2026年高二数学寒假自学课（人教B版）专题08 排列组合11大题型（原卷版）

专题08排列组合11大题型内容导航串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺举一反三：核心考点能举一反三，能力提升复习提升：真题感知+提升专练，全面突破知识点1：排列的定义及排列数1.排列的定义:一般地,从个不同元素中取出个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.2.排列数:从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的排列数,用符号表示.3排列数公式:,并且.从形式上看排列数等于从开始的个连续自然数相乘.全排列:特别地,个不同的元素全部取出的一个排列,叫做个元素的一个全排列.的阶乘:正整数1到的连乘积,叫做的阶乘,用!表示.规定:,知识点2：组合的定义及组合数组合的定义:一般地,从个不同元素中取出个元素作为一组,叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.组合数：从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的组合数,用符号表示.组合数公式：,这里,并且.规定.组合数的性质:（1）;（2）知识点3：排列数的应用1.没有限制条件的排列问题：对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制,分清元素和位置即可.2.有限制条件的排列问题：分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法.3.相邻问题：采用捆绑法；不相邻问题：采用插空法4.定序问题：可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列.5.有限制条件的组合问题：①直接法：“特殊元素优先选取”的原则；②间接法：先不考虑限制条件计算选法种数,然后排除不满足条件的选法6.平均分组问题：一般先分堆，再除以.7.不平均分组问题：先分堆，其中有组个数一样，再除以8.相同元素的“分配”问题：“隔板法”：将个相同的元素分成份,每份至少一个元素,可以用块隔板，插入个元素排成一排的个空隙中，【题型01两个计数原理的应用】1．甲、乙、丙去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则听讲座的种数为（

）A．7 B．12 C．81 D．642．如图，某设备内部从a到b的电路包含三个元件A，B，C，现该设备从a到b的电路工作不正常（断路），那么该设备三个元件A，B，C的工作状态（通路/断路）共有n种不同情况，则n为（

）A．4 B．5 C．6 D．73．在全球高铁技术竞争中，中国站到了前沿.全国政协委员、中国铁道科学研究院集团有限公司首席研究员赵红卫近日透露，全球最快的高铁列车CR450正在加紧试验，预计将在一年后投入商业运营.小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张，则小张的购票方案种数为（

）A．14 B．19 C．90 D．2004．用0，1，2，3，4可组成无重复数字的三位奇数的个数为（

）A．48 B．36 C．24 D．185．2025的正因数的个数为个.（用数字作答）6．如图，某植物园的参观路径形如三叶草，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有种．【题型02排列数、组合数的化简与证明】7．计算（

）A．252 B．126 C．84 D．638．（多选）下列选项正确的有（

）A． B．C． D．9．（多选）已知，且，则（

）A． B．C． D．10．计算：．11．（1）证明：，其中，；（2）化简：，其中．12．（1）计算:;（2）.【题型03排列组、组合数的方程及不等式】13．不等式的解集为（

）A． B． C． D．14．已知，则15．已知组合数，则关于的不等式的解集为．16．解关于x的方程：(1)；(2)．17．解下列方程.(1)若，求.(2)(3).【题型04相邻问题和不相邻问题】18．某学校组织学生体检，高二年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队的不同安排方案共有（

）A．240种 B．120种 C．188种 D．156种19．某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（

）A．24种 B．36种 C．72种 D．144种20．某市为弘扬科学精神，激励青少年投身科技事业，特别策划了一场“致敬科技先锋”的主题活动.活动期间，需将A，B，C，D，E五位功勋人物的画像自左至右排成一行展示，且要求A与B的画像不相邻，E的画像只能排在两端，则满足条件的排法种数为（

）A．16 B．20 C．24 D．2621．7个人站成一排照相，其中甲乙两人须相邻，甲丙两人不能相邻，则共有种不同安排方式.22．某校8名学生（高一1人，高二3人，高三4人）在数学竞赛中获奖．8人站成一排合影留念，同年级的同学不相邻的站法有种．【题型05定序问题】23．在一次交流活动中，有4名男同学（包含甲）和3名女同学共7名同学排成一行，则男同学甲的右侧（可不相邻）没有其他男同学的排法种数为（

）A．468 B．540 C．720 D．126024．6名同学相约去游乐场游玩，进场时按顺序验票，则甲、乙、丙按顺序进场的不同情况有种;进场后他们选定了3个游玩项目，每人都只玩1个项目，且每个项目都有人玩，则A项目恰有2个人游玩的不同分配方法有种.(请用数字作答)25．甲乙丙丁等二十人排队，并从左至右依次编号1～20．甲乙丙丁所对应的编号为a，b，c，d．则满足c＞b＞a＞d的概率为．26．自然对数也称为欧拉数，它是数学上最重要的常数之一，的近似值约为，若用欧拉数的其中位数字设置一个位数的密码，则不同的密码有（

）个A． B． C． D．27．将3面红旗、4面蓝旗、2面黄旗依次悬挂在旗杆上，问：可以组成多少种不同的标志？【题型06多面手问题】28．某出版社的名工人中，有人只会排版，人只会印刷，还有人既会排版又会印刷，现从人中选人排版，人印刷，有（

）种不同的选法.A． B． C． D．29．“赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一，登舟比赛的划手分为划左桨和划右桨.某训练小组有6名划手，其中有2名只会划左桨，2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨.现从这6名划手中选派4名参加比赛，其中2名划左桨，2名划右桨，则不同的选派方法共有（

）A．15种 B．18种 C．19种 D．36种30．已知某射箭场馆共需要6名志愿者，其中3名会说韩语，3名会说日语．目前可供选择的志愿者中有4人只会韩语，5人只会日语，另外还有1人既会韩语又会日语，则不同的选人方案共有种．（用数字作答）．31．有名演员，其中人会唱歌，人会跳舞，现要表演一个人唱歌人伴舞的节目，则不同的选派方法共有种（写出具体数字结果）．32．某旅行社有导游人，其中有人会英语，有人会日语。现在需要选名英语导游和名日语导游，完成一项导游任务，则不同的选择方法为.【题型07涂色问题】33．如图，为了出黑板报，某班级为黑板四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有（

）A．24种 B．48种 C．72种 D．84种34．如图，一个环形的花坛被分成了编号为A、B、C、D的四个区域，现有4种不同的种子，要求同一区域种植同一种种子，且相邻区域种植的种子不同，则共有（

）种不同的种植方法．A．36 B．60 C．84 D．12035．用四种颜色给下图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，共有多少种不同的涂法（

）

A．72 B．96 C．120 D．14436．重庆九宫格火锅，是重庆火锅独特的烹饪方式.九宫格下面是相通的，实现了“底同火不同，汤通油不通”它把火锅分为三个层次，不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度，其锅具抽象成数学形状如图（同一类格子形状相同）：“中间格“火力旺盛，不宜久煮，适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物；“十字格”火力稍弱，但火力均匀，适合煮食，长时间加热以锁住食材原香；“四角格”属文火，火力温和，适合焖菜，让食物软糯入味．现有6种不同食物（足够量），其中1种适合放入中间格，3种适合放入十字格，2种适合放入四角格．现将九宫格全部放入食物，且每格只放一种，若同时可以吃到这六种食物（不考虑位置），则有多少种不同放法（）A． B． C． D．37．（多选）将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择，则下列说法正确的是（

）ABECDA．若每块区域任意涂上一种颜色，则共有种不同涂法B．若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则共有24种不同涂法C．若4种不同颜色全部用上，B，D同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法D．若4种不同颜色全部用上，B，D不同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法38．用四种不同颜色给图中的4个区域涂色，如果每一个区域涂一种颜色，相邻两区域不能涂同一种颜色，共有种不同的涂色方法.【题型08分组分配问题】39．兰大附中计划开展“学长经验分享会”，要将6名优秀毕业生分配到高一、高二、高三3个年级进行经验宣讲，要求每个年级至少有1名，至多有3名，则不同的分配方案共有（

）A．360种 B．450种 C．540种 D．900种40．从5名学生中选择4人对A，B两种不同算法的加密文件进行破译，每人选择一种文件，每个文件2人破译，则不同的人员安排共有（）A．40种 B．48种 C．30种 D．72种41．甲、乙、丙三位教师指导六名学生a、b、c、d、e、f参加全国高中数学联赛，若每位教师至少指导一名学生，其中甲指导三名学生，则共有（

）种分配方案A．90 B．120 C．150 D．24042．现安排5名师范生到某高中（三年制）学校实习，每个年级至少安排1名，每名师范生都安排了实习，且只安排到一个年级实习，则所有的安排种数为（

）A．138 B．240 C．300 D．15043．某校园诗歌朗诵大赛共有5名同学进入决赛，决赛要求这5名同学均从《琵琶行》《蜀道难》《离骚》中选择1篇进行参赛，且这3篇诗歌中每篇均有同学选择，则这5名同学诗歌篇目的选择情况共有（

）A．150种 B．240种 C．180种 D．120种44．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.年月日分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.年，中国空间站将正式进入运营阶段假设空间站要安排甲、乙等名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有

(用数字作答)【题型09隔板法】45．方程的正整数解的个数为（

）A．15 B．35 C．40 D．2046．某学校利用周末时间组织学生进行志愿者服务，高二年级共6个班，其中（1）班有2个志愿者队长，本次志愿者服务一共20个名额，志愿者队长必须参加且不占名额，若每个班至少有3人参加，则共有（

）种分配方法.A．90 B．60 C．126 D．12047．把个相同的小球放入个不同的盒子中，每个盒子最多放个小球，则不同方法有种（用数字作答）.48．展开式共项.49．将8个相同的小球放入5个编号为1，2，3，4，5的盒子，每个盒子都不空的方法数为，恰有一个空盒子的方法数为．50．（1）求方程的正整数解的个数；（2）求方程的正整数解的个数.【题型10数字排列问题】51．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是，为纪念祖冲之在圆周率上的成就，把称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．某数学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的位数字进行随机排列，整数部分不变，那么可以得到大于的不同数字有（

）A．个 B．个 C．个 D．个52．一个密码有9位，由4个自然数、3个“”、1个“”和1个“”组成，其中与不相邻，和不相邻，数字可随意排列，且数字之积为6，这样的密码有（

）.A．10200个 B．13600个 C．40800个 D．81600个53．从0，1，2，…，9这10个数字中选出3个不同的数字组成三位数，其中小于329的共有个.54．初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是任意正整数都可以表示为不超过4个自然数的平方和，例如．设，其中均为自然数，则满足条件的有序自然数数组的个数为．55．某人工智能模型在自然语言处理中，使用位置编码表示词序，每个位置编码需用一个6维向量表示．若某位置编码可以写成（a，b，c，d，e，f）的形式，其中，则在仅考虑前3个位置的情况下，恰好取2个不同值的编码共有个．56．用1，2，3三个数字的全体或部分构造四位数，但不允许有两个2相邻出现，则这样的四位数有个.（用数字作答）【题型11排列组合其他综合问题】57．设有编号为1，2，3，4的四个球和编号为1，2，3，4的四个盒子，现将这四个球放入这四个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的种数为．58．某单位安排甲、乙、丙、丁4人在国庆7天假期值班，要求每天只有1人值班，甲连续值班3天，乙连续值班2天，丙、丁各值班1天，则不同的值班安排方法种数为（

）A．28 B．24 C．20 D．1659．学校的食堂菜品丰富，让人垂涎欲滴.新年伊始，学校为学生们准备了免费汤圆，但为了避免浪费，每人每次至少取1颗，最多取3颗，最多取5次.已知小张一共取了10颗汤圆，那么他取汤圆的方式有种.60．将3名男生和3名女生排成一排，若从左边第一个学生开始依次往右数，无论数到几人，男生人数都大于或等于女生人数，则有种不同的排法．（结果用数值表示）61．已知集合.若九位数满足，且，，，如212323212，则称这个九位数为“九曲正弦数”，则共有个“九曲正弦数”.一、单选题1．某人计划去四川南江旅游，打算从光雾山、米仓山、十八月潭、元顶山、诺水河这5个景点中选3个景点去游玩，则不同的选择方法种数为（

）A．60 B．20 C．12 D．102．如图所示，在A，B间有四个焊接点1，2，3，4，若某焊接点脱落，则此处断路，则焊接点脱落导致电路不通的情况的种数为（

）A．11 B．13 C．15 D．173．已知，则（

）A．7 B．21 C．35 D．424．有学员甲、乙、丙、丁、戊参加某培训，现要分配到三个不同的项目组：项目A需1人，项目B和C各需要2人.分配方案数为，甲和乙被分配到同一项目的概率为，则的值分别为（

）A． B． C． D．5．第二十七届哈尔滨冰雪大世界主塔名为“冰灯启梦”．景观以雪花托举的“山”字为意象，是对冰雪童话世界的诗意呼应，更是借山之坚韧与巍峨，隐喻生态与发展共生共荣的永恒力量．冰雪大世界现招募志愿者，从哈三中的8名志愿者中任意选出3名，分别负责语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙、丙3人不能负责语言服务工作，则不同的选法种数共有（

）A．102种 B．105种 C．210种 D．288种6．给如图所示的六块区域，，，，，涂色，有四种不同的颜色可供选择（不一定每种颜色都要使用），要求相邻区域涂不同颜色，则不同的涂色方法种数是（

）

A．192 B．168 C．224 D．208二、多选题7．为弘扬我国古代的“六艺”文化，某中学计划开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门校本课程，每月一门，连续开设六个月，则下列说法正确的是（

）A．若学生甲和乙各自从中任选2门，则他们共有225种不同的选法B．若课程“乐”排在“书”前面，则课程共有240种排法C．若课程“射”“御”排在不相邻两个月，则课程共有480种排法D．若课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，则课程共有504种排法8．2025年重庆市“心之向往，渝跑渝爱”主题马拉松赛事设置了全程马拉松、半程马拉松、健康跑和亲子跑四个项目．在渝大学生踊跃参加志愿服务，现有甲、乙等