1.5 角平分线 第1课时同步课件-北师大版(2024)八下课件

北师版-数学-八年级下册第一章三角形的证明及其应用5

角平分线第1课时角平分线的性质与判定情境导入我们曾经探索过角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.请你尝试证明这一结论.1．___________________________________________叫作角的平分线．2．我们曾用折纸的方法探索过角平分线上点的性质(如图)．从折纸的过程中，可以得到：____________________________________．OBACPED12从角的顶点出发，把角分成两个相等的角的射线角的平分线上的点到角两边的距离相等探究新知探究1【探究角平分线的性质定理】1．证明角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD＝PE.OBACPED12OBACPED12证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，∴∠PDO＝∠PEO＝90°.∵∠1＝∠2，OP＝OP，∴△PDO≌△PEO(AAS)，∴PD＝PE(全等三角形的对应边相等)．符号语言表示为：∵∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE.应用角平分线的性质定理必须具备的条件：两垂直，一平分．OBACPED12归纳总结归纳总结角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.符号语言：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE.OBACPED注意：该定理中，“点到这个角的两边的距离”是指该点到角两边的垂线段的长度.你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上．这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点．探究新知探究2【探究角平分线的判定定理】角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，它的逆命题是________________________________________________________．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上请证明角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．1．已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD＝PE.求证：点P在∠AOB的平分线上．OAB12PDE证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，OAB12PDE∴∠PDO＝∠PEO＝90°.在Rt△ODP和Rt△OEP中，OP＝OP，PD＝PE，∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL)，∴∠1＝∠2，即点P在∠AOB的平分线上．角平分线和线段垂直平分线的比较：相同点：都有定理和逆定理，都有“距离相等”，证明方法都利用了三角形全等.不同点：角平分线是在角的内部，到角的两边距离相等的点的集合，是点到线(射线)的距离相等；线段垂直平分线是到线段的两个端点距离相等的点的集合，是点到点的距离相等.用符号语言表示为：∵PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB，∴点P在∠AOB的平分线上．角平分线的判定定理的特征是：两垂直，一相等．OAB12PDE归纳总结

定理在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.应用举例1.如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积为()A．10B．7C．5D．4C2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BE＝CF.求证：BD＝FD.证明：∵∠C＝90°，DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，∴∠C＝∠DEB＝90°，DE＝DC.在△DEB和△DCF中，∴△DEB≌△DCF(SAS)，∴BD＝FD.3.如图，直线AB，CD相交于点O，PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F.若PE＝PF，且∠AOC＝50°，则∠EOP的度数为()A．65°B．60°C．45°D．30°A4.如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，BD＝CD.求证：AD平分∠BAC.证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°.在△BDF和△CDE中，∴△BDF≌△CDE(AAS)，∴DF＝DE.又∵DF⊥AB，DE⊥AC，∴AD平分∠BAC.探究新知例1

已知，在△ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线AD分对边BC为BD∶DC＝3∶2，且BC＝15cm，求点D到AB边的距离．【方法指导】已知∠A的平分线AD，可作DE⊥AB，利用角平分线的性质定理得出DE＝CD，根据已知BD∶DC＝3∶2，且BC＝15cm，即可得到点D到AB的距离．ABCDCABDE解：如图，作DE⊥AB.∵∠C＝90°，∴CD⊥AC.∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∴DE＝CD.∵BD∶DC＝3∶2，BC＝15cm，

∴DE＝6cm，∴点D到AB边的距离为6cm.例2

如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，AD＝10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF，求DE的长．ABCDEF

解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF，ABCDEF∴AD平分∠BAC.又∵∠BAC＝60°，∴∠BAD＝30°.在Rt△ADE中，∠AED＝90°，AD＝10，

随堂练习

ABCDB2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD＝2，则点D到AB的距离是____．2ACDB3．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE与CD相交于O.(1)如果∠1＝∠2，求证：OB＝OC；(2)如果OB＝OC，求证：∠1＝∠2.12ABCEDO证明：(1)∵BE⊥AC，CD⊥AB，∠1＝∠2，在△BOD和△COE中，∴△BOD≌△COE(ASA)，∴OD＝OE.∴OB＝OC；12ABCEDO(2)∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADO＝∠AEO＝∠BDO＝∠CEO＝90°.在△BOD和△COE中，∴△BOD≌△COE(AAS)，∴OD＝OE.∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴OA为∠BAC的平分线，∴∠1＝∠2.4.如图，某工地在A区，到公路、铁路距离相等，距公路与铁路交叉