山东省潍坊市2025-2026学年高二上学期期中考试数学

20252026学年上学期高二期中质量监测数学一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知直线l过点0,0和3,A.30∘B.45∘C.602.已知直线l过点3,1且与直线3x−A.x−3y=0B.x3.已知直线m,n与平面A.若m⊥α,n//αC.若α∩β=m,n4.已知y轴上一点P到直线4x+3y−A.0,−1B.0,−9C.0,15.已知正四面体ABCD的棱长都为1,点M,N分别是ADA.0 B.14C.126.已知圆C:x2+yA.1B.2C.3D.47.已知A∈α,B,C在平面α的同侧,直线AB与平面α所成的角为30∘,直线AC与平面α所成的角为60A.6cmB.43cmC.8.已知四棱锥S−ABCD，底面ABCD是边长为43的正方形，侧面SAD⊥底面A.105πB.110πC.112πD.132π二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知a=A.a−b⊥c C.与a同向的单位向量为23,−13,−210.已知圆锥的底面半径为8,母线长为10,则A.圆锥的表面积为80πB.圆锥的侧面展开图是圆心角为8π5C.圆锥的体积为128πD.过该圆锥顶点的截面的面积最大值为5011.数学之美,古来共谈.如图甲,在平面直角坐标系xOy中有⊙O:x2+y2=1与x轴分别交于A,B两点,P为⊙O上的动点,以AP为直径的 图甲 图乙A.若∠PAB=π4，则⊙E与B.点E运动轨迹为圆心为−12,C.当⊙E与y轴相切时,D.图乙中,心形区域M与y轴交点纵坐标的最大值为2三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知四面体ABCD中，点M在面ABC内，若DM=1213.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2,E为14.甜品店推出一款巧克力酸奶杯,如图所示,在装满酸奶的圆台形杯具内有半径分别为1 cm和2 cm的两个巧克力球,巧克力小球与杯底和杯壁均相切,大球与小球、杯壁、杯盖均相切,则杯具中酸奶的体积为_____四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)已知空间直角坐标系中，平行六面体ABCD−A1B1C1(1)求侧棱AA(2)求cos⟨B16.(15分)已知直线l1:a(1)当a=3时,求直线l1(2)讨论直线l1与l17.(15分)如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD,AB//(1)求证:平面EFG//平面PAB(2)求直线AF与面EFG所成角的正弦值.18.(17分)设⊙C的圆心C在直线x+y−3=0(1)求圆C的标准方程；(2)若直线l:y=ax与圆C相交于A,(3)已知点M−1,0，P为圆C上任意一点，试问在x轴上是否存在定点N(异于点M)19.(17分)空间中,两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系.如果坐标系中有两条坐标轴不垂直,那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.(1)现有一种空间斜坐标系,它任意两条数轴的夹角均为60∘,我们将这种坐标系称为“斜60∘坐标系”,类比空间直角坐标系,定义“空间斜60∘坐标系”下向量的斜60∘坐标i,j,k分别为“斜60∘坐标系”下三条数轴(x轴,y轴,z轴)正方向上的单位向量,若向量n=xi+yj+zk,则n与有序实数组①若BE=EB1，求向量②若AM=3,t,(2)如图三棱锥A−BCD,DA=DB=DC,

一、单选题:ABCDCDDC二、多选题:9.ACD10.BCD11.AD三、填空题:12.56 13.2四、解答题:15.解(1)由题意知,平行六面体ABCD−A1B1C1D1所以AA(2)由题意知，M为体对角线BD1,所以BD所以cosB16.解:(1)当a=3时,两直线的方程分别为令y=0,代入l1方程得2x−3=0,解得x同理可得l2与x轴交点为B联立方程组2x+2y−3=0x+3y−1=0解得两直线l1与则S△(2)当aa−1−2当a=2时,两直线方程分别为x+当a=−1时,两直线方程分别为−2x综上,当a≠2且当a=当a=−17.解:(1)证明:因为E,F,所以FG//又因为AB//CD，所以因为EF∩所以平面EFG//平面PAB(2)因为PD⊥底面ABCD，AD⊥AB，则DP，DA，DC两两垂直，以D为原点，分别以DA,DC,DP则A1所以E0所以AF设面EFG的一个法向量为nn令x=1,则y=设直线AF与面EFG所成的角为θ,所以sin即直线AF与面EFG所成角的正弦值为2618.解:(1)设圆C的圆心坐标为a,b,半径为r解得a=3b=0(2)由(1)可知该圆的半径为3，因为△ABC为等边三角形，且边长为3所以该等边三角形的高为32所以圆心C到直线l:y=ax的距离为32所以直线l的方程为y=33(3)假设存在定点N，设Nn设Px,y则PNPM当6−2n8=n2−故存在定点N，使得PNPM为定值，N的坐标为919.解:(1)①设i,j,ABED所以向量ED1的斜60∘②由题意知AAM=3,AM⊥A