高考数学创新教师用书第七章第41讲简单的线性规划

第41讲简单的线性规划考试要求1.从实际情境中抽象出二元一次不等式(组)，二元一次不等式的几何意义(A级要求)；2.用平面区域表示二元一次不等式组(A级要求)；3.从实际情况中抽象出一些简单的线性规划问题，并加以解决(A级要求).诊断自测1.(教材改编)已知点A(1，0)，B(－2，m)，若A，B两点在直线x＋2y＋3＝0的同侧，则m的取值集合是________.解析因为A，B两点在直线x＋2y＋3＝0的同侧，所以把点A(1，0)，B(－2，m)代入可得x＋2y＋3的符号相同，即(1＋2×0＋3)(－2＋2m＋3)>0，解得m>－eq\f(1,2).答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m|m>－\f(1,2)))2.(教材改编)如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是________.解析不等式y≤2x＋1表示直线y＝2x＋1下方的平面区域及直线上的点，不等式x＋2y>4表示直线x＋2y＝4上方的平面区域，所以这两个平面区域的公共部分就是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≤2x＋1，,x＋2y>4))所表示的平面区域.答案eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≤2x＋1，,x＋2y>4))3.(2017·全国卷Ⅱ)设x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y－3≤0，,2x－3y＋3≥0，,y＋3≥0，))则z＝2x＋y的最小值是________.解析可行域如图阴影部分所示，当直线y＝－2x＋z取到点(－6，－3)时，所求最小值为－15.答案－154.(必修5P95习题11改编)若实数x，y满足不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x－y＋1≤0，,2x－y－2≤0，))则z＝x2＋y2的最小值是________.解析作出可行域如图中阴影部分所示，z＝x2＋y2的最小值表示阴影部分(包含边界)中的点到原点的距离的最小值的平方，由图可知直线x－y＋1＝0与直线x＝1的交点(1，2)到原点的距离最近，故z＝x2＋y2的最小值为12＋22＝5.答案5知识梳理1.二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线.(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域.2.线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3.重要结论画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证.4.判断区域方法(1)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有①当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；②当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方.(2)最优解和可行解的关系：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解.最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个.考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】(1)(2015·重庆卷改编)若不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x＋2y－2≥0，,x－y＋2m≥0))表示的平面区域为三角形，且其面积等于eq\f(4,3)，则m的值为________.(2)若不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋3y≥4，,3x＋y≤4))所表示的平面区域被直线y＝kx＋eq\f(4,3)分为面积相等的两部分，则k的值是________.解析(1)不等式组表示的平面区域如图，则图中A点纵坐标yA＝1＋m，B点纵坐标yB＝eq\f(2m＋2,3)，C点横坐标xC＝－2m∴S△ABD＝S△ACD－S△BCD＝eq\f(1,2)×(2＋2m)×(1＋m)－eq\f(1,2)×(2＋2m)×eq\f(2m＋2,3)＝eq\f(（m＋1）2,3)＝eq\f(4,3)，∴m＋1＝2或－2(舍)，∴m＝1.(2)不等式组表示的平面区域如图所示.由于直线y＝kx＋eq\f(4,3)过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3))).因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx＋eq\f(4,3)能平分平面区域.因为A(1，1)，B(0，4)，所以AB中点Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,2))).当y＝kx＋eq\f(4,3)过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,2)))时，eq\f(5,2)＝eq\f(k,2)＋eq\f(4,3)，所以k＝eq\f(7,3).答案(1)1(2)eq\f(7,3)规律方法(1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可.(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解.【训练1】(1)若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≤0，,x－2y－3≤0，,x≥m，))则实数m的最大值为________.(2)(2018·徐州四校模拟)若不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,y≥a，,0≤x≤2))表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a的取值范围是________.解析(1)在同一直角坐标系中作出函数y＝2x的图象及eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≤0，,x－2y－3≤0))所表示的平面区域，如图阴影部分所示.由图可知，当m≤1时，函数y＝2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件，故m的最大值为1.(2)不等式x－y＋5≥0和0≤x≤2表示的平面区域如图所示.因为原不等式组表示的平面区域是一个三角形及其内部，所以由图可知5≤a<7.答案(1)1(2)[5，7)考点二求目标函数的最值问题【例2－1】(1)(2015·山东卷改编)已知x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y≤2，,y≥0，))若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝________.(2)已知a>0，x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x＋y≤3，,y≥a（x－3），))若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝________.解析(1)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.易知A(2，0)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,x＋y＝2，))得B(1，1).由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.∴当a<0时，z＝ax＋y在O(0，0)或B(1，1)处取得最大值，最大值为zmax＝0或zmax＝a＋1＝4，a＝3，不满足题意；当a>0时，z＝ax＋y在A(2，0)或B(1，1)处取得最大值，∴2a＝4或a＋1＝4，∴a＝2，a＝3(经检验舍去)，则a(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分).易知直线z＝2x＋y过交点A时，z取最小值，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝a（x－3），))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2a，))∴zmin＝2－2a＝1，解得a＝eq\f(1,2).答案(1)2(2)eq\f(1,2)规律方法(1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.(2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义：①eq\r(x2＋y2)表示点(x，y)与原点(0，0)的距离，eq\r(（x－a）2＋（y－b）2)表示点(x，y)与点(a，b)的距离；②eq\f(y,x)表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率，eq\f(y－b,x－a)表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率.(3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件.【例2－2】已知变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－4y≤－3，,3x＋5y≤25，,x≥1，))试求解下列问题.(1)z＝eq\r(x2＋y2)的最大值和最小值；(2)z＝eq\f(y,x＋2)的最大值和最小值；(3)z＝|3x＋4y＋3|的最大值和最小值.解作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，易得A(1，1)，B(5，2)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(22,5))).(1)z＝eq\r(x2＋y2)表示的几何意义是可行域中的点(x，y)到原点(0，0)的距离，如图所示，zmax＝eq\r(29)，zmin＝eq\r(2).(2)z＝eq\f(y,x＋2)表示区域中的点(x，y)与点M(－2，0)连线的斜率，如图所示.zmax＝kMC＝eq\f(22,15)，zmin＝kMB＝eq\f(2,7).(3)z＝|3x＋4y＋3|＝5·eq\f(|3x＋4y＋3|,5)，而eq\f(|3x＋4y＋3|,5)表示区域中的点(x，y)到直线3x＋4y＋3＝0的距离，如图所示，zmax＝26，zmin＝10.规律方法(1)此题中与z有关量的几何意义不再是纵截距，而是点到点的距离、斜率、点到直线的距离.(2)在第(3)问中eq\f(z,5)才是点到直线的距离.考点三可转化线性规划的问题【例3】已知正数a，b，c满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5c－3a≤b≤4c－a，,clnb≥a＋clnc，))则eq\f(b,a)的取值范围是________.解析条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5c－3a≤b≤4c－a，,clnb≥a＋clnc))可化为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3·\f(a,c)＋\f(b,c)≥5，,\f(a,c)＋\f(b,c)≤4，,\f(b,c)≥e\f(a,c)，))设eq\f(a,c)＝x，eq\f(b,c)＝y，则题目转化为：已知变量x，y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋y≥5，,x＋y≤4，,y≥ex，,x>0，y>0，))求eq\f(y,x)的取值范围.作出(x，y)所在的平面区域如图中阴影部分所示.假设在y＝ex上一点P(x0，y0)处eq\f(y,x)取得最小值.则eq\f(y0,x0)＝eq\f(ex0,x0)，设g(x)＝eq\f(ex,x)，g′(x)＝eq\f(（x－1）ex,x2)，易知x＝1时，g(x)取得最小值，故此时eq\f(y0,x0)＝e，当(x，y)对应点C时，eq\f(y,x)取得最大值7，所以eq\f(y,x)的取值范围为[e，7]，即eq\f(b,a)的取值范围是[e，7].答案[e，7]【训练2】若变量a，b满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥1，,ab3≥81，,a3b≤81，))求u＝eq\f(a2,b)的最大值.解将不等式组中各不等式两边同时取以3为底的对数得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log3a≥0，,log3a＋3log3b≥4，,3log3a＋log3b≤4，))再令x＝log3a，y＝log3b，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋3y≥4，,3x＋y≤4，))同时令z＝log3u＝2log3a－log3b＝2x－y，题目就转化为：若x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋3y≥4，,3x＋y≤4，))求z＝2x－y的最大值.作出可行域如图中阴影部分所示，将z＝2x－y化为y＝2x－z，平移直线y＝2x－z，当直线过点A时，z取得最大值，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3y＝4，,3x＋y＝4，))，解得A(1，1)，此时zmax＝2×1－1＝1，umax＝3.考点四线性规划的实际应用问题【例4】某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时.若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元.(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润ω(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，所以利润ω＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.(2)约束条件为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x＋7y＋4（100－x－y）≤600，,100－x－y≥0，,x≥0，y≥0，x、y∈N.))整理得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3y≤200，,x＋y≤100，,x≥0，y≥0，x、y∈N.))目标函数为ω＝2x＋3y＋300，作出可行域，如图所示，作初始直线l0：2x＋3y＝0，平移l0，当l0经过点A时，ω有最大值，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3y＝200，,x＋y＝100，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝50，,y＝50.))∴最优解为A(50，50)，此时ωmax＝550元.故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元.规律方法解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系.(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x，y，并列出相应的不等式组和目标函数.(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解).(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值).(5)检验：根据结果，检验反馈.一、必做题1.若点(m，1)在不等式2x＋3y－5>0所表示的平面区域内，则m的取值范围是________.解析由2m＋3－5>0，得m答案(1，＋∞)2.(2017·北京卷)若x，y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤3，,x＋y≥2，,y≤x，))则x＋2y的最大值为________.解析画出可行域，设z＝x＋2y，则y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(z,2).当直线y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(z,2)过C(3，3)时，z取得最大值9.答案93.直线2x＋y－10＝0与不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x－y≥－2，,4x＋3y≤20))表示的平面区域的公共点有________个.解析由不等式组画出可行域的平面区域如图(阴影部分).直线2x＋y－10＝0恰过点A(5，0)，且其斜率k＝－2<kAB＝－eq\f(4,3)，即直线2x＋y－10＝0与平面区域仅有一个公共点A(5，0).答案14.若不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,2x＋y≤2，,y≥0，,x＋y≤a,))表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________.解析不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,2x＋y≤2，,y≥0))表示的平面区域如图(阴影部分)，求A，B两点的坐标分别为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))和(1，0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是0＜a≤1或a≥eq\f(4,3).答案(0，1]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))5.(2016·天津卷改编)设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0，,2x＋3y－6≥0，,3x＋2y－9≤0，))则目标函数z＝2x＋5y的最小值为________.解析由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为y＝－eq\f(2,5)x＋eq\f(1,5)z，在图中画出直线y＝－eq\f(2,5)x，平移该直线，易知经过点A时z最小.又知点A的坐标为(3，0)，∴zmin＝2×3＋5×0＝6.答案66.(2016·江苏卷)已知实数x，y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4≥0,2x＋y－2≥0，,3x－y－3≤0，))则x2＋y2的取值范围是________.解析已知不等式组所表示的平面区域如图：x2＋y2表示原点到可行域内的点的距离的平方.解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－y－3＝0，,x－2y＋4＝0，))得A(2，3).由图可知(x2＋y2)min＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|－2|,\r(22＋12))))eq\s\up12(2)＝eq\f(4,5)，(x2＋y2)max＝|OA|2＝22＋32＝13.答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，13))7.(2018·苏北三市质检)若实数x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤1，,3x－y≥0，,y≥0，))则|3x－4y－10|的最大值为________.解析作出实数x，y在约束条件下的平面区域(如图所示)，令z＝3x－4y－10，则平移直线3x－4y＝0经过点A(1，0)时，zmax＝3－10＝－7；平移直线3x－4y＝0经过点Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(3,4)))时，zmin＝eq\f(3,4)－3－10＝－eq\f(49,4)，即－eq\f(49,4)≤z＝3x－4y－10≤－7，从而7≤|3x－4y－10|≤eq\f(49,4)，所求的|3x－4y－10|的最大值为eq\f(49,4).答案eq\f(49,4)8.已知变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y≥1，,x－y≤1，,y－1≤0，))若z＝x－2y的最大值与最小值分别为a，b，且方程x2－kx＋1＝0在区间(b，a)上有两个不同实数解，则实数k的取值范围是________.解析作出可行域，如图所示，则目标函数z＝x－2y在点(1，0)处取得最大值1，在点(－1，1)处取得最小值－3，∴a＝1，b＝－3，从而可知方程x2－kx＋1＝0在区间(－3，1)上有两个不同实数解.令f(x)＝x2－kx＋1，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（－3）>0，,f（1）>0，,－3<\f(k,2)<1，,Δ＝k2－4>0))⇒－eq\f(10,3)<k<－2.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10,3)，－2))9.(2016·浙江卷改编)在平面上过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影.由区域eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2≤0，,x＋y≥0，,x－3y＋4≥0))中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则AB＝________.解析已知不等式组表示的平面区域如图中△PMQ所示.因为l与直线x＋y＝0平行.所以区域内的点在直线x＋y－2上的投影构成线段AB，则AB＝PQ.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3y＋4＝0，,x＋y＝0，))解得P(－1，1)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,x＋y＝0))解得Q(2，－2).∴AB＝PQ＝eq\r(（－1－2）2＋（1＋2）2)＝3eq\r(2).答案3eq\r(2)10.某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次.A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆.若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？解设A型、B型车辆分别为x、y辆，相应营运成本为z元，则z＝1600x＋2400y.由题意得x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤21，,y≤x＋7，,36x＋60y≥900，,x，y≥0，x，y∈N.))作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5，12)，Q(7，14)，R(15，6).由图可知，当直线z＝1600x＋2400y经过可行域的点P时，直线z＝1600x＋2400y在y轴上的截距eq\f(z,2400)最小，即z取得最小值.故应配备A型车5辆、B型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小.二、选做题11.若实数x，y满足x2＋y2≤1，则|2x＋y－2|＋|6－x－3y|的最小值是________.解