2025年新版定积分题库及答案

2025年新版定积分题库及答案1.计算定积分∫₀^π(x²+3sinx)dx解：原积分=∫₀^πx²dx+3∫₀^πsinxdx=[x³/3]₀^π+3[-cosx]₀^π=(π³/30)+3[(-cosπ)(-cos0)]=π³/3+3[(1)(-1)]=π³/3+62.计算∫₁^4(√x+1/√x)dx解：原积分=∫₁^4x^(1/2)dx+∫₁^4x^(-1/2)dx=[(2/3)x^(3/2)]₁^4+[2x^(1/2)]₁^4=(2/3)(81)+2(21)=14/3+2=20/33.利用换元法计算∫₀^1x√(1x²)dx解：令u=1x²，则du=-2xdx，当x=0时u=1，x=1时u=0。原积分=∫₁^0√u(-du/2)=(1/2)∫₀^1u^(1/2)du=(1/2)(2/3)u^(3/2)|₀^1=1/34.计算∫₀^π/2cos³xsinxdx解：令t=cosx，则dt=-sinxdx，当x=0时t=1，x=π/2时t=0。原积分=∫₁^0t³(-dt)=∫₀^1t³dt=[t⁴/4]₀^1=1/45.计算∫₋₁^1(x⁵3x³+2x)dx解：被积函数为奇函数（x⁵、-3x³、2x均为奇函数），在对称区间[-1,1]上积分值为0，故原积分=06.计算∫₋π/2^π/2cos⁴xdx解：被积函数为偶函数，原积分=2∫₀^π/2cos⁴xdx。利用递推公式∫₀^π/2cosⁿxdx=(n-1)!!/n!!π/2（n为偶数），n=4时，(3!!/4!!)π/2=(31)/(42)π/2=3π/16，故原积分=2(3π/16)=3π/87.用分部积分法计算∫₀^1x²e^xdx解：设u=x²，dv=e^xdx，则du=2xdx，v=e^x。原积分=x²e^x|₀^12∫₀^1xe^xdx=(e0)2[xe^x|₀^1∫₀^1e^xdx]=e2[(e0)(e^x|₀^1)]=e2[e(e1)]=e2(1)=e28.计算∫₁^exlnxdx解：设u=lnx，dv=xdx，则du=(1/x)dx，v=x²/2。原积分=(x²/2)lnx|₁^e∫₁^e(x²/2)(1/x)dx=(e²/210)(1/2)∫₁^exdx=e²/2(1/2)(x²/2)|₁^e=e²/2(e²/41/4)=e²/4+1/49.计算∫₀^πxsinxdx解：设u=x，dv=sinxdx，则du=dx，v=-cosx。原积分=-xcosx|₀^π+∫₀^πcosxdx=-π(-1)+0+sinx|₀^π=π+0=π10.求变限积分函数F(x)=∫₀^xt√(1+t²)dt的导数F’(x)解：根据微积分基本定理，F’(x)=x√(1+x²)11.求limₓ→0[∫₀ˣ(1cost)dt]/x³解：分子分母均趋于0，用洛必达法则，分子导数=1cosx，分母导数=3x²，原式=limₓ→0(1cosx)/(3x²)。再用等价无穷小1cosx~x²/2，故原式=limₓ→0(x²/2)/(3x²)=1/612.计算∫₀^1dx/(1+√x)解：令t=√x，则x=t²，dx=2tdt，当x=0时t=0，x=1时t=1。原积分=∫₀^12t/(1+t)dt=2∫₀^1[(t+1)1]/(1+t)dt=2∫₀^1[11/(1+t)]dt=2[tln(1+t)]₀^1=2[(1ln2)0]=22ln213.计算∫₀^2|x1|dx解：分段积分，x∈[0,1]时|x1|=1x；x∈[1,2]时|x1|=x1。原积分=∫₀^1(1x)dx+∫₁^2(x1)dx=[xx²/2]₀^1+[x²/2x]₁^2=(11/2)+[(22)(1/21)]=1/2+(0(-1/2))=1/2+1/2=114.计算反常积分∫₁^+∞dx/(x√x)解：原积分=∫₁^+∞x^(-3/2)dx=limₐ→+∞[-2x^(-1/2)]₁^a=limₐ→+∞(-2/√a+2/√1)=0+2=2（收敛）15.计算∫₀^1lnxdx（瑕积分）解：x=0为瑕点，原积分=limₜ→0⁺∫ₜ^1lnxdx=limₜ→0⁺[xlnxx]ₜ^1=limₜ→0⁺[(01)(tlntt)]。其中tlnt→0（当t→0⁺时），故原式=(-1)(00)=-116.计算∫₀^π/4tan²xdx解：tan²x=sec²x1，原积分=∫₀^π/4(sec²x1)dx=[tanxx]₀^π/4=(1π/4)(00)=1π/417.计算∫₋₂²(x³cosx+√(4x²))dx解：x³cosx为奇函数（x³奇，cosx偶，乘积奇），在[-2,2]上积分=0；√(4x²)为上半圆，积分=半圆面积=π2²/2=2π。故原积分=0+2π=2π18.求∫₀^2f(x)dx，其中f(x)=｛x²,0≤x≤1；2x,1<x≤2｝解：分段积分，原积分=∫₀^1x²dx+∫₁^2(2x)dx=[x³/3]₀^1+[2xx²/2]₁^2=(1/3)+[(42)(21/2)]=1/3+(23/2)=1/3+1/2=5/619.计算∫₀^ln2√(eˣ1)dx解：令t=√(eˣ1)，则t²=eˣ1，eˣ=t²+1，x=ln(t²+1)，dx=2t/(t²+1)dt。当x=0时t=0，x=ln2时t=1。原积分=∫₀^1t(2t)/(t²+1)dt=2∫₀^1(t²)/(t²+1)dt=2∫₀^1[11/(t²+1)]dt=2[tarctant]₀^1=2[(1π/4)0]=2π/2