2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷培优卷（苏科版）解析版

九年级数学上学期期中模拟卷培优卷【苏科版】

全解全析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）

1.（2025・北京•模拟预测）关于%的方程匕2—2%+1=0有实数根，那么A的可能值是（）

A.4B.2C.0或2D.0或1

【答案】D

【分析】本题考查一元一次方程的解，一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式，一元二次方程

根的情况与判别式△的关系：（1）A>00方程有两个不相等的实数根；（2）A=0=方程有两个相等的实

数根；（3）A<0=方程没有实数根.理解和掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键.分

当A=0,kH0时分别讨论，即可求解.

【详解】解：当忆=0时，关于％的方程是一2工+1=0有实数根，

当A工0时，•.•关于x的方程是一元二次方程，kx2-2x+1=0有两个实数根，

=（一2产-4kx1>0,且kH0,

解得：攵工1且左00,

综上所述：整数k的值可能是1或0.

故选：D.

2.（2024•广东•模拟预测）如图，48是。。的直径，OD\\AC,"00=50。，贝比。的度数为（）

【答案】C

【分析】本题主要考查了圆的基本性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握这此性质是解题

的关键.利用平行线的性质求出乙。4C的度数，再根据等腰三角形的性质求出心力。。的度数，进而得出心力。。

的度数，最后由等腰三角形性质求乙。.

【详解】解:•••ODWAC,

•,LOCA=乙COD=50°.

:OA=OC,

•.LOCA=Z.OAC=50°,

••LAOC=180°-50°-50°=80°.

:LCOD=50°,

•.LAOD=Z.AOC+乙COD=80°+50°=130°.

:OA=OD,

故选:C.

3.（2025・湖南•模拟预测）七年级一班40名同学课外阅读时间统计图如图所示，那么该班40名同学课外

阅读时间的众数、中位数分别是（）,

人数（人）

15

12

9

6

3

0

78910时间（小时）

A.9,10B.9,9C.14,9D.14,8.5

【答案】B

【分析】本题主要考查中位数、众数，从统计图中得到相关信息是解题的关键.

通过数据分析与处理，得到中位数与众数即可.

【详解】根据图形可知，出现次数最多的是9,所以众数为9,

共40个数字，中位数为第20,21位的均值,由统计图可知第20,21位都为9,

所以中位数为9.

故选：B.

4.（2025・湖南长沙•一模）如图，已知。。是等边△ABC的外接圆，连接A。并延长交。。于点。，交BC于

点E.若。£=3,则四边形力的面积为（）

c

A.1873B.2475C.36V3D.72V3

【答案】C

【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心、等边三角形的性质、含30度角的直角三角的性质、垂径定

理、圆周角定理等，连接。B,根据等边三角形的性质得到48=AC,^BAC=60°,根据垂径定理得到

BE=CE,根据勾股定理求出BE,再根据四边形的面积公式计算即可.

【详解】解：如图，连接。B,

"8=AC,LBAC=60°,

.\AE1BC,

.-./.BAD=\/-BAC=30°,BE=CE,

：ZBOD=2Z.BAD=60°,

"OBE=30°,

...OE=gOB=；OD,

•••DE=3,

：QE=3,

.,.08=OD=6,

由勾股定理得：BE=7OB?一田=遥2-32=36,

:.BC=6>/3,

二S四边形xBC=~x12x6A/3—36A/^«

故选：c.

5.(2025•安徽•模拟预测)已知关于x的方程/+(M-1户+。-2=0的一个根比1大且另一个根比1小,

则〃的取值范围正确的是()

A.-2<a<1B.-1<a<2C.a<-2D.a>-1

【答案】A

【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程，可以利用二次函数的图象与性质分析判断即可.

【详解】解：设y=x2+(a2—1)%+a—2,

vl>0,

二抛物线开口向上，

••・关于X的方程X2+(次一1户+。-2=0的一个根比1大且另一个根比1小，

•••当x=l时，函数值y<0,

•••y=l2+(a2—l)xl+a—2=l+a2—1+a—2=a?+a—2<0,

对于一元二次方程a?+a—2=0,解得Q[=­2,a2=

—2<a<1,

故选：A.

6.(2024•广东•模拟预测)如图，正六边形力BCDEF内接于。0,若丽的长为兀，则点。到8C的距离为

()

A.当B.当C.|D•竽

【答案】A

【分析】本题考查了正多边形与圆，弧长公式，勾股定理，等边三角形的判定与性质，连接08,OC,过。

作0M18C于点M,由正六边形4BCDEF内接于O。，则力B=EC,/-BOC=60°,所以AB=BC,△80C

是等边三角形，然后通过弧长公式求出。B==3,由等边三角形性质可得8M=CM=沏?=|,最后通

过勾股定理即可求解.，掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】解：如图，连接。氏OC,过。作。M_L8C于点M,

•••正六边形说OEF内接于O0，

360°

;.AB=BC,，80C=蟹=60。，

o

：.AB=BC,ABOC是等边三角形,

.-.03=BC,BM=CM=^BC,

60"x08

：,———=7T,

：.0B=BC=3»

...BM=CM==I，

：.0M='OB?一BM2

•・•点。到BC的距离为苧,

故选：A.

7.（2025•青海西宁•三模）背面图案、形状大小都相同的五张卡片的正面分别记录着一些命懑.现将卡片

背面朝上，随机抽取一张，抽到卡片上的命题为真命题的概率是（）

平分弦的直径垂眄是最函数y=:函数调查某班50人两班数学成绩平均

直于弦，并且平分简二次根用，随X的增大的数学成绩，总数相同，班级方差

弦所对的两条弧式.而减小.体是50人.越小成绩越稳.

_14

A.B

5-Ic.15

【答案】A

【分析】本题考查了命题与定理、垂径定理、最简二次根式、反比例函数、方差等知识点，理解有关的定

义及定理是解题的关键.

根据命题与定理、垂径定理、最简二次根式、反比例函数、方差逐项判断即可.

【详解】解：第一个命题：“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧."垂径定理的逆命题需满足

"弦不是直径若弦为直径，平分它的另一条直径未必垂直，故命题不成立.

第二个命题：“眄是最简二次根式.〃眄是三次根式，而“二次根武〃特指根指数为2的根式，因此命题错误.

第三个命题："函数y=:的函数值y随x的增大而减小.”反比例函数k>0在每一象限内歹随”的增大而减

小，但未限定象限，整体定义域内不满足，故命题错误.

第四个命题："调查某班50人的数学成绩，总体是50人.”总体应为"50人的数学成绩〃，而非“50人〃，命

题错误.

第五个命题：“两班数学成绩平均数相同，班级方差越小成绩越稔.”方差越小，数据波动越小，稳定性越高，

命题正确.

综上，真命题仅1个，概率为今对应选项4

故选A.

8.(2025•安徽蚌埠•二模)已知m-2,Q2-2ma+2=0,b2-27nb+2=0(aHb)则(a—+(8—1产的

最小值是()

A.-3B.0C.3D.6

【答案】D

【分析】构造一元二次方程，利用根与系数关系定理，构造二次函数，利用函数增减性，求最值解答即可.

【详解】解：：*一2ma+2=0,b2—2mb+2=0,且Q。b,

•,♦a,b是一元二次方程%2-2mx+2=0的两个不相等的实数根，

工a+b=2m,ab=2,A=b2—4ac=(—2m)2—4x2xl>0,

.-.(a—I)2+(b—I)2=a2—2a+b2—2b+2=(a+b)2—2(a+b)+2—2ab

=4m2—4m—2=4(m2—m)—2=4(m———3

v4>0,

抛物线开口向上，

••.(a-l)2+(b—有最小值，巨对称轴的右侧y随x的增大而增大,

vm>2,

.•.7n=2时，(a—1尸+(b-1尸有最小值，且为4(2—J—3=9—3=6,

故选:D.

【点睛】本题考查了一元二次方程的构造，根与系数关系定理，二次函数的增减性，二次函数的最值，熟

练掌握构造方程，构造二次函数是解题的关键.

9.如图，在。。中，为直径，=1。。=80°,点D为弦4C的中点，点E为炉上任意一点，贝IJ匕CE。的大

小可能是（）

A.10°B.20°C.30°D.40°

【答案】C

【分析】连接OD、OE,先求出NCOD=40。，ZBOC=100°,设NBOE=x,则zCOE=10（T・x,zDOE=1000-x+40<>；然

后运用等腰三角形的性质分别求得NOED和ZCOE,最后根据线段的和差即可解答.

【详解】解：连接OD、OE

vOC=OA

••.△OAC是等腰二角形

•.•乙1。。=80°,点D为弦4。的中点

•••ZDOC=40%Z.BOC=100°

设，BOE=x,MZCOE=100°-X,ZD0E=100O-X+40°

vOC=OE,ZCOE=1000-x

，4EC」8g「T）=4（r+5

vOD<OE,ZD0E=100o-x+40o=140,-x

,会〈*产出=20。+与

••.ZCED>ZOEC-ZOED=（40°+。-（20°+^）=20°.

又••NCEDVNABC=40°,

【点睛】本题考查了圆的性质、等腰三角形的性质等知识点，正确作出辅助线、构造等腰三角形是解答本

题的关键.

10.(2025•上海•模拟预测)在四边形A8CD中，ADIIBC,LABC=90°,AB=BC=4,4)=1.点。

是边。。上一点，如果以。为圆心，。。为半径的圆与边BC有交点，那么。。的取值范围是()

A.2<OD<^B.y<OD<|

C.与MOD啮D.并。。碟

【答案】C

【分析】根据题意，分别画出半径最小和最大时的图形，根据直角三角形的边角关系以及切线的性质列方

程求解即可.

【详解】解：如图1,过点。作DH18C于凡

E

BHEC

图1

则40=8H=1,AB=DH=4,HC=4-1=3,

在RtZXDHC中，CD=V324-42=5,

当00与8c相切时，此时0。与线段BC有一个公共点，此时半径最小，

设OD=OE=x,则0C=5—

在Rt△COE中，sinC=^7=77=

CzCZzGO

.-.0F=^(5-x),

4

由OD=OE得，x=-(5-x),

解得x=v：

如图2,当以。。为半径的。。过点3时，半径最大，过点。作。尸，8。于尸，

设0。=OB—y,则。C=5—y,

在RSCOF中，sinC=%整=[

ULL/CD

4423

•••OF=式5—y)=4—/，FC=j(5-y)=3-^yt

.•.BF=4-FC=1+39，

在Rt2\8OF中，由勾股定理得，BF2+OF2=OB2

n2A2

即Q+gy)+(4--y)=/,

解得y=H，即OO的最大半径为第

所以当以。为圆心，。。为半径的圆与边BC有交点，那么00的取值范围为与4004H，

故选:c.

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，直角梯形以及直角三角形的边角关系，画出半径最小和最大时的

图形是正确解答的前提，构造直角二角形是解决问题的关键.

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分)

11.如图是根据甲、乙两人5次射击的成绩(环数)制作的折线统计图.你认为谁的成绩较为稳？

(填“甲"或"乙")

【答案】甲

【分析】

先分别求出甲乙的平均数，再求出甲乙的方差，由方差越小成绩越稳定做出判断即可.

【详解】

解：元中=(7+G+9+6+7)4-5=7(环),

5乙=(S+9+6+7+8)+5=7(环)，

s2甲，(7-7)2+(6-7)2+(9-7)2+(6-7)2+(7-7)2H5=1.2,

s2乙式(5-7)2+(9-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(8-7)2H5=2,

•••1.2V2,

・•・甲的成绩较为稳定，

故答案为：甲.

【点睛】

本题考查平均数、方差、折线统计图，会求一组数据的平均数、方差，会根据方差判断一组数据的稳定性

是解答的关键.

12.（2025•江苏南京•二模）如图，四边形4BCD是0。的内接四边形,DE是。。的直径，连接4E,若a=125。,

则/84E=°,

【答案】35

【分析】本题考查圆内接四边形以及圆周角定理，根据圆内接四边形的对角互补，以及直径所对的圆周角

为直角，进行求解即可.

【详解】解：••・四边形4BC0是。。的内接四边形，

：.Z.C+乙DAB=180°,

vzC=125°,

心AB=180。一1250=55。，

,••。£是O。的直径，

：.LDAE=90°,

“AE=90°-55°=35°,

故答案为：35.

13.设均与型为一元二次方程#+3%+2=0的两根，则（小一切2的值为.

【答案】20

【分析】利用公式法求得一元二次方程的根，再代入求值即可;

【洋解】解：弓+3x4-2=0

△=9-4=5>0,

*,•%1=-3+Vs,%2=-3—VK,

2=w2

••.（勺—X2）（-3+遥+3+V5）=（2V5）=20,

故答案为：20；

【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握公式法解一元二次方程是解题关键.

14.（2024•安徽合肥•一模）如图，△48。内接于。。，BD为。。的直径，AB=AC,=70°,贝lj

/昌-ABD-Z-CBD=______°.

A

【答案】15

【分析】本题考查了三角形外接圆与外心，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题

的关键.连接CD，根据圆周角定理得到4BCD=90。,根据三角形的内角和定理得到乙D8C=90°-70°=20°,

根据等腰三角形的性质得到=UBC=1x（180°-70°）=55。，于是得到结论.

【详解】解：连接CD,

A

•••BO为。。的直径，

•••LBCD=90°,

•:乙BDC=〃=70°,

AZD5C=90°-70°=20°,

-AC=AB,

LACB=乙ABC=1x(180°-70°)=55°,

LABD=LABC-乙DBC=35°,

LABD-乙CBD=35°-20°=15°,

故答案为：15.

15.（2025•四川成都•中考真题）从一1,1,2这三个数中任取两个数分别作为小〃的值，则关于x的一元

二次方程Q/+取+1=0有实数根的概率为.

【答案】；/0.5

【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，树状图法或列表法求解概率，根据判别式和一元二次

方程的定义可得｛△=［：,2°,则4a且QW0,再列出表格得到所有等可能性的结果数，接着找到

b2>4a且a00的结果数，最后依据概率计算公式求解即可.

【详解】解：••・关于x的一元二次方程欠2+以+1=0有实数根，

（^=b2—4a>0

Qr0'

.•力2>4a且QH0,

列表如下:

ab-112

-1(-14)(T2)

1(1,2)

2(2,-1)(2,1)

由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中满足/Z4Q且QH0的结果数有（1,一1）,（2,-1）,

（2,1），共3种，

••・关于x的一元二次方程ad+必+1=0有实数根的概率为X

O£

故答案为：

16.（2024•湖北•模拟预测）如I图，内接于。。，且48=AC,直径4）交BC于点£,广是OE的中点,

如果BOIICF,BC=2V5,则线段CD的长为.

B

w

【答案】V6

【详解】本题考查的知识点有圆的性质（直径所对圆周角为直角）、三角形全等的判定、等腰三角形三线合一

的性质以及勾股定理.通过连接辅助线。。，利用圆的性质（直径所对圆周角为直角）、三角形全等判定（HL、

ASA）以及勾股定理，逐步推导得出线段CD的长度.

【解答】解：连接0C,

•••AD是。0的直径，

/.Z.ABD=ZACD=90°,

在Rt△ABD与Rt△ACD中,

.AB=AC,AD=AD,

.--Ri△ABDwRt△ACD,

.-.zBAD=zCAD,

•••AB=AC,

•,.zBAD=ZCAD,

•••AD1BC,BE=EC,

­.BD||CF,

.•ZDBE=ZFCE,

在ABED与ACEF中，

ZDBE=ZFCE

BE=EC,

/BED=ZCEF

△BED^ACEF,

••.CF=BD,FE=ED,

•••FE=ED,F是OE的中点，

.-.OF=FE=ED,

设OF=FE=ED=a（a>0）,则OD=OC=3a,

­.AD1BC,CE=1BC=V5,

.-.OU2-Oh2=Ch2,

.--9a2—4a2=5,

.0•a=1,

.-.ED=1,

.-.CD=VDE2+EC2=Jk+（灼2=瓜

故答案为：V6.

三、解答题（本大题共9小题，满分72分）

17.（6分）（2025•江苏淮安•二模）解方程：

（l）x2-3x+2=0.

（2）x2+4x-l=0.

【答案】⑴/=172=2

（2）X1=-2+,4s,x2=-2—yfs

【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公

式法、换元法、因式分解法等）是解题关键.

（1）方程的左边可以因式分解为。一1）（工一2）,利用因式分解法解方程即可得；

（2）方程可以配方为（％+2/=5,再两边同时开平方解方程即可得.

【详解】（1）解：x2-3x+2=0,

（x—1）（%—2）=0,

x—1=。或x—2=0,

x=1或x=2,

所以方程的解为勺=1,%2=2.

（2）解：x2+4x-1=0,

x2+4x=1,

x2+4x+4=1+4,

（X+2）2=5,

x+2=±V5,

x=-2±V5,

所以方程的解为/=—2+V5,X2=-2-V5.

18.（6分）（2024・湖北•三模）如图，AB,AC是。0中相等的两条弦，过点O分别作OF14B于点F,OG1AC

于点G.

D

⑴求证：。尸=OG；

⑵延长OG交。。于点。，连接8D交FO的延长线于点£若。E=3,AB=24,求。0的半径.

【答案】（1）见解析

⑵13

【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质；掌握垂径定理，添加恰当的辅

助线是解题的关键.

（1）连接。4证明Rt△。力/三RtAO/G,即可求证；

（2）连接力。，根据垂径定理可得ZEBF=4/X4G,可证明aBE尸三△40G,可得EF=OG,^OF=x,则

0G=x,DG=EF=OE+OF=3+x,OA=OD=2x+3.在RtZkOAG中，根据勾股定理可得x的值，即

可求解.

【详解】（1）证明：连接。4

'：0FLAB,OGIAC,

.'./-0FA=Z.OGA=90°,AF=AG=^AC,

-AB=AC,

.'.AF=AG.

t:OA=OA,

.•.Rt△。加WRgCAG,

；QF=OG；

（2）解：连接AD.

•••OGIAC,

.,.AD=CD,

:zEBF=Z.DAG,

-AG=AF=BF,AAGD=乙BFE=90°,

:.ABEF三4ADG,

：.EF=DG.

设0"=%,则OG=x,

DG=EF=OE+OF=3+x,04=00=2x+3.

由（1）得4G=g4C=SB=12

在Rt△。力G中，OA2-OG2=AG2,

.•.（2%+3/一/=122

:x=5或一9（舍去），

.•04=13,即。0的半径为13.

19.（6分）（2025•四川巴中•中考真题）为提高学生的科创意识，某校准备开设。语言编程、无人机飞行

训练、科创小论文、科幻画创作心门课外活动课程，每个学生有且只能选择一门课程参加.为筹备此项活

动课程，学校随机抽取部分学生进行调杳，将调查结果绘成如下统计表和扇形统计图.

意愿参加课程人数扇形统计图

意愿参加课程人数统计表

无人机飞行训

课程C语言编程科创小论文科幻画创作

练

人数10815

⑴抽取的学生共有人，其L意愿参加无人机飞行训练的有人；

（2）若该校有800人，估计全校参加科幻画创作的学生有多少人？

⑶某班有2名男生2名女生参加C语言编程课程，现从这4人中随机抽取2名学生给老师当助手，请用树

状图或者列表法说明恰好抽到一名男生一名女生的概率.

【答案】（1）50,17

⑵全校参加科幻画创作的学生有240人；

⑶恰好抽到一名男生一名女生的概率为|.

【分析】本题考查扇形统计图，用样本频数估计总体频数，用树状图求概率.

（1）用C语言编程的人数除以对应的百分比，即可得抽取的学生人数，减去意愿参加C语言编程、科创小

论文、科幻画创作的人数，即可得意愿参加无人机飞行训练的人数；

（2）用全校总人数乘以科幻画创作学生数占总人数的比，即可得全校参加科幻画创作的学生人数：

（3）根据题意画树状图，用一男一女的组合数比总数，即可得哈好抽到一名男生一名女生的概率.

【详解】（1）解：10-20%=50（A）

50-10-8-15=17（人）

故答案为：50,17.

（2）解：800><。=240（人）

答：全校参加科幻画创作的学生有240人.

（3）解：画树状图如下:

开始

.---------_

男1男2女1女2

/Tx/Tx

男2女1女2男1女1女2男1男2女2男1男2女1

D82

.J（一男一女）=运，•

答：恰好抽到一名男生一名女生的概率申

20.（8分）（2024♦贵州遵义•一模）已知关于x的一元二次方程/-4%+忆=0有两个实数根.

⑴求％的取值范围.

⑵是否存在实数A的值，使得方程的两个实数根分别为勺，孙，旦满足2（打+外）=打工2—4?若存在，请

求出女的值：若不存在，请说明理由.

【答案】（l）k<4

⑵不存在实数上的值，理由见解析

【分析】本题考查了已知根的情况求参数，一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解

题的关键.

（1）根据一元二次方程炉一4%+上=0有两个实数根，得AN0,代入数值计算，即可作答.

（2）假设满足题意的k的值存在.结合根与系数的关系得打+不=4,5孙=k,再代入2（%i+x2）=xxx2

一4,计算得出k二12,由（1）得&W4,则k=12不在k工4的范围内，即可说明不存在实数上的值，使得

方程的两个实数根》1，%2满足2（/+%2）=%1%2-4.

【详解】（1）解：•.•关于X的一元二次方程好一轨+忆=0有两个实数根

0,

.•.（—4）2-4X1Xk>0,

:.k<4.

（2）解：不存在实数上的值，使得方程的两个实数根不，冷满足2（勺+%2）=勺为2—4.

理由如下：假设满足题意的A的值存在.

vx2—4x+k=0

.•♦%]+%2=4,X\X2=k,

XX

v2（Xi+x2）=12-4,

：.2x4=k—4,

：.k=12.

由（1）得kW4,

v/c=12不在k<4的范围内

•••不存在实数%的值，使得方程的两个实数根勺，。满足2（与+*2）=小七一4.

21.（8分）（2024♦安徽合肥•一模）如图，在四边形力8C0中，4。平分点。在47上，以点O为圆

心，。力为半径，作。。与3c相切于点8,且。。过点。，8。延长线交。。于点E,交n0于点R连接力£

（1）求证：。。是OO的切线；

（2）若力E=DE=8,求A尸的长.

【答案】（1）见解析

（2）473

【分析】（1）连接。D,证明△B0C三△DOC（SAS）,得至Ij/OBC=40DC=90。，即可求证;

（2）由0A=0D,AE=DE=8,可得0E垂直平分力。，匕DAE=tADE,进而可得

Z.BAO=LDA0=Z.DAE=30°,即可求出EF,再利用勾股定理得到4F的长.

•••LBAO=Z.DA0,

0A=OB,OA=0D,

ALBAO=乙ABO,乙ADO=Z.DA0,

ALBOC=2Z.BA0,乙DOC=2/.DAO,

LBOC=Z.DOC,

VOB=OD,OC=OC,

.­.△BOC=ADOC(SAS),

&OBC=乙ODC,

•••0。与BC相切于点儿

:.OB1BC,

LOBC=90°,

•••LODC=90°,

即0。_LC。，

・••CD是O0的切线；

(2)解：vOA=OD,AE=DE=8,

•••OE垂直平分AO,^DAE=/.ADE,

ALAFE=90°,

v/.ADE=/LABE,

:.LDAE=Z.ABE,

v/.BAO=Z.DAO=Z.ABO,

•••LBAO=乙DAO=/DAE,

•••BE是。。的直径，

・••/BAE=90。，

•••LBAO=DAO=Z-DAE=30°,

...EF="E=Tx8=4,

...AF=y/AE2-EF2=V82-42=46

【点睛】本题考查了角平分线的定义，切线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质,

等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的性质，掌握圆的有关性质

是解题的关键.

22.(9分)(24-25九年级上•广东深圳•阶段练习)如图，力、B、C、。为矩形的四个顶点，AB=8cm,

AD=3cm,动点P、Q分别从4、C同时出发，点P以lcm/s的速度向点8移动，点Q以相同的速度向点D移动，

当点P到达点8时，点P、Q均停止运动，设运动时间为t秒.

AD

(1)当£=秒时，四边形PBCQ为矩形.

⑵运动过程中，四边形PBQD可能为菱形吗？若能，求出运动时间3若不能，请说明理由.

⑶运动过程中，点P和点Q的距离可能是3遮cm吗？若能，求出运动时间匕若不能，请说明理由.

【答案】(1)4

(2)能,落

(3)能，1s或7s

【分析】本题是四边形综合题，主要考查了动点在几何图形的运动，勾股定理矩形和菱形的性质，灵活掌

握相关知识是解决问题的关键.

(1)根据当8P=CQ时，四边形P8CQ为矩形，列出方程，求出解即可；

(2)根据当8Q=DQ时，四边形P8QD为菱形，在RtZXBCQ中，根据勾股定理列出方程，求出解即可；

(3)先作出辅助线，表示PE,再根据勾股定理列出方程，求出解即可.

【详解】(1)解：•••点P、0分别从点力、。同时出发，速度相同.

/.PA=CQ=tcm,

•・泗边形力BCD为矩形，

...z5=ZC=90°,BPWCQ,AB=CD=8cm,

二贝！8P=DQ=(8—t)cm,

根据题意得，

AD

••・四边形力BCD为矩形，

...z5=zC=90°,BPIICQ,

.•.当8P=”时，四边形P8CQ为矩形，

8—t=t,

解得t=4,

・•・t=4秒时，四边形PBCQ为矩形，

故答案为：4；

(2)解：运动过程中，四边形PBQD可以为菱形,

连接BQ、PD,

•••点P、Q分别从点4、C同时出发，速度相同,

：.PA=CQ,

•.•四边形"CD为矩形,

：.AB\\CD,AB=CD

.•.PBIIDQ,PB=DQ,

四边形PBQD为平行四边形，

.•.当BQ=/)Q时，四边形P8Q0为菱形

在RtZ\8CQ中，CQ=tcm,DQ=(8—t)cm,BC=3cm

：.CQ2+BC2=BQ2

即F+32=(8—t)2

解得”祟

••・运动时间为那时，四边形P8Q0为菱形.

(3)点P和点Q的距离可以是3遍cm,

过点Q作QE_L48于点E,

则四边形E8CQ为矩形，

:.CQ=BE=tcm,AP=tcm,

:.PE=AB—AP—BE=(8—26cm,

在RSPEQ中，^PE2+QE2=PQ2,

即(8—2亡)2+32=(3通)2,

解得〃=1,以=7.

,当运动时间为1s或7s时，点P和点Q的距离是3V^cm.

23.(9分)(2025•江西•模拟预测)如图是边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方的顶点叫做格点,

4、B、C三个点在格点上，。0经过4、B、C三点，用无刻度直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹,

不要求说明理由.

（1）如图1,直接写出的形状，△力BC是,画。。的圆心0：

（2）如图2,在弧BC上找一点号使48CE=48C4画弦EF,使得EF〃AB.

【答案】（1）直角三角形，图见详解：（2）图见详解

【分析】（1）根据勾股定理计算出力氏BC,4C的长度再利用勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状,

找出力C的中点即可；

（2延长力〃到。点，再连接CD交。。于E点，f点即为所作，数形结合的思想解决问题即可.

【详解】解：（I）由题意得：4-32=V10,JC=V52+52=Vso,BC=y/22+42=V40

：.AC2=AB2+BC2

.••△48C是直角三角形，

•••0。是直角△48C的外接圆：

•••0。的圆心。为力C的中点：

圆心。即为所作，

D

（2）延长44到。点，再连接CD,交。。于石点，再取格点Q,连接8Q,延长8Q交。。于F,连接

AFfEFf则E为所求作的点，EF为所求作的直线，

•••由正方形的性质可得：BFLAC,1C是直径

二泰=AB

,:乙BCE=Z.BCA

.-.BE=AB

.­.BE=AF

:.4ABE=乙BFE

.'.EF//AB

EF即为所作.

【点睛】本题考查作图-复杂作图，坐标与图形的性质，勾股定理，平行线的判定等知识，解题的关键是

熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

24.（10分）（2024,山东青岛•中考真题）某校准备开展“行走的课堂，生动的教育〃研学活动，并计划从博

物馆、动物园、植物园、海洋馆1依次用字母儿&C,。表示）中选择一处作为研学地点.为了解学生

的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调查，整理绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图.

研学地点选择人数条形统计图研学地点选择人数扇形统计图

根据以上信息，解答下列问题:

⑴补全条形统计图：扇形统计图由A所对应的圆心角的度数为。：

⑵该校共有1600名学生，请你估计该校有多少名学生想去海洋馆；

⑶根据以上数据，学校最终将海洋馆作为研学地点，研学后，学校从八年级各班分别随机抽取10名学生开

展海洋知识竞赛.甲班10名学生的成绩（单位：分）分别是：75,80,80,82,83,85,90,90,