【初中数学】线段的垂直平分线第2课时课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第一章三角形的证明及其应用4线段的垂直平分线第2课时用尺规作等腰三角形和已知直线的垂线素养目标1.理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质，能够运用其解决实际问题．2.能够利用尺规过直线外一点作直线的垂线．教学重难点重点：利用三角形三边垂直平分线的性质解决问题．难点：尺规作图的规范与合理性．导入新课我们班要设计一期“对称之美”的文化墙,需要在墙面上布置一个等腰三角形的主题图案.现在只有一根绳子和一支粉笔,你能在墙面上确定一个等腰三角形的位置吗?如果还需要在三角形顶点处悬挂装饰品,那么如何确保装饰品垂直于墙面呢?新知探究任务一:探索三角形的不唯一性问题:已知三角形的一条边及这条边上的高,你能画出满足条件的三角形吗?已知:如图,三角形的一条边a和这条边上的高h.求作:△ABC,使BC=a,BC边上的高为h.你能作出三角形吗?如果能,能作出几个?新知探究已知:如图,三角形的一条边a和这条边上的高h.求作:△ABC,使BC=a,BC边上的高为h.新知探究任务二:使用尺规作等腰三角形问题:已知等腰三角形的底边及底边上的高,你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗?能作几个?已知:如图,线段a,h.求作:△ABC,使AB=AC,BC=a,高AD=h.作法图形已知线段a，h，用尺规作△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h.△ABC就是所要作的等腰三角形．原理:∵点A在线段BC的垂直平分线上,∴AB=AC.ahalABChD1．作线段BC，使BC＝a．2．作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D．3．在l上作线段DA，使DA＝h．4．连接AB，AC．新知探究任务三:用尺规作已知直线的垂线问题:还记得用尺规过直线l上一点P作l的垂线的方法吗?这种方法将作直线的垂线问题转化为作线段的垂直平分线问题.如果点P在直线l外呢?此时,还能运用这种转化的方法吗?新知探究活动:如图,已知直线l和l外一点P,用尺规作l的垂线,使它经过点P.要作一条直线与l垂直且过点P,关键是找到垂足的位置.我们能否利用已学的线段垂直平分线的知识来解决?作法图形已知直线l和l外一点P，用尺规作l的垂线，使它经过点P.ABmlPQ••1.任取一点Q，使点Q与点P在直线l两旁.2.以点P为圆心，以PQ的长为半径作弧，交直线l于点A和点B.3.作线段AB的垂直平分线m.直线m就是所要作的直线.为什么直线m经过点P?因为点P到直线上点A，B的距离相等，所以点P一定在线段AB的垂直平分线m上.

上述步骤正确的顺序是

.（填序号）①③②④

跟踪练习2.

如图，已知线段a，直线l及l外一点A.

求作：等腰三角形ABC，使底边BC在直线l上，且BC＝a.

（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）解：如图，△ABC即为所求.例2已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P，垂足分别为D，E.求证：边AC的垂直平分线经过点P.BACPED要证明AC的垂直平分线经过点P,实质是证明什么?要证明点P在边AC的垂直平分线上,需要什么条件?已知的两条垂直平分线相交于点P,由此你能得到哪些相关的结论?任务四:讲解例题证明：如图，连接PA，PB，PC.∵点P在边AB的垂直平分线上，∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等).同理，PB=PC.∴PA=PB=PC.∴点P在线段AC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)，即边AC的垂直平分线经过点P.BACPED归纳总结符号语言：∵直线MN，EF，PQ分别垂直平分线段BC，AB，AC，∴直线MN，EF，PQ相交于点O，且OA=OB=OC.三角形三条边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.这个点叫作三角形的外心.

三角形三条边的垂直平分线的交点位置如下：锐角三角形三角形内部直角三角形斜边中点钝角三角形三角形外部锐角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的内部，直角三角形三边垂直平分线的交点位于斜边的中点，钝角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的外部．上述结论可作为判定三角形类型的依据．1.

如图，兔子的三个洞口A，B，C构成△ABC，猎狗想捕捉

兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在△ABC

（

C

）CA.

三条边的中线的交点B.

三条边的高的交点C.

三条边的垂直平分线的交点D.

三个角的平分线的交点跟踪练习2.

（教材P36例2变式）如图，已知在△ABC中，边AB，BC的

垂直平分线交于点P，则下列结论一定成立的有（

B

）①PA＝PB＝PC；②点P在AC的垂直平分线上；③∠BAP＝∠CAP.

BA.1个B.2个C.3个D.0个

CA.84

B.63

C.42

D.21课堂练习

2.

在由小正方形组成的网格中，△ABC的位置如图所示，且顶

点均在格点（网格线的交点）上.在△ABC的内部有E，F，

G，H四个格点，其中到△ABC三个顶点距离相等的点是

（

B

）A.

点EB.

点FC.

点GD.

点HB3.

（教材P36例2变式）如图，已知在△ABC中，边AB，BC的

垂直平分线交于点P，则下列结论一定成立的有（

B

）①PA＝PB＝PC；②点P在AC的垂直平分线上；③∠BAP＝∠CAP.

BA.1个B.2个C.3个D.0个4.

如图，在△ABC中，DE，DF分别垂直平分边AC，BC，

连接AD，BD，CD.

若∠ACB＝40°，则∠BAD的度数

为

⁠°.50

6

6.

如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D

在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于

点E，交BD于点F，连接DE.

（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；解：（1）DE⊥DP.

理由如下：∵PD＝PA，∴∠A＝∠PDA.

∵EF是BD的垂直平分线，∴EB＝ED，∴∠B＝∠EDB.

∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∴∠PDA＋∠EDB＝90°，∴∠PDE＝180°－90°＝90°，∴DE⊥DP.

（2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长.6.

如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D

在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于

点E，交BD于点F，连接DE.

解：（2）如图，连接PE.

设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8－x.∵AC＝6，PA＝2，∴PC＝6－2＝4，PD＝PA＝2.∵∠C＝∠PDE＝90°，∴PC2＋CE2＝PE2＝PD2＋DE2，∴42＋（8－x）2