典型例题：离散型随机变量的期望与方差2

1/6例谈离散型随机变量的期望与方差题型剖析例1是x1，x2，…，x100的平均数，a是x1，x2，…，x40的平均数，b是x41，x42，…，x100的平均数，则下列各式正确的是A= B=C=a+b D=分析：这100个数的平均数是a+b还是（a+b），这都很容易让人误解我们可以从概率或加权平均数的角度来思考解：因为x1+x2+…+x40＝40a，x41+x42+…+x100=60b，所以x1+x2+…+x100＝（x1+x2+…+x40）+（x41+x42+…+x100）＝40a+60b故x1，x2，…，x100的平均数=（40a+60b）=a+b答案：A例2一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出两个，则其中含红球个数的数学期望是_____________解：同时取出的两个球中含红球数的概率分布为P(=0)==,P(=1)==,P(=2)==E==,所以应填例3甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm2）品种第1年第2年第3年第4年第5年甲989910110102乙941031089798其中产量比较稳定的小麦品种是解：∵=eq\o(\s\up5(1),\s\do3(5))(98+99+101+10+102)=100，=eq\o(\s\up5(1),\s\do3(5))(94+103+108+97+98)=100;=eq\o(\s\up5(1),\s\do3(5))(982+…+1022)–102=002，=eq\o(\s\up5(1),\s\do3(5))(942+…+982)–102=0244>002∴<，故产量比较稳定的小麦是甲品种例4对划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度的数据如下：甲：27，38，30，37，35，31；乙：33，29，38，34，28，36根据以上数据，试判断他们谁更优秀分析:根据统计知识可知，需要计算两组数据的与，然后加以比较，最后再作出判断解:，，∴，，由此可以说明，甲、乙二人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优秀例5甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所出次品数分别为，，且和的分布列为：012012试比较这两名工人谁的技术水平更高解：，说明两人出的次品数相同，可以认为他们技术水平相当又，说明工人乙的技术比较稳定可以认为工人乙的技术水平更高例6若随机事件A在1次实验中发生的概率为，用随机变量表示A在1次实验中发生的次数①求方差的最大值；②求的最大值解：随机变量的所有可能取值为0,1，并且有①当时，取得最大值，最大值为②当时，取得最大值，最大值为例7A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：对阵队员A队队员胜的概率A队队员负的概率A1对B1eq\o(\s\up5(2),\s\do3(3))eq\o(\s\up5(1),\s\do3(3))A2对B2eq\o(\s\up5(2),\s\do3(5))eq\o(\s\up5(3),\s\do3(5))A3对B3eq\o(\s\up5(2),\s\do3(5))eq\o(\s\up5(3),\s\do3(5))现按表中对阵方式出场,每场胜队得1分,负队得0分设A队B队最后总分分别为(Ⅰ)求的概率分布；(Ⅱ)求EE分析：本题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力解：(Ⅰ)的可能取值分别为3,2,1,0P(=3)=（即A队连胜3场）P(=2)=（即A队共胜2场）P(=1)=（即A队恰胜1场）P(=0)= （即A队连负3场）根据题意知=3，所以P(=0)=P(=3)=eq\o(\s\up5(8),\s\do3(75))， P(=1)=P(=2)=eq\o(\s\up5(28),\s\do3(75))，P(=2)=P(=1)=eq\o(\s\up5(2),\s\do3(5))， P(