

理由：设P4=3a,PB=4a,PC=5a,

由旋转得，BP=BQ,APBQ=60°,

；.APBQ为等边三角形.

：.PQ=PB=4a.

由知，AP-CQ,

••CQ=3a.

”四QC2=I6a2+9a2=25a2=PC2,

.••△PQC是直角三角形

25.【答案】解：(1)••・将点4(-1,。)和点C(2,3)代入抛物线的解析式得：<一,)二；解

得：b=2,c=3.

二抛物线的解析式为L-F+ZY+3.

设直线4c的解析式为y=kx+b.

,•・将点A和点C的坐标代入得<：+'解得"1,b=\.

2A:4-0=.5

•・•直线AC的解析式为y=x+1.

(2)如图，过尸点作PQ?)，轴交AC于点Q,

设点尸(〃?，-m123+2m+3)，

•••Q(〃？,zn+1)»

I9

：.PQ=(-m2+2m+3)-(m+1)=-m2+/n+2="(/n--)2+

•••S