2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷【测试范围：青岛版第一章~第三章】（全解全析）

九年级数学上学期期中模拟卷（青岛版）

全解全析

（考试时间：120分钟，分值：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：青岛版九年级上册第一章〜第三章。

第一部分（选择题共30分）

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.在RtZX/16。中，ZC=90°,BC=5,AC=12,则tan5的值是（）

551212

A.—B.—C.—D.—

1213135

1.【答案】D

【详解】解：在RI△46c中，ZC=90°,5C=5,JC=12,

,AC12

所rri以tanBn=—；=—,

BC5

故选：D.

2.如图，能使的条件是（）

c

C四二处

D.CD2=ADBD

•ACCD

2.【答案】B

【详解】解：•♦•NC=/C，

ArAR

A、当黑=会时，NC不是两边的夹角，无法判断三角形相似，不符合题意；

CDDC

B、当AC2=CD・CE，即会=%时，NC是两边的夹角，可以判断三角形相似，符合题意；

z)CAC

C、段二冬时，/C不是两边的夹角，无法判断三角形相似，不符合题意；

ACCD

D、当CD2=/QBD,即箕=当，/C不是两边的夹角，无法判断三角形相似，不符合题意;

BDCD

故选：B.

3.物理实验课上，分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小丽发现宜物上升时,

滑轮上点A的位置在不断改变.已知滑轮的半径为6cm,当滑轮上点A转过的度数为30。时，重物上升了

()

占重物

A.—cmB.乃cmC.3^-cmD.6/rcm

2

3.［答案】B

【详解】解：；滑轮的半径为6cm,

・•・滑轮上点彳转过的度数为30。时，所对应的弧长为：器£=7r(cm),

1oO

•••重物上升了兀cm

故选：B.

4.如图，已知锐角三角形/3C内接于圆O,ODJ.BC于点、D,连接。4,点E在线段04上，OE=()D,

连接。E,若48C=75。，NOED=20。,则4cB的度数是()

C.45°D.50°

4.【答案】B

【详解】解：延长。。交圆。于点尸，连接力尸，OB,OC.

V/ABC=75。，

Z/1OC=150°,

OE=OD,

：.COED=4ODE=20°,

NAO广=2NOED=40。，

:.ZCOF=150°-40o=110°,

•・•圆。中OO_LBC于点。，根据垂径定理可得：CF=BF，

：.=/CO/7=110°,

:.Z^05=110°-400=70°,

5.如图，小丽从点A出发，沿坡度为10。的坡道向上走了120米到达点8,则她沿垂直方向升高了()

B

_i5g

A

120120

A.---------米B.----------米C.120tanl0。米D.DOsinlO。米

tan10°sin10°

5.【答案】D

【详解】解：如图，由题意得：N/=10°,8C14C,43=120米,

AB

・•・8C=•sin力=120sin10。米,

即她沿垂直方向升高了120sinl0。米,

故选:D.

6.如图点。为△月8C的外心，点/为△48。的内心，Z5OC=160°,则N8/C的度数为（）

C.130°D.140°

6.［答案】C

【详解】解：•・•点。为△44C的外心，N8OC=160。,

ZJ=80°,

:.NZ8C+4C8=100,

•••点/为△48C的内心，

:.〃BC+4CB=50。,

：.ZB/C=\30°,

故选：C.

7.在ZU4C中，力。是高，矩形P0MN的顶点/＞、N分别在18、力C上，0M在边4C上，若Z?C=8cm,

AD=6cm,且PN=2PQ,则矩形PQWV的周长为（)

A.14.4cmB.7.2cmC.11.52cmD.12.4cm

7.【答案】A

【详解】解：如图所示，

•・,四边形尸QMN是矩形，

APN||BC,PN=QM,PQ=NM,NAEP=/ADB=90。,

：.3APNs^ABC,

.AEPN

,・而一兹’

,?ADJ.BC,

/.AELPN,四边形P0QE是矩形，

・•.PQ=NM=ED,

设PQ=x,

贝iJPN=2P0=2x.

,2x6—x

..—=----,

86

解得x=2.4.

矩形PQMN的周长为2仍。+PN)=6x=14.4,

故选：A.

8.在锐角A/BC中，NA,NB,NC所对的边分别为〃，b,c,有以下结论：一一=一二二一二=2〃(其

smAsinBsinC

中R为“8C的外接圆半径)成立.在“8。中，若N4=75。，N8=45。，c=4,则MBC的外接圆面积为

()

16万64乃

A.-----B.-----C.16乃D.647r

33

8.【答案】A

【详解】解:方法一：・・・N/=75。,NB=45。,

,ZC=180°-ZJ-Z5=180°-75。-450=60。，

2Rc_4_48」

有题意可知"sinC_sin60°=^~-

2

.D4打

••R=----•

3

方法二：设的外心为O,连结。4OB,过。作OO_L48于。,

VZJ=75°,N8=45°,

:.ZC=18()°-ZJ-Z^=180o-75o-45o=60°,

:.ZAOB=2ZC=2x60°=120°,

*：OA=OB,

・♦./OAB=/OBA=1(180°-120°)=30°,

•：OD±ABtAB为弦,

:"D=BD=LAB=2,

2

.\AD=OAcos30°f

：・OA=4。+cos30。=2+立=速，

23

.cD2nA2(46116"

・•S讨=乃7?=7rOA=71----=---------.

33

故答案为4

c

9.如图，在正方形月8c。外取一点E,连接力上,8瓦。E.过点力作彳E的垂线交于点尸.若

AE=AP=1、PB=4,下歹U结论：①“P0S"E4；②点B到直线力£的距离是0；@EB1ED,④

S正方孙Be=4+娓.其中正确的结论是（）

A.①②B.①④C.®®®D.①②③

9.【答案】C

【详解】解：®V^EAB+ZBAP=90°,^PAD+ZBAP=90°,

2EAB=NPAD,

AE=AP

在△力防和△4PQ中,,NE4B=/PAD

AB=AD

；.〉PD0"EB（SAS）,

：,LAPD^AEB,目.相似比为1；故①正确；

③4AP睁AAEB,

：.Z.APD=NAEB,

又•：NAEB=NAEP+NBEP,乙4PD=NAEP+NP4E,

Z.ZBEP=ZPAE=90°,

:.EBtED,故③正确：

②过8作8尸_1_力£,交力E的延长线于R

A

/\\//IVAE=AP,NE4P=90°,

BC

：.ZAEP=ZAPE=45°,

又「③中E8_L£7),BFA.AF,

:./.FEB=Z.FBE=45°,

'：PE=>JAE2+AP2=V2，

••・BE=dBP，-PE?=后5=6,

/.BFEF故②不正确：

2

®VBF=EF=—,AE=\,

2

，在Rt△力斯中，AB2=(AE+EF)2+BF2=4+y/b,

:正方廨88==4+娓,故④正确，

故选:C.

10.如图，当太阳光线与地面成60。的角时，测得空中热气球在地面上的影长是10m,则热气球的直径是

()

A.20mB.10VimC.56mD.10m

10.【答案】C

【详解】解：如图，记直径为MN，过点A作4C_LNB于点C,

N

C

M

地面

由题意得，^ABC=60°,=AM〃NB、N8与圆相切于点M

，MN1NB,

:・MN=AC,

AC=48sin600=575m，

MN=AC=543m,

故选:C.

第二部分（非选择题共90分）

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.如图，点力，B,C是正方形网格中的格点，贝1Jtan/84c的值为

11.【答案】2

【详解】解：如图，连接3C,

设格点止方形的边长为1,根据W股定埋，得

8C=厅百=2&，==71,JC=>/32+l2=Vi0»

故心=8。2+月工，

故乙48c=900,

fetanZ5JC=—=2,

AB

故答案为：2.

12.图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到

AC=BD=\2cmfOC=OD=^OA,则图中摆盘的面积是

图1图2

12.【答案】27n

【详解】解：观察图1可知，图1中有8个扇形，整个圆盘可看作是一个完整的圆，则每个扇形的圆心角

3600

n=-----=45°.

•••NO=45°

OA=OC+AC,OC=OD=-OA,

5

4

AC=BD=-OA,

5

VAC=BD=ncm

OA=15cm,

OC=OD=3cm,

S网影=S侬O48-S@0c口

2

45万OA451。。2

-560360

45乃(152—3，

360

=274(cm,；

故答案为：27^-.

13.如图，在△力4。中，Z^C=30°,tanC=1,J5=6,则3。的长为.

13.【答案】9+3x/3/3x/3+9

【详解】解：如图所示，作力DJ.BC于D,

c1AD

tanC=-=-----

3CD

CD=3x,

•••4ABe=30°,AB=6,

cos/.ABC=

AB

即见吗

26

解得：8。=3后,

在中，AD=>JAB2-BD2

即：AD=x=3,

CD=3x=9,

•••BC=8Q+OC=36+9,

故答案为：9+373.

14.已知的半径为5,弦力8=6,弦8=8,AB//CD,则这两条平行弦46、CD的距离为

14.【答案】1或7

【详解】解：过点。作OEJ•48于点E,交C。于点"，连接。4,OC.

vAB^CD,OELAB,

OF±CD.

•.OA=OC=5,AB=6,8=8,

AAE=-AB=3,CF=-CD=4.

22

在RaCME中，OE=yJOA2-AE2=>/52-32=4.

在Rt^OC厂中，OFTOC?-CF2=收-4?=3-

当48,CQ在圆心。的同侧时，

当AB,。在圆心。的异侧时,

故答案为：1或7.

15.如图，P408是。。的切线，切点分别是点4和8,AC是。。的直径.若/夕=60。,4=6,则的

长为.

C

15.【答案】

【详解】

解：如图，连接力8,

「是。。的切线,

/.PA=PB,

•.匕=60。，

「.△P如？为等边三角形，

;"B=PA=6,NP4B=60。,

•••4是。。的切线，

ZPJC=90°,

/.ZCAB=ZPAC-ZPAB=90°-60°=30°,

•.FC是。。的直径，

48c=90°,

在Rt△力8c中，

tanZ.CAB=6xtan300=5x^y=2b.

故答案为：26.

16.如图，在RtZX/JBC中，/8=90。，N4=30。，4C=8,点力在力〃上，且5。=6，点E在8c上运

动.将△8。£沿。后折叠，点8落在点9处，则点夕到4。的最短距离是—.

【详解】解：过点。作。”_L/C于〃，过点ZT作8"_L/C于J,如图所示:

由勾股定理可得=J力。2-8。2=4后,

・二80=5

:・AD=AB-BD=30

•;/AHD=90°,ZA=30°,

，DH=-AD=—

22

•:B'D+B'J2DH,B'D=BD=S

2

则当D*,，共线时，8"的值最小，最小值为日，

故答案为：走.

2

三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（8分）计算:

（］）tan^+sin45°->/3tan30°；

（2）Vicos245。一sin30。tan60。+gsin60。.

17.（8分）

【详解】（1）解：tan^-5+sin450-V3tan30°

味吟e与

=&-1;

（2）解：V3cos2450-sin30°tan60°+1sin60°

3闺亭有+3日

、石6G

=------1--.

224

=-©-

4

18.（10分）如图，△OAC在平面直角坐标系内的顶点坐标分别为8（-3,6）,C（-3,0）.

（1）以原点O为位似中心，在第四象限画出△O8C,使△08。与△09（7的相似比为3:1；（点&C的对应

点分别为9,C）

（2）写出点4的对应点*的坐标"（,）；

⑶△OB'C'与AOBC的面积比为.

18.（10分）

【详解】（1）解：如图，即为所求：

（2）解：,.・8（-3,6）,且△O8C与△O8C的相似比为3:1

.・.8'（「2）,

故答案为：L-2；

(3)解：由题意得,AOBCSAOB'C',

・J。/

SQBC13J9

故答案为：

19.(1()分)如图所示，在△18C中，N8=45。,CQ是彳8边上的中线，过点。作。£J_8C,垂足为E,

3

若CO=5,sin^BCD=~.

(1)求4。的长；

(2)求N4C8的正切值.

19.(1()分)

【详解】(1)解：・・・DEJL8C,

・•・£BED=NCED=9/.

VCD=5,sinZ^CD=|,

・•・DE=COsinN8c0=3.

***CE=>JCD2-DE2=J5、32=4.

■:N8=45°,

:.Z^Z>E=90°-45°=45°.

・••/BDE=/B.

:.BE=DE=3,

Z.BC=BE+EC=3+4=7.

(2)解：过点力作力/_Z4C于点八如图所示.

A

DEA.BC,

:.DE//AF

^BDEs^BAF,

.8DDEBE

・•.AF=2DE=6,BF=2BE=6,

:・CF=BC—BF=\.

AT7

・・・tan/4C8=——=6.

CF

20.（10分）白云寺景区位于河南省新乡市辉县市西部.三十公里的太行山下，寺内外共六棵千年银杏树，为

唐代所植，树冠如盖，锦延有上千平米，与古色古香的寺院相映成趣.千百年来这六棵银杏树，虽几经战

火的劫难仍迥然纥立，默默守护着这座古守院，成为当地的一大景观和研究太行山植被的活化石.某校致

学社团的同学们想要利用所学的知识测量某棵银杏树的高度，他们分成了三个小组并分别设计了不同的方

案，测量方案与数据如下表：

测量银杏树的

课题

高度

测量测量角度的仪器、

工具皮尺等

测量

第一小组第二小组第三小组

小组

测量AA

A一

方案

示意

cDBp半----电

图RHB

川是银杏树正西方向的指路牌，借助

点C、。在点B的是银杏树旁

说明E厂进行测量，使P、E、A三点在一条

正西方向的房屋

直线上，点尸、尸在点8的正西方向

ZC=37°,

测量/AGE=37°,EF=9m,NP=37°

408=450,

数据NBGE=45°./AFB=45°

CD=12m.

(1)第小组的数据无法算出银杏树的高度；

(2)请选择其中一个方案及其测量数据求出银杏树的高度.(结果精确到1m考考数据：sin37°=0.60,

8s370no.8(),tan37%0.75)

20.(1()分)

【详解】(1)由测量数据可知，第一组和第三组均可以计算出银杏树的高度，第二组仅给44GE=37。,

ZBGE=45°,还需要测量出一条边的数据，才川一以计算出银杏树的高度：

故答案为：二.

(2)①选择第一小组

由题意：zZ?=90°,N/iDB=45。,

/.AB=BD,

设N8=x米，

VCD=I2m,

・・.C8=CO+8O=(12+x)米，

•・•ZC=37°,

ADy

:.tanZC=tan37°=—=——。0.75,

BC12+x

x=36,

答：银杏树的高度约为36米;

A

②选择第三小组

由题意：ZZ?=ZPF£=90°,N”B=45。,

/.AB=BF,

•・・£F=9m,4=37。,

FF9

，tanZ.P=tan37°=—=—»0.75,

PFPF

APF=12,

设=x米，

8P+B/=（12+x）米，

:.tanZP=tan37°=—=—«0.75,

BP12+x

:.x=36,

答：银杏树的高度约为36米.

21.（10分）如图，ZU8C内接于。O,48为。。的直径，过点。作/C的平行线交。。于点。，交8c于点

E,点尸在84的延长线上，连接。尸，且/尸=N8.

4

（2）若BE=2,sin^BAC=",求"'的长.

21.（10分）

【详解】（1）证明：••・△川火:内接于。0,48为。。的直径,

ZC=90°,

vZ)£||JC,

.•"旗=90。，即NEO4+N8=90。,

•;/F=NB,ZFOD=ZEOB,

/尸+NR?。=90°,

.•.NO。/=90°,即。。_1。尸.

•••0。是。。的半径,

...。"是。。的切线;

(2)解：•・•/)£•〃/C,。是的中点，BE=2,

BEBO।

CEAO

・•.E是BC的中点，

/.BC=2BE=4,

BC

-smZBAC=-

AB

44

••=-9

AB5

AB=5,

：.OA=OD=-,

2

..・在放△18。中，AC=>lAB2-BC2=V52-42=3>

ZB=ZF,

5

23

-+AF5

2

AF=—

3

22.（12分）“不倒翁”是我国一种古老的儿童玩具，一经触动就会左右摇摆.某款"不倒翁''的纵截面（沿顶

端以垂直于水平面方向截取所得的截面）如图1,它由半圆。和等边三角形尸/仍组成，直径力8=12cm,半

I员I。的中点为点C，.”N为桌面，半圆。与MN相切于点。拨动“不倒翁”后它在桌面"N上做无滑动的

滚动.

（1）如图1,若AB〃MN,则PC的长为cm（结果保留根号）；

（2）如图2,连接。C,向右拨动“不倒翁”使/。。0=30。，

①猜想PB与MN的位置关系并证明；

②点。到MN的距离为cm（结果保留根号）；

⑶当口或P8垂直于MV时“不倒翁”开始折返.求在一次摆动（由图2到图3）的过程中圆心。移动的距

离.

22.（12分）

【详解】（1）解：由题意得：当时，P。,。三点在一条直线上，

P

•・•直径/8=12cm,

OC=—AB=6cm,

2

为等边三角形，

：.PA=AB=PB=l2cm,ZPAB=60°,

OA=OB,

POLAB,

尸O=P4sin600=12x

.•.PC=PO+OC=（6G+6）cm,

故答案为：卜石+6卜

(2)解：①PBXMN.

•・•半圆O与"N相切于点

OQIMN,

•・•半圆。的中点为点C,

/.ZBOC=90°,

•・•NCOQ=30°.

NBOQ=60°,

为等边三角形，

ZPBA=60°,

ZPBA=ZBOQ,

:.PB//OQ,

:.PBkMN.

②过点。作C〃_L"N于点，,CK_L。。于点K,如图,

CK=-OC=3cm,

2

OK=>IOC2-CK2=3®cm)，

0K=00-OK=(6-3x/3)cm,

•・•CH1MN,CK1OQ.OQ1MN,

・•・四边形C"QK为矩形，

・・・C〃=0K=(6-36)cm.

・••点C到桌面MN的距离为(6-3后)cm,

故答案为：（6-3石）.

（3）解：从P8_LMN滚动到P4LWN（图2-图3）过程中，圆心。移动的距离为2乃（cm）.

•••拨动”不倒翁”后它在案面MN上做无滑动的滚动,

・••滚动过程中始终与桌面MN相切，

・•・圆心0到京面的距离总等于圆的半径,

.••从PB1MN滚动到PAA.MN过程中，圆心。移动的距离为函的长度的2倍,

由（2）①知："00=30。,

・•・圆心O移动的距离=%誉=2乃（巾］）.

18（）

23.（12分）已知四边形力8