2025-2026学年江苏省无锡市梁溪区某中学九年级（上）期中数学试卷（含答案）

2025・2026学年江苏省无锡市梁溪区江南中学九年级（上）期中数学

试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列方程中，是一元二次方程的是（）

A./+产0B.r+•C.2r=6D.x2-2=0

2.已知。。的半径为4cm,点C到圆心O的距离为6cm,则（)

A.点C在圆外B.点C在圆内C.点C在圆上D.点C无法确定

3.若〃？是一元二次方程/+21-2025=0的一个根，则m2+2m的值是)

A.2024B.-2025C.2025D.4050

4.已知△人4csH.相似比为1：3,则△相，与△£»的面积比为（)

A.I：3B.I：6C.I：9D.9：1

5.如图，在平行四边形4BCD中，缁=:，。上交AC于点尸，那么空的

5Or

值是（）

A.

C.1

3

D.-

5

6.近年来，我国人工智能核心产业规模快速增长.2023年某地区人工智能核心产业规模为5（）亿元，2025年

达到72亿元.设该地区这两年人工智能核心产业规模的年平均增长率为x,根据题意可列方程为（）

A.50（1+x）=72B.50（1+x）2=72C.50（1+2A）=72D.50（1+x2）=72

7.如图，用直角曲尺检查半圆形的工件是否合格，运用到的道理是（）

A.同弧所对的圆周角相等B.直径是圆中最大的弦

C.90°圆周角所对的弦是直径D.圆上各点到圆心的距离相等

.如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点。

8A3CA3D

对应的刻度值为64°,则48c。的度数为（）

A.58°

B.600

C.620

D.64°

9.如图，在R/ZXA8C中，乙AC8=90°,AC=3,BC=4,平面上有一点P,

AP=\,连接4P,BP,取BP的中点G.连接CG,在AP绕点A的旋转过程

中，则CG的最大值是（）

A.3B.4C.3y/2D.2

10.如图，正方形A8CO中，E、F分别为边A。、0c上的点，且AE=/C,过/

作FHME,交/1B于G,过，作HM1AB于M,若48=9,AE=3,则下列结论

中：①乙BGF=乙CFB；②CDH=BH+FH；③“〃=人"④丝r=?.其中

5AE5

结论正确的是（）

A.①@③

B.①②④

C.①③④

D.③④

二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

11.若叫甲=一.

12.将一元二次方程4f-l=5x化成一般形式后，常数项为-1,则一次项系数是一

13.如图，四边形A4CQ是。。的内接四边形，若乙4=80。，则/C的度数为.A

BD

14.已知元二次方程-2-0的两根分别为人〃，则，，代〃的值是—.

15.三角形两边的长分别是2和3,第三边的长是方程『-10r+24=0的根，则该三角形的周长为

16.如图，△BCO内接于。。，点8是下力的中点，C。是。O的直径.若

NABC=30°,AC=5,则BC的长为.

17.我们把满足下面条件的△ABC称为“黄金三角形"：①△ABC是等腰三角形；②在三角形的某条边上

存在不与顶点重合的点P,使得，与。所在边的对角顶点连线把△4BC分成两个不全等的等腰三角形.

在△A8C中，AB=AC,乙4为钝角.若△A3C为“黄金三角形”，则乙4的度数为

18.如图，ZVIBC中，乙4cB=90。，CB=5,CA=10,点。，E分别在

AC,AB边上，AE=^AD,连接。E,将AAOE沿翻折，得到

△FDE,连接CE,CF.若的面积是△4EC面积的2倍，则

AD=

三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19.(本小题12分)

解方程：

(1)("1)2.25=0；

(2)x(x-3)=3(x-3)；

(3)P4x-5=0(配方法)；

(4)21-3x-I=0.

20.（本小题8分）

已知关于x的一元二次方程^-2x^1-\=0有两个不相等的实数根.

（1）求〃?的取值范围；

（2）若〃?为正整数，求此时方程的根.

21.（本小题8分）

如图，在△人CQ中，。人=OC,8是八。边上一点，以/W为直径的圆O经过点。，/是直径人8上一点（不

与点A,B重合）,连接。尸并延长交圆。于点E,连接£4,EB.

（1）求证：ZC=ZD£B；

（2）若AE=BE,"=30°,则皿中=_____°.

22.（本小题8分）

如图，△AAC在带有网格的平面直角坐标系中的位置.

（1）以点O为位似中心，在），轴右侧作出△ABC的位似图形△AIiG，使得放大后的△AiBiG与△ABC

的位似比为2：1：

（2）若点P在△ABC内部，且坐标为（〃6）,写出按（1）变化后的对应点8的坐标_____；

（3）直接写出△48C的外接圆圆心坐标.

23.（本小题10分）

如图，在△ABC中，AB=AC,点。、B、C、七在同一条直线上，且乙。=乙。4£

(1)求证：△ABDs/XECA；

(2)若AL6,CE=4,求8。的长度.

24.（本小题10分）

如果关于x的一元二次方程云+30有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方

程为“三倍根方程”.例如：方程炉-4.计3=0的两个根是I和3,则这个方程就是“三倍根方程”.

（1）方程F3x+2=0（填"是”或“否”）"三倍根方程”；

（2）若关于x的方程9+公+片0是“三倍根方程”，其中有一人根是1,试求〃与c的值；

rnn

（3）若9-（〃?+〃）x+〃皿=0是关于x的“三倍根方程”，则代数式一2°2的值为

25.（本小题10分）

如图，已知4B是。。的直径，弦C/XL八8于凡连接8C,以BC,C。为邻边作平行四边形8SE,连接

CE,AB与CE的交点为G,BF=6,

（1）求。。的半径：

（2）求CE的长.

26.（本小题10分）

某公司的化工产品成本为30元/千克.销售部门规定：一次性销售1000千克以内时，以50元/千克的价格销

售：一次性销售不低于1000千克时，每增加I千克降价0.01元.考虑到降价对利润的影响，一次性销售不

低于1750千克时，均以某一固定价格销售.一次性销售利润y（元）与一次性销售量x（千克）的函数关系

如图所示.

（1）当一次性销售800千克时，利润为多少元?

（2）当一次性销售多少千克时利润为22100元?

27.（本小题10分）

如图1和图2,平面上，四边形A8CO中，AB=S,BC2，TT，CD=\2,D4=6.乙4=90。，点M在4。边

上，且。M=2.将线段MA绕点M顺时针旋转〃。（0V收180）到MA',乙4'M4的平分线M尸所在直线

交折线A8-3C于点P,设点P在该折线上运动的路径长为x（£>0）,连接A，P.

(1)连接3D

①求乙。。的度数;

②求出当〃二180时，%的值;

（2）当0VxW8时，点4'到直线A8的距离为.（用含K的式子表示）

28.（本小题10分）

如图，在R/Z\A8C中，点。是斜边AB上的动点（点。与点A不重合），连接CQ,以CO为直角边在

CECD

C。的右侧构造/^△CQE，zDCE=90°,连接BE,—

(I)

（1）如图1,当〃?=1时，8E与AO之间的位置关系是,数量关系是—

（2）如图2,当机H1时，猜想3"与AO之间的位置关系和数量关系，并证明猜想;

（3）在（1）的条件下，点F与点。关于QE对称，连接EF,BF,如图3.已知AC=6,设四

边形C7）FE的面积为5.

①直接写出S关于x的表达式：（不用写x的取值范围）

②当8F=2时，人。的长度为一

1.【答案】D

2.【答案】4

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】4

10.【答案】B

11.【答案】

12.【答案】-5

13.【答案】100°

14.【答案】6

15.【答案】9

16.【答案】

17.【答案】1080

18.【答案】当

<5

19.【答案】Xi=4,X2=-6；

X|=X2=3;

Xl=5,X2=-1：

3+、后3-/17

x\--------m=--------

44

20.【答案】解：(1)；关丁大的一元二次方程『2十〃-71二0有两个不相等的实数根,

.*.A=(-2)2-4X1X(/n-1)>0,

解得/n<2；

(2)♦.•，〃为正整数，由⑴知〃?<2,

•••〃尸1,

•••原方程可化为f-2x=0,即x(A-2)=0,

.3。或x-2=0,

.■•xi=O»X2=2.

21.【答案】：DA=DC,

又二乙DAC=ZJ)EB,

:•乙C=cDEB；

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22.【答案】△ABC的位似图形△小小G,如图即