2026年高二数学寒假自学课（人教B版）第05讲 正态分布（3知识点+8大题型）（解析版）

第05讲正态分布

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型·强知识：核心题型举一反三精准练

【题型01：正态密度函数】

【题型02：概率分布曲线的认识】

【题型03：标准正态分布的应用】

【题型04：特殊区间的概率】

【题型05：指定区间的概率】

【题型06：根据正态曲线的对称性求参数】

【题型07：正态分布与其他分布的结合】

【题型08：3原则】

第二步：记

串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1：正态分布的概念

(x)2

12

①正态曲线：称2其中,0为参数，为正态密度函数，称其

,(x)e,x(,)R

2

图象为正态分布密度曲线(其中μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差)

②正态分布的定义

若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(，2)．特别地，当

=0，=1时，称随机变量X服从标准正态分布．

知识点2：正态曲线的性质

对xR，fx0，它的图象在x轴的上方

曲线与x轴之间的面积为1

曲线是单峰的，它关于直线x=对称

1

曲线在x处达到峰值

2

当x无限增大时，曲线无限接近x轴

当一定时，曲线的位置由确定，曲线随

着的变化而沿x轴平移

当一定时，曲线的形状由确定，较小

时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比

较集中；较大时，曲线“矮胖”，表示随

机变量X的分布比较分散，

知识点3：三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则

①P(X)0.6826；P(2X2)0.9544；

P(3X3)0.9974.

②3原则：尽管正态变量的取值范围是(,)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间

[-3,+3]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可

能发生．所以在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(,2)的随机变量X只取[-3,+3]中的值

【题型01：正态密度函数】

x2

1

1．已知正态分布密度函数fx=e8，xR，则,分别是（）

8π

A．0和4B．0和2C．0和8D．0和2

【答案】B

【分析】

2

x2x0

112

【详解】fx=e8e22，

8π22

＝0，＝2.

故选：B.

2．设随机变量X~N0,1，则X的密度函数为（）

2

x2x1

11

A．fxe2B．fxe2

2π2π

2

x2x1

11

C．fxe2D．fxe2

2π2π

【答案】A

【详解】因为X~N0,1，所以0,21，即1，

所以X的密度函数为A.

故选：A

2

x

212

．已知某批零件的长度误差服从正态分布N,，其密度函数2的曲线如图所示，

3X,xe

2π

则；从中随机取一件，其长度误差落在6,3内的概率约为.(附：若随机变量服从正

态分布N,2，则P0.6827，P220.9545，

P330.9973)

【答案】30.1359

【详解】由图中密度函数解析式，可得3；又由图象可知0，则长度6,3内的概率为：

1

P6X3P2X2PX

2

1

0.95450.68270.1359.

2

故答案为：3；0.1359.

4．根据正态密度函数的表达式，找出其均值和方差.

x2

1

(1)xe2，xR；

2π

x12

1

(2)xe4，xR.

2π

【答案】(1)均值0，方差1

(2)均值1，方差2

2

xx2

121

【详解】（）根据正态密度函数2及2对照得：

1,2xexRxe

2π22π

0,21，所以所求的均值0，方差1；

2

xx12

12214

（）根据正态密度函数2及对照得：

2,xexRxe

2π22π

1,22，所以所求的均值1，方差2.

5．已知某公司人均月收入X服从正态分布，其密度函数图像如图所示．

(1)写出此公司人均月收入的密度函数的表达式；

(2)求此公司人均月收入在8000～8500元之间的人数所占的百分比．

(x8000)2

12

2500

【答案】(1),(x)e，x,.

5002

(2)34.14%

【分析】

【详解】（1）

设公司人均月收入为X～N,2，

结合题图可知，8000，500.

此公司人均月收入的正态分布密度函数表达式为:

(x)2(x8000)2

1212

22500

,(x)ee，x,.

2π5002π

（2）

X～N8000,5002，则P(7500X8500)P(8000500X8000500)0.6827，

1

所以P(8000X8500)P(7500X8500)0.3414＝34.14%.

2

故公司人均月收入在8000～8500元之间的人数所占的百分比为34.14%.

【题型02：概率分布曲线的认识】

222

6．正态分布N11,1，N22,2，N33,3（其中1，2，3均大于0）所对应的密度函数图象如

下图所示，则下列说法正确的是（）

A．1最大，1最大B．3最大，3最大

C．1最大，3最大D．3最大，1最大

【答案】D

2

【详解】由正态分布N,，可知是均值，是正态密度曲线的对称轴，可知3最大，

2

表示方差，越小越“瘦高”，越大越“矮胖”，所以1最大.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了正态分布曲线比较均值和方差，属于基础题.

2

x

i

12

．（多选）已知三个正态分布密度函数2i的图象如图所示，则下列结论

7fixexR,i1,2,3

2i

正确的是（）

A．123B．123

C．123D．123

【答案】BD

【详解】正态密度曲线关于直线x对称，且越大图象越靠近右边，越小图象越瘦长.

因此，123，123.

故选：BD.

【点睛】本题考查正态密度曲线的特点以及曲线所表示的意义，考查正态密度曲线两个特征数：均值和标

准差对曲线的位置和形状的影响，属于基础题.

8．（多选）某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服

22

从正态分布，XN1,1,YN2,2，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是（）

A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值

B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值

C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性

D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性

【答案】AC

22

【详解】X，Y均服从正态分布，XN1,1,YN2,2，

结合正态密度函数的图象可知，可得12，12，

故甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，故A正确，B错误；

甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性，故C正确，D错误．

故选：AC

22

9．（多选）设X~N1,1，Y~N2,2，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（）

A．12，12

B．PX1PX2

C．12，12

D．P(Y1)P(X2)

【答案】CD

【详解】解：由题可得X的正态分布密度曲线的对称轴为直线x1，Y的正态分布密度曲线的对称轴为直

线x2.

由题图可得12，由于表示标准差，越小图象越“瘦高”，故12，故C正确.

根据图象可知PX10.5，PX20.5，PY10.5，PX20.5，所以

PX1PX2，PY1PX2，故B不正确，D正确.

故选：CD.

2

10．（多选）已知两种金属元件（分别记为X，Y）的抗拉强度均服从正态分布，且XN1,1，

22

YN2,2，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项中正确的是（）（参考数据：若ZN,，

则PZ0.6827，P2Z20.9545）

A．12，12

B．P11X1210.8186

C．PY2PY1

D．对于任意的正数t，恒有PXtPYt

【答案】AB

【详解】对于A，因为X的正态分布曲线高而廋，Y的正态分布曲线矮而胖，故12，

由两条曲线的对称轴的位置可得12，故A正确；

1

对于B，P(X2)(0.68270.9545)0.8186，故B正确；

11112

对于C，由A可得12，故PY2PY1，C错误；

对于D，对于任意的正数t，由图象可知：

P(Xt)表示的面积始终小于P(Yt)表示的面积，

则恒有P(Xt)P(Yt)，D错误.

故选：AB

【题型03：标准正态分布的应用】

11．产品质量指标XN100,2，PX900.2，PX1100.2.

(1)求；

(2)抽取10件，求至少2件指标在90,110之内的概率（结果保留四位小数）.

xx

11

说明：PXx11Φ表示xx1的概率，Φ用来将非标准正态分布化为标准正态分布，

x

即Z~N0,1，从而利用标准正态分布表Φx，求Xx时的概率Pxx，这里x1,相应于x的

01100

值Φx0是指总体取值小于x0的概率，即Φx0PZx0.参考数据：Φ0.840.8.

【答案】(1)11.9048

(2)0.9983

【分析】

【详解】（1）因为产品质量指标XN100,2，即100，

又因为PX1100.2，则PX1101PX1100.8，

11010010

且Φ0.840.8，则0.84，解得11.9048.

0.84

（2）由题意可得：P90X1101PX110PX900.6，

记指标在90,110的之内的件数为Y，则YB10,0.6，

所以PY21PY0PY110.410100.60.490.9983.

12．已知某客运轮渡最大载客质量为4000kg，且乘客的体重（单位：kg）服从正态分布N60,100．

(1)记X为任意两名乘客中体重超过70kg的人数，求X的分布列及数学期望（所有结果均精确到0.001）；

n

Xn

设随机变量Xi1,2,,n相互独立，且服从正态分布N,2，记i，则当n20时，可

(2)ii1

n

认为服从标准正态分布N0,1．若保证该轮渡不超载的概率不低于97.7%，求最多可运载多少名乘客．

附：若随机变量服从正态分布N,2，则P()0.6826；若服从标准正态分布N0,1，

则P(2)0.977；0.158720.0252，0.841320.7078，0.15870.84130.1335．

【答案】(1)分布列见解析，期望值为0.317；

(2)64

【分析】

【详解】（1）由乘客的体重（单位：kg）服从正态分布N60,100可得60,10，

1P(X)10.6826

则可得PX70PX0.1587，

22

即任意一名乘客体重大于70kg的概率为0.1587，

则X的所有可能取值为0,1,2，

2

PX010.15870.708，

1

PX1C210.15870.15870.267，

PX20.158720.025

所以X的分布列为

X012

P0.7080.2670.025

期望值为EX00.70810.26720.0250.317

2

（2）设Xi为第ii1,2,,n位乘客的体重，则XiN,，其中60,10，

n400060n

所以PXi4000P97.7%，

i110n

400060n

由P(2)0.977可得2，

10n

即3nn2000，可得3n25n80，即n8，n64.

所以保证该轮渡不超载的概率不低于97.7%，最多可运载64名乘客.

13．2021年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人，2020年7月份以来，共完成1931个

志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时，为了了解此地志愿者对志愿服务

的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长(单位：小时)，并绘制如图所示的频率分布

直方图．

(1)估计这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组数据区间的

中间值代表)；

(2)由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长X服从正态分布N,2，其中近似为样本平均数x，

2

2近似为样本方差s2.一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若XN,，

Xa

令Y，则YN(0,1)，且P(Xa)PY．

(i)利用直方图得到的正态分布，求P(X10)；

(ii)从该地随机抽取20名志愿者，记Z表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求

P(Z1)(结果精确到0.001)，以及Z的数学期望(结果精确到0.01)．

参考数据：1.641.28，16.44.05，0.5987200.000035，0.7291200.0018，0.7823200.0074.若

YN(0,1)，则P(Y0.25)0.5987，P(Y0.61)0.7291，P(Y0.78)0.7823.

【答案】(1)平均数9，样本方差1.64

(2)(i)0.7823；(ii)0.993，4.35

【分析】

【详解】（1）x60.0270.1080.2090.38100.18110.08120.049，

s2(3)20.02(2)20.10(1)20.20120.18220.08320.041.64．

（2）(i)由题意并结合(1)可知，9，21.641.282，

2109

∴XN9,1.28，∴P(X10)PYP(Y0.78)0.7823．

1.28

(ii)由(ⅰ)可知，P(X10)1P(X10)0.2177，

∴ZB(20,0.2177)，

20

∴P(Z1)1P(Z0)110.217710.00740.993，EZ200.21774.35．

14．2020年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人．2019年7月份以来，共完成1931个

志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时．为了了解此地志愿者对志愿服务

的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长（单位：小时），并绘制如图所示的频率分

布直方图．

（1）求这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数x和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中

间值代表）；

（2）由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长X服从正态分布N,2，其中近似为样本平均

数x，2近似为样本方差s2．一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若

2Xa

X~N,，令Y，则Y~N0,1，且PXaPY．

（ⅰ）利用直方图得到的正态分布，求PX10；

（ⅱ）从该地随机抽取20名志愿者，记Z表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求

PZ1（结果精确到0.001）以及Z的数学期望．

参考数据：1.641.28，0.7734200.0059．若Y~N0,1，则PY0.780.7734．

【答案】（1）9，1.64；（2）（ⅰ）0.7734，（ⅱ）0.994，4.532.

【分析】

【详解】解：（1）x60.0270.180.290.38100.18110.08120.049．

2222222

s2690.02790.1890.2990.381090.181190.081290.041.64

．

（2）（ⅰ）由题知9，21.64，所以X~N9,1.64，1.641.28．

109

所以PX10PYPY0.780.7734．

1.28

（ⅱ）由（ⅰ）知PX101PX100.2266，可得Z~B20,0.2266．

PZ11PZ010.77342010.00590.99410.994．

故Z的数学期望EZ200.22664.532．

【点睛】关键点睛：本题考查根据频率分布直方图求平均数和方差以及根据正态分布求概率和二项分布问

题，解答本题的关键是将问题“从该地随机抽取20名志愿者，记Z表示这20名志愿者中每月志愿服务时长

超过10小时的人数”，转化为得到Z~B20,0.2266，属于中档题.

【题型04：特殊区间的概率】

15．某市高二年级男生的身高X（单位：cm）近似服从正态分布N170,52，随机选择一名该市高二年级的

男生，则其身高落在区间175,180内的概率约为（）（附：若随机变量X服从正态分布N,2，则

PX0.6827，P2X20.9545）

A．0.0456B．0.1359C．0.2718D．0.3174

【答案】B

【详解】由题意知，P175X180PX2

P2X2PX

0.1359．

2

故选：B.

16．已知随机变量XN90,102，则P(X80)（）参考数据：若随机变量服从正态分布N,2，

则P()0.683，P(22)0.954,P(33)0.997.

A．0.9772B．0.8415C．0.7786D．03415

【答案】B

1

【详解】由题意90,10，所以P(X80)P(80X90)P(X90)0.6830.50.8415.

2

故选：B

17．（多选）已知在某一次学情检测中，学生的数学成绩X服从正态分布N100,100，其中90分为及格线，

120分为优秀线，则下列说法正确的是（）

附：随机变量服从正态分布N,2，则P0.683，P220.954，

P330.997

A．学生数学成绩的期望为100B．学生数学成绩的标准差为100

C．学生数学成绩及格率不超过0.9D．学生数学成绩的优秀率约等于0.023

【答案】ACD

【详解】X服从正态分布N100,100，则100,10，故A正确错，B错误；

11

而P(X90)P(X)(1P(X))(10.683)0.1585，

22

P(X90)1P(X90)10.15850.84150.9，故C正确；

11

而P(X120)P(X2)(1P(2X2))(10.954)0.023，故D正确．

22

故选：ACD．

18．为丰富学生的课余生活，某地举办了2025年数学文化知识挑战赛，举办方从中随机抽取了100名学生

的成绩，并进行统计整理，现将成绩（满分100分）划分为四个分数段：20,40，40,60，60,80，80,100．已

知m2n，各分数段人数的频数统计如下表：

分数段20,4040,6060,8080,100

频数1030mn

(1)求m，n的值；

(2)按成绩进行分层，采用分层随机抽样的方法从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，设

抽到的4人中成绩在60,100内的人数为X，求X的分布列与期望；

(3)由以往比赛成绩的数据分析可知，学生成绩TN64,121．已知今年该地共有20000名学生参加比赛，

估计成绩在86,97内的学生人数．

参考数据：若TN,2，则PT0.6827，P2T20.9545，

P3T30.9973．

【答案】(1)n20,m40

(2)分布列见解析，E(X)2.4

(3)428

【分析】

【详解】（1）已知抽取的学生总数为100名，即各分数段频数之和为100，可得到方程1030mn100，

化简得mn60.

又因为m2n，解得n20，m22040.

（2）计算分层抽样后成绩在60,100内的人数：成绩在60,100内的频数为mn402060人.从100人

中抽取10人，

60

根据分层抽样的特征，抽取的10人中成绩在60,100内的人数为106人，那么成绩不在60,100内的

100

人数为1064人.

X表示抽到的4人中成绩在60,100内的人数，所以X的可能取值为0，1，2，3，4.

计算X取各个值的概率：

4

C41

P(X0)4.

C10210

13

C6×C4244

P(X1)4.

C1021035

22

C6×C41563

P(X2)4.

C102107

31

C6×C42048

P(X3)4.

C1021021

4

C6151

P(X4)4.

C1021014

列出X的分布列：

X01234

14381

P

2103572114

可得E(X)012342.4.

21035721143577735

（3）已知T~N64,121，则64，12111.

26421186，36431197.

P(3T3)P(2T2)0.99730.9545

P(86T97)0.0214.

22

今年该地共20000名学生参加比赛，所以成绩在86,97内的学生人数约为200000.0214428人.

19．在七一“建党节”来临之际，某省教育系统开展以“争知识标兵，做奋斗先锋”为主题的法规知识竞赛活动.

为了了解本次竞赛成绩情况，从参与者中随机抽取容量为100的样本数据（满分为100分），均在区间50,100

内，将样本数据按[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图如图所示.

(1)求a的值，并估计抽取的100位参与者得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)若本次活动共有5000人参加，用样本平均值估计总体平均值.假设所有参与者得分XN,100，试

估计得分在65,95上的人数.

参考数据：若XN,2(0)，则PX0.6827,P2X20.9545

【答案】(1)a0.02，估计抽取的100位参与者得分的平均值为75分

(2)估计得分在65,95上的人数约为4093人.

【分析】

【详解】（1）由题意得0.0040.0320.034a0.01101，解得a0.02，

因为50,60,60,70,70,80,80,90,90,100上的频率分别为0.04,0.32,0.34,0.2,0.1，

所以样本的平均值为550.04650.32750.34850.2950.175，

估计抽取的100位参与者得分的平均值为75分；

（2）取75，则XN75,100，可得标准差10，

P65X95PX2，

PX0.6827,P2X20.9545，

1

PX20.68270.95450.8186，

2

P65X950.8186，

估计得分在65,95上的人数约为50000.81864093人.

【题型05：指定区间的概率】

20．在一次数学适应性考试中，高三年级某班的数学成绩X服从正态分布N95,2，且P(80X95)0.4，

则PX110的值为（）

A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4

【答案】A

【详解】因为X服从正态分布N95,2，且P(80X95)0.4，

则P(95X110)0.4，

则PX1100.5P(95X110)0.50.40.1.

故选：A

21．某校高三学生一次数学考试(满分150分，及格90分)的成绩X近似服从正态分布N(78,²)，若该校

共有1000名高三学生参加考试，且P66X780.28，则估计该校这次数学考试的及格人数为（）

A．140B．220C．280D．440

【答案】B

【详解】由于正态分布关于均值对称，

可得：P(X66)P(X90).

因为P(66X78)0.28，且P(X78)0.5，

所以P(X78)P(X66)P(66X78)，

代入已知值：得0.5P(X66)0.28，

解得：P(X66)0.50.280.22.

所以P(X90)P(X66)0.22.

总学生数为1000人，

及格人数为：1000P(X90)10000.22220.

故选：B

22．设随机变量X服从正态分布N0,1.已知部分小概率值和相应的临界值如下表：

2.7063.8415.0246.6357.87910.828

PX20.10.050.0250.010.0050.001

若实数m满足P(mX3)0.025，则（）

A．2.706m23.841B．3.841m25.024

C．5.024m26.635D．6.635m27.879

【答案】B

【详解】由于XN0,1，则X221(自由度为1的卡方分布)，即PX2，

P(mX3)表示X落在区间m,3的概率，由于X是连续型随机变量，该概率表示为P(X3)P(Xm)，

1

若m为负数，则P(mX3)P(0X3)P0X310.99730.025，

2

所以，m为非负实数，

所以P(mX3)P(m2X29)P(X2m2)P(X29)0.025，

根据卡方分布表，P(X27.879)0.005，P(X210.828)0.001，

由于9介于7.879和10.828之间，故P(X29)0.005(略小于)，则P(X2m2)0.0250.0050.03，

表格中P(X25.024)0.025，P(X23.841)0.05，因此0.03对应的m2介于3.841和5.024之间.

故答案为：B

23．（多选）已知随机变量XN8,4，若PX6a,P8X10b，则（）

1

A．PX10aB．abC．E2X115D．D2X214

2

【答案】ABC

【详解】因为随机变量XN8,4，所以PX10PX6a，故A正确；

1

abPX6P(8X10)PX10P(8X10)PX8，故B正确；

2

因为随机变量XN8,4，所以EX8,DX4，

则E2X12EX128115，故C正确；

又D2X24DX16，故D错误.

故选：ABC.

24．（多选）某地区高三男生的“50米跑”测试成绩(单位：s)服从正态分布N8,2，且P70.2．从

该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个成绩，其中成绩在7,9间的个数记为X，则（）

A．P790.8B．EX1.8

C．EE5XD．PX10.9

【答案】BD

【详解】由正态分布的对称性可知：P≤7P90.2，

故P7910.220.6，故A错误；

XB3,0.6，故EX30.61.8，故B正确；

E8，E5X5EX51.89，故EE5X，故C错误；

003

因为XB3,0.6，所以PX0C30.60.40.064，

故PX110.0640.9360.9，故D正确．

故选：BD.

25．已知某随机变量X服从正态分布X~N2,2，且P2X60.4，则PX6，

PX2X2

14

【答案】0.1/0.8/

105

【详解】由题可知PX2PX20.5，又P2X60.4，则PX60.1.

由对称性可知PX20.1，则P2X20.50.10.4，

P2X2

所以PX2X20.8.

PX2

故答案为：0.1，0.8

【题型06：根据正态曲线的对称性求参数】

26．已知随机变量X~N1,2，且P(X2)P(X2a2)，则(ax1)5展开式中各项系数之和为（）

A．32B．64C．32D．64

【答案】A

22a2

【详解】因为PX2PX2a2，所以1，解得a3，

2

52n

设3x1a0a1xa2xanx，

5

则当x1时，a0a1a2an3132，

故选：A.

27．已知随机变量X~N10,2,PX8PXm7，则m（）

A．5B．4C．6D．3

【答案】A

【详解】由题意可知，正态曲线关于x10对称，

因为PX8PXm7，

8m7

所以10，解得m5．

2

故选：A．

19

28．已知随机变量N1,2，P1Pa，则(0xa)的最小值为（）

xax

165

A．B．5C．3D．

33

【答案】A

【详解】因为随机变量N1,2，所以正态分布的曲线的对称轴为1.

1a

又因为P1Pa，所以1，解得a3.

2

1911913x9x13x9x16

当0x3时，x3x10102，

x3x3x3x3x3x3x3x3

3x9x31916

当且仅当，即x时等号成立，故(0xa)的最小值为.

x3x4xax3

故选：A.

2

29．若随机变量XN4,，且PxaPx2b，则a2b2有（）

6464

A．最大值B．最小值

55

8585

C．最大值D．最小值

55

【答案】B

【详解】由随机变量XN4,2，且PxaPx2b，得a2b8，即a82b，

16646416

则a2b2(82b)2b25b232b645(b)2，当且仅当b时取等号，

5555

64

所以a2b2有有最小值，无最大值.

5

故选：B

30．若随机变量X~N1,2,2P(X0)P(X2)m，则m．

2

【答案】

3

m

【详解】由XN(1,2)，2P(X0)m，得P(X0)P(X2)；

2

所以P(0X2)1P(X0)P(X2)1m，

1m

所以P(X2)0.5，又P(X2)m，

2

1m2

所以0.5m，解得m.

23

2

故答案为：

3

【题型07：正态分布与其他分布的结合】

31．某工厂生产一批零件，其直径X满足正态分布XN10,0.25（单位：mm）.

(1)现随机抽取15个零件进行检测，认为直径在8.5,11.5之内的产品为合格品，若样品中有次品则可以认定

生产过程中存在问题.求上述事件发生的概率，并说明这一标准的合理性.（已