2025-2026学年天津市河东区九年级（上）期中数学试卷

2025-2026学年天津市河东区九年级(上)期中数学试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的，

1.(3分)下列国产新能源汽车图标是中心对称图形的是()

2.(3分)若xi，%2是方程,d-61-7=0的两个根,贝I」()

7

A.XI+X2=6B.xi+A2=-6C.x1D.X]X2=1

140

3.(3分)在平面直角坐标系中，点(3,1)关于原点对称的点的坐标是()

A.(-5,I)B.(5,-1)C.(1,5)D.(-5,-1)

4.(3分)下列说法正确的是()

A.直径是弦，弦是直径B.过圆心的线段是直径

C.直径只有一条D.圆中最长的弦是直径

5.(3分)将一元二次方程F+6X-1=0配方后，可化为()

A.(x+3)2=10B.(A-+3)2=8C.(x-3)2=10D.(x-3)2=8

6.(3分)对于二次函数y=-2(x+1)2,下列说法错误的是•)

A.它的图象的开口向下

B.它的图象的对称轴是直线x=l

C.当x=-1时，y取最大值

D.当x>l时，y随x的增大而减小

7.(3分)将抛物线旷=-2G+1*+3向左平移3个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线解析式为()

A.尸-2(x+4)2+1B.y=-2(x-2)2+1

C.y=-2(x+4)2+5D.y=-2(x-2)2+5

8.(3分)某网络销售公司计划第二季度销售额达到120()万元，已知4月的销售额为31()万元，设5,根

据题意所列方程正确的是()

A.310(1+x%)2=120()

第1页(共23页)

B.31（）（1+x）+310（1+x）2=1200

C.310（1+x）2=1200

D.310+310（1+x）+310（1+x）2=1200

9.（3分）已知点（・1,yi）,（・2,竺），（-4,”）在二次函数y=・2——8x+〃？的图象上，则pi,yi>

N3的大小关系是（）

A.y\<y2<yiB.gV/VyiC.gVyiV/D./VgVyi

10.（3分）如图，△48C中，已知NC=90°,AB=5,分别以点力和点4为圆心工研的长为半径作弧（弧

2

所在圆的半径都相等），两弧相交于直线MN分别与边/瓜力。相交于点。，E（）

28

11.（3分）如图，将△出5c绕点力顺时针旋转90°得到△力。E,点&E,连接CE,点。恰好落在线段

CE1.（）

E

C.4C平分N8CQD.BC+CD=AE

12.（3分）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系（单位：〃力.有下列

结论：

（l）JZ?=24/n；

②池底所在抛物线的解析式为y=-l>X2一

5：

45

③池塘最深处到水面CD的距离为1.8〃?：

④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半,则最深处到水面的距离减少为原来的工.

4

其中结论正确的个数有（）

第2页（共23页）

y

-15-121215

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

13.（3分）一元二次方程/-3x=0的根是.

14.（3分）二次函数y=2？+bx+3的图象的对称轴是直线x=l,则常数b的值为.

15.（3分）若二次函数y=f・2x+2/〃・2的图象与x轴有公共点，则加的取值范围

是.

16.（3分）如图，在中，弦力C〃半径08,则N/10C的度数为.

17.（3分）如图，点E为正方形/8CO的边8c上一点，且N%E=30°,将线段/E顺时针旋转90°得

到线段依，连接6.若AB=3«.

18.（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形力0C4的边OC在x轴上，OC的长是2«，过点C作x轴

的垂线，直线力。分别交x轴和y轴于点尸和点£动点服从点。以每秒1个单位长度的速度沿O。

向终点。运动，设运动时间为/秒.

（1）0。的长是；

（2）连接MN,当的面积是退时，运动时间，是秒.

2

第3页（共23页）

y

三、解答题：本题共6小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19.(16分)用适当的方法解方程

(1)(x-3)2-9=0.

(2)x2-2A-5=().

(3).v2-6x-27=0.

(4)(x-3)2+4X(x-3)=0.

2也(10分)已知二次函数y=-.d+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=-l,且经过点(1,0)

(1)当歹＜0时，x的取值范围是；

(2)二次函数的解析式是；

(3)当0W工・4时・，y的最大值是；

(4)当-2VxV2时，y的取值范围是；

(5)若直线)，=%与该二次函数的图象有公共点，则上的取值范围是

21.(10分)如图，OA=OB,力8交。。于点C,D,且于点尸.

(1)求证：AC=BD；

(2)若8=10,EF=3,求。。的半径.

E

第4页(共23页)

22.（10分）阳光市场某个体商户购进某种电子产品，每个进价50元.调查发现，当售价为80元时，而

当售价每降低1元，平均一周可多卖出10个.

（1）每个电子产品降价x元，则每周可销售个；

（2）若商户计划每周盈利5200元，且尽量减少库存，则每个电子商品应降价多少元？

（3）设商户每周盈利"元，当每个电子产品降价多少元时，每周的销售利润最大？最大利涧是多少元？

23.（10分）在平面直角坐标系中，。为原点，点力（4,0）（0,3）,把△力BO绕点力顺时针旋转，得^

AB'O',。旋转后的对应点为8,，0'.记旋转角为a.

（I）如图①，若a=90°,则88'的长是，点、B'的坐标是:

（II）如图②，若a=120°,求点O'的坐标；

（III）记K为的中点，S为△KO'B'的面枳，求S的最小值和最大值（直接写出结果即可）.

（I）若a—

2

①求该抛物线的解析式和点C的坐标；

②夕为直线4C上方抛物线上一点（点尸不与点儿C重合），过点尸分别作x轴、y轴的垂线，与直

线4C相交于点。，E,求点尸的坐标；

（II）若AC=4B,F,G分别是线段4C,上的动点，些方斗CG取得最小值时，求点G的坐标.

第5页（共23页）

2025-2026学年天津市河东区九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共12小题）

题号1234567891011

答案BADDABCDCcc

题号12

答案B

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是整合题目要求

的,

1.（3分）下列国产新能源汽车图标是中心对称图形的是（）

«><

【解答】解：观察可得：8是中心对称图形,

故选：B.

2.（3分）若X”X2是方程/-6丫-7=0的两个根，则（：

7

A.XI+X2=6B.xi+A2=_6C.x<Xo=—D.x\xi=l

1/6

【解答】解：・・・xi，X2是方程--6x-7=6的两个根，

-R-7

/.Xl+x=--=6,X3X2=—=-7.

213

故选：A.

3.（3分）在平面直角坐标系中，点（5,1）关于原点对■称的点的坐标是（）

A.（-5,I）B.（5,-1）C.（1,5）D.（-5,-1）

【解答】解：根据中心对称的性质，可知：点（5,-1）.

故选：D.

4.（3分）下列说法正确的是（）

第6页（共23页）

A.直径是弦，弦是直径B.过圆心的线段是直径

C.直径只有一条D.圆中最长的弦是直径

【解答】解：A.直径是弦，所以力选项不符合题意：

B.过圆心的弦是直径；

C.直径有无数条；

D.圆中最长的弦是直径.

故选：O.

5.(3分)将一元二次方程f+6.L1=0配方后，可化为()

A.(x+3)2=10B.(x+3)2=8C.(x-3)2=10D.(x-3)2=8

【解答】解：原方程移项得：

f+6x+5=1+9,

(x+6)2=10,

故选：A.

6.(3分)对于二次函数y=-2(A-+I)2,下列说法错误的是〔)

A.它的图象的开口向下

B.它的图象的对称轴是直线x=l

C.当工=-1时，y取最大值

D.当时，y随x的增大而减小

【解答】解：对于二次函数y=-2(x+1)6,

•・•-2<0,

••・它的图象开口向下，故彳正确；

对称轴为直线x=-2,故8错误；

当x=-1时，y有最大值；

Vx>1时，y随工的增大而减小，

，当x>2,y随x的增大而减小.

综上，只有“错误.

故选：B.

7.(3分)将抛物线丁=-2(X+1/+3向左平移3个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线解析式为()

A.y=-2(.r+4)2+lB.y=-2(x-2)2+1

C.y=~2(x+4)2十5D.y=-2(x-2)2+5

第7页(共23页)

【解答】解：将抛物线y=-2(x+1)4+3向左平移3个单位，再向上平移8个单位2+3+5,即y=-2

(x+4)5+5.

故选：C.

8.(3分)某网络销售公司计划第二季度销售额达到1200万元，已知4月的销售额为31()万元，设5,根

据题意所列方程正确的是()

A.310(I+x%)2=120()

B.310(1+x)+310(1+x)2=1200

C.310(1+x)2=1200

D.310+310(1+x)+310(1+x)2=1200

【解答】解：根据题意得：310+310(l+x)+310(1+x)4=1200.

故选：D.

9.(3分)己知点(・1,yi),(-2,,12),(-4»,vs)在二次函数・Zr2・8x+m的图象上，则pi,盟，

g的大小关系是()

A.y\<y2<yiB.y3<y2<y\C.D.y2<y3<y\

【解答】解：二次函数y=-*-6/小，

贝ija=-2V0,开口向下x-------J—-=-6»

2X(-2)0

则函数图象上的点，离对称轴越远函数值越小，

点(-1,川)，(-3,(-4,泗)到对称轴的距离分别为：1、0、2,

则"VyiVyy,

故选：C.

10.(3分)如图，△/也。中，已知NC=9()°,/出=5,分别以点力和点4为圆心工研的长为半径作弧(弧

2

所在圆的半径都相等)，两弧相交于.“，直线A/N分别与边18,/C相交于点O,E()

【解答】解：・・・NC=90°,BC=3,

第8页(共23页)

AJC=VAB2-BC2=V52-32=4*

设CE=x,贝i」4E=4C-CE=4-x,

由题意得：OE是48的垂直平分线，

:・EA=EB=4・x,

在RtZXBCE中，B&CE^BE?,

・二34十/=（4-x）

解得：X=L,

8

，线段CE的长为色,

8

故选：C.

11.（3分）如图，将△/出C绕点力顺时针旋转90°得到△/◊£,点B,E,连接CE,点。恰好落在线段

CE±（）

A.AB=AEB.ZJ5C+Z£=180°

C.4C平分NBCDD.BC+CD=AE

【解答】解：连接8Q,

•・•将△48C绕点A顺时针旋转90°得到△力OE,

：,AC=AE,NBAD=/CAE=90°,

:・/ACE=NE=45°,

:・NACB=NE=45°,

AZACB=ZACE=450,

工/C平分NBCO.

故选：C.

12.（3分）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系（单位：〃?）.有下列

结论：

①44=24〃”

②池底所在抛物线的解析式为y=」LX2-5；

③池塘最深处到水面CD的距离为1.8〃?：

第9页（共23页）

④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的1.

4

D.4个

【解答】解：①观察图形可知，AB=30m,

故①错误；

②设池底所在抛物线的解析式为・5,

将（15,4）代入工

45

故抛物线的解析式为》=为7・5：

故②正确；

③•・•尸今J5，

45

，当工=12时，y=-1.7,

故池塘最深处到水面CD的距离为5-13=3.2（切）,

故③错误;

④当池塘中水面的宽度减少为原来的一半，即水面宽度为12〃?时,

将x=3代入y=-lrd-8,得y=-4.2,

45

可知此时最深处到水面的距离为6-4.2=4.8（小），

即为原来的工,

7

故④正确.

故选：B.

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

13.（3分）一元二次方程/-3x=0的根是xi=3,万=0

【解答】解：分解因式得：x（x-3）=0,

可得x-2=0或x=0,

第10页（共23页）

解得：X7=3,X2=7.

故答案为：xi=3>X8=O.

14.（3分）二次函数），=2/+m+3的图象的对称轴是直线x=l，则常数b的侑为-4

【解答】解：•・•二次函数尸2?・+以+3的对称轴是直线x=l,

.*.x=----=1,

2X2

*»b=~4.

则b的值为-7.

故答案为：-4.

15.（3分）若二次函数-2x+2w-2的图象与x轴有公共点，则小的取值范围是以至3_.

一2~

【解答】解：根据题意得△=（-2）2-8（2〃?-2）26,

解得

2

即m的取值范围为〃忘空

2

故答案为：/

7

16.（3分）如图，在中，弦力C〃半径。氏则N/OC的度数为100°.

【解答】解：・・"。〃半径08,

：.ZOCA=ZBOC=4()°,

yOA=OC,

，NA=NO。=40°,

/.ZJOC=180°-N4-NOC4=180°-40°-40°=100°.

故答案为：100°.

17.（3分）如图，点E为正方形18。的边8c上一•点，且/期E=30°,将线段力£顺时针旋转90°得

到线段广£连接CR若AB=3雨_3&_.

第11页（共23页）

【解答】解：如图，四边形43c力是正方形，交8c的延长线于点G,

VZ5J£=30°,

:,EA=2BE,

在Rt△川?七中，由勾股定理得：AB2+B1^=EA2,

A(3V5)2+BE2=(8BE)2>

解得：BE=3(负值已舍去)，

VZ5=90°,

：.ZBAE+ZAEB=90°,

•••以点E为旋转中心,将线段上顺时针旋转90°得到线段FE,

AZAEF=90<>,FE=EA,

:・NAEB+NGEF=90°,

/./GEF=NBAE,

在△£<；/和△/BE中，

2G=NB=9O°

<ZGEF=ZBAE

FE=EA

:.XEGF/XABE(AAS),

:.EG=AB,GF=BE=8,

:・EG=BC,

:.EG-EC=BC-EC,即CG=BE=3,

在RtACFG中，由勾股定理得：CF/cG2+FG'=3近，

第12页（共23页）

故答案为：76.

18.(3分)如图，在平面直角坐标系中，菱形力0c8的边0C在x轴上，0C的长是2«，过点C作x轴

的垂线，直线AD分别交x轴和y轴于点F和点E,动点M从点。以每秒1个单位长度的速度沿OD

向终点。运动，设运动时间为/秒.

(1)OD的长是一4；

(2)连接MM当的面积是返4时，运动时间/是行万或3秒.

・・・0A=0C=2«，ZCOD=yZAOC=30"

•・,CZ)L•轴，

・・・/0CQ=9(T,

：.0D=2CD,0CSCD=2百，

：.CD=1,

：・OD=4,

故答案为：4；

(2)过点力作/H_L0C于H

：.ZOAH=30°,

•*-0H=^-0A=V3,AH=A/30H=7>

第13页(共23页)

・・・A（V§，3）,

由（1）可知：D（2向，2）：

V2k+b=3

・•・设直线力。的解析式为贝ij：

2V8k+b=2

解得

,b=4

.V34

•・y=­«-x+4f

b

,当x=0时，y=7,

当y=-^^»x+7=o时,X=4V4

3

：.E（o,4）,F（8^3，0）,

：・0E=6=0D,

ZDOE=ZEOF-ZCOD=60°,

•••△。。£为等边三角形,

:.DE=OD=4,NOEF=NODE=60°,

：.ZOFE=30Q,

:・EF=2OE=8,

:・DF=EF-DE=4,

由题意，OM=f,

:・DM=OD-OM=4-/,

当点N在。尸上时，即5W/W2时,

VZNDP=ZODE=60°,

:./DNP=3O",

第14页（共23页）

••・DP--DN=8-t，NP=V3DP=2V3-V3t»

2

•e,SAHDN=-^DM*NP=y(5-t)(2M-Et)=*■•

u乙乙

解得t=4一后或t=3+J§(舍去)；

当点N在。E上，即2\"$tW4时，如图，

同理：SNT=\scjrt{3}t-2\sqrt{3}$，

/.$S_{^MDN}=yrac{1}{4}DM-NT=\frac{1}{2}(8-0(”g%{3}L2"g"{8})=\frac{\sqrt{3}}{2}3,

解得t=2；

综上：$f=3-%{2}$或t=6,

故答案为:$3・“加{2}$或7.

三、解答题：本题共6小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19.(16分)用适当的方法解方程

(1)(x-3)2-9=0.

(2)X2-2X-5=0.

(3)x2-6A--27=0.

(4)(x-3)2+4X(x-3)=0.

【解答】解：(1)原方程移项得：(x-3)2=2,

:・K3=3或x-8=3,

/•xi—8>X2~0；

(2)原方程移项得：/-入=5,

A.r4-2x+\=7+1,即(x-1)5=6,

•*-X-1=病或X-1=-V6，

,;

X8=1W6X3=1-V6

第15页（共23页）

(3)原方程因式分解可得(x-2)(x+3)=0,

・\x-2=0或x+3=7,

•*»xi=9»X6=-3；

(4)V(x-3)5+4X(x-3)=7,

:.(x-3)(x-3+2A-)=0,即(x-3)(4x-3)=0,

■x・5=0或5x・3=0,

•'•xi=5,X2=V-

47

20.(10分)已知二次函数y=-f+力"。的图象如图所示，对称轴是直线x=-l,且经过点(1,0)

(1)当y<0时，x的取值范围是xV-3或x>l；

(2)二次函数的解析式是--/+2什3；

(3)当0WxW4时，y的最大值是4:

(4)当-2<x<2时，y的取值范围是・3VyW4；

(5)若直线y=h与该二次函数的图象有公共点，则〃的取值范围是—4.

【解答】解：(1)•・•抛物线的对称轴是直线x=-1，与x轴的一个交点坐标为(1,

，抛物线与x轴的另一个交点坐标为(・7,0),

，当xV-3或x>2时，yVO：

故答案为：xV-3或x>8：

(2)抛物线的解析式为y=-(x+3)(x-1),

即尸-/+2什3：

故答案为：y=-?+2x+3：

(3)-X6+2X+3=-(X-7)2+4,

，x=6时，y有最大值，

・•・当()WxW4时，7的最大值是5；

故答案为：4；

第16页(共23页)

(4)x=\时，y有最大值，

Vx=-8时，y=-X2+2X+7=-4-4+8=-5,

x=2时，y=-X8+2X+3=-4+4+3=2,

・•・当-2<x<2时,y的取值范围为-8VyW4；

故答案为：-5〈.y<4；

(5)•・,抛物线的顶点坐标为(1,4),

・••当时，直线》=左与该二次函数的图象有公共点.

故答案为：kW4.

21.(10分)如图，OA=OB,AB交OO于点、C,D,且OE_L/I8于点立

(1)求证：AC=BD；

(2)若CQ=1(),EF=3,求。。的半径.

【解答】（1）证明：'：OA=OB,OELAB于点F,

:,AF=BF,

又TOE是OO的半径，OE.L.4B,

:,CF=DF,

：,AF-CF=BF-DF,

：.AC=BD；

〈OEtAB,CO为OO的弦,

：.CF=1CD=4,

2

：.CO2=CF1+Of^,

第17页(共23页)

设OO的半径是r,

/.?=58+(/•-3)2,

解得r=lL,

5

••・。0的半径是工.

3

22.(10分)阳光市场某个体商户购进某种电子产品，每个进价50元.调查发现，当售价为80元时，而

当售价每降低1元，平均一周可多卖出10个.

(1)每个电子产品降价x元，则每周可销售(160+1Ox)个：

(2)若商户计划每周盈利5200元，且尽量减少库存，则每个电子商品应降价多少元？

(3)设商户每周盈利“元，当每个电子产品降价多少元时，每周的销售利润最大？最大利涧是多少元？

【解答】解：(1)由题意，•・•售价80元时，每降价1元多卖10个，

・•・降价x元则多卖10x个，

・•・每周销售量为(160+10x)个.

故答案为:(160+10.r).

(2)由题意,二•单件利润：8()-x-50=30-工元，

••・结合(1),设每一个电子商品应降价x元.

(30-x)(160+IO.v)=5200.

，x=4或x=10.

又•・•“减少库存”，

Ax=10.

答：每个电子商品应降价10元.

(3)由题意，设每个电子产品降价x元，

，每周盈利W=(30-x)(160+lOx)=-10/+140x+4800=-10(x-7)2+5290.

V-10<8,

・••当x=7时，％取最大值.

答：当每个电子产品降价7元时，每周的销售利润最大.

23.(10分)在平面直角坐标系中，O为原点，点A(4,0)(0,3),把△力8。绕点力顺时针旋转，得^

AB'O',。旋转后的对应点为*,O'.记旋转角为a.

(I)如图①，若a=9(T,则88,的长是_5&_，点夕的坐标是(7,4)；

(II)如图②，若a=120°,求点O'的坐标；

第18页(共23页)

(Ill)记K为的中点，S为△KO8'的面积，求S的最小值和最大值(直接写出结果即可).

图②

：.OA=4,OB=3,

••・AB巧

•・•旋转,

.\AB'=AB=6,NBAb=a=9U

=V2AB=5V3»

又•：AB'=AB,

:AAB'gABAO(AAS),

：.B,C=AO=4,AC=OB=3,

：,OC=OA+AC=7,

AB'(7,4)；

(〃)如图②，过O,作07)_Lx轴于