2. 2 全称量词与存在量词

2.2

全称量词与存在量词明确目标发展素养1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义及全称量词命题与存在量词命题的意义．2.掌握全称量词命题与存在量词命题真假性的判定，能正确地对含有一个量词的命题进行否定.1.通过含量词的命题的否定，培养逻辑推理素养．2.借助全称量词命题与存在量词命题的应用，提升数学运算素养.知识点一全称量词与存在量词(一)教材梳理填空1．全称量词命题与全称量词在给定集合中，断言

都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题．在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“___”表示，读作“对任意的”．所有元素[微思考]怎样判断一个命题是全称量词命题？提示：判断一个命题是否为全称量词命题，一是看该命题是否含有全称量词；二是看该命题是否为省去全称量词的命题，如果是，我们可以把全称量词补充出来看是否讲得通．2．存在量词命题与存在量词在给定集合中，断言

具有一种性质的命题叫作存在量词命题．在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“___”表示，读作“存在”．某些元素[微思考]全称量词命题与存在量词命题有什么区别？提示：全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全部”．存在量词命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、部分”．(二)基本知能小试1．判断正误(1)“所有的质数都是奇数”是全称量词命题．

(

)(2)“有些”“某个”等短语不是存在量词．

(

)(3)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．

(

)√×√2．(多选)下列语句是全称量词命题的是

(

)A．任何一个实数乘零都等于零B．自然数都是正整数C．高二(1)班绝大多数同学是团员D．对任意实数x，都有x2≥0答案：ABD3．下列语句是存在量词命题的是

(

)A．一次函数的图象是一条直线B．正方体都是长方体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在实数大于或等于3答案：D4．下列语句是全称量词命题且是真命题的是

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)A．任意x∈R，|x|>0B．任意x∈Q，x2∈QC．存在x∈Z，x2>1D．任意x，y∈R，x2＋y2>0答案：B知识点二全称量词命题与存在量词命题的否定(一)教材梳理填空(1)对于全称量词命题p：∀x∈M，x具有性质p(x)，通常把它的否定表示为：_____________________．(2)对于存在量词命题p：∃x∈M，x具有性质p(x)，通常把它的否定表示为：_______________________．∃x∈M，x不具有性质p(x)∀x∈M，x不具有性质p(x)(二)基本知能小试1．判断正误(1)命题p与它的否定真假性相反．

(

)(2)命题“∀x∈R,3x2－2x＋1>0”的否定是∃x∈R，3x2－2x＋1>0. (

)(3)“被7整除的整数是奇数”的否定是“被7整除的整数不是奇数”．(

)√×√2．已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则其否定是

(

)A．∃x∈R，sinx≥1B．∀x∈R，sinx≥1C．∃x∈R，sinx＞1D．∀x∈R，sinx＞1答案：C3．命题“任意一个x∈R，都有x2－2x＋4≤0”的否定是__________________．答案：存在一个x∈R，使得x2－2x＋4＞0题型一全称量词命题与存在量词命题

【学透用活】[典例1]指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)任何数的0次方都等于1；(3)∀x∈N,2x＋1是奇数；[解]

(1)可以改为所有的凸多边形的外角和都等于360°，故为全称量词命题，为真命题．(2)含有全称量词“任何”，故是全称量词命题，为假命题．(3)是全称量词命题．因为∀x∈N,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．[方法技巧]1．判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路(1)判命题：判断该语句是否为命题．(2)看量词：看命题中是否含有量词或隐含量词，判断量词或隐含量词是全称量词还是存在量词．(3)下结论：含有全称量词的命题为全称量词命题，含有存在量词的命题为存在量词命题．2．全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．(2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x，使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题．

【对点练清】1．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题．(1)所有的合数都是偶数；(2)有一个实数x，使x2＋x＋1＝0；(3)存在x∈R，x2＋1≥1；(4)正方形都是平行四边形.答案：(1)全称量词命题(2)存在量词命题(3)存在量词命题(4)全称量词命题2．判断下列命题的真假．(1)任意两个面积相等的三角形一定相似；(2)∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；(4)∀x∈N，x2>0.解：(1)因为面积相等的三角形不一定相似，故它是假命题．(2)因为当x2＋y2＝0时，x＝y＝0，所以不存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0，故它是假命题．(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．(4)因为0∈N,02＝0，所以它是假命题．题型二含有一个量词的命题的否定

【学透用活】[典例2]写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：∀x，y∈N，x－y∈N；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.[解]

(1)p的否定为∃x，y∈N，x－y∉N，真命题，因为当x＝2，y＝4时，x－y＝－2∉N.(2)q的否定为至少存在一个正方形不是矩形，假命题．(3)s的否定为∀x∈R，x3＋1≠0，假命题，因为x＝－1时，x3＋1＝0.[方法技巧]含有一个量词的命题的否定的方法(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．

【对点练清】1．命题“∀x∈R，∃n∈N＋，使得n≥x2”的否定形式是

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)A．∀x∈R，∃n∈N＋，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N＋，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N＋，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N＋，使得n＜x2解析：由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题，全称量词命题的否定形式是存在量词命题，所以“∀x∈R，∃n∈N＋，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N＋，使得n＜x2”．答案：D

2．判断下列命题的真假，并写出它们的否定．(1)所有自然数的平方是正数；(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；(3)有些质数是奇数；(4)所有能被5整除的整数都是奇数．解：(1)假命题．有些自然数的平方不是正数．(2)假命题．存在实数x不是方程5x－12＝0的根．(3)真命题．所有的质数都不是奇数．(4)假命题．存在一个能被5整除的整数不是奇数．题型三全称量词命题与存在量词命题的应用

【学透用活】[典例3]对于任意实数x，函数y＝x2＋4x－1的函数值恒大于实数m，求m的取值范围．[解]

令y＝x2＋4x－1，x∈R，则y＝(x＋2)2－5，因为∀x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，所以只要m<－5即可．所以所求m的取值范围是{m|m<－5}．[方法技巧]求解含有量词的命题中参数范围的策略(1)对于全称量词命题“∀x∈M，a＞y(或a＜y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a＞ymax(或a＜ymin)．(2)对于存在量词命题“∃x∈M，a＞y(或a＜y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a＞ymin(或a＜ymax)．

【对点练清】(1)已知命题p(x)：x＋1>x为真命题，求x的取值范围．(2)存在x∈R，使x2＋x＋a＝0成立，求实数a的取值范围．(3)已知集合A＝{x|x>2}，B＝{x|x>a}，若∀a∈A，都有a∈B成立，求实数a的取值范围．解：(1)因为x＋1>x，所以1>0(此式恒成立)，所以x∈R.【课堂思维激活】一、综合性——强调融会贯通1．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题．并用符号“∀”(“∀”表示“任意”)或“∃”(“∃”表示“存在”)表示下面的命题，再判断真假：(1)实数的平方大于或等于0；(2)存在一对实数(x，y)，使2x－y＋1＜0成立；(3)勾股定理．解：(1)是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”．改写后命题为:∀x∈R，x2≥0.它是真命题．(2)是存在量词命题．改写后命题为:∃(x，y)，x∈R，y∈R，2x－y＋1＜0.它是真命题．如x＝0，y＝2时，2x－y＋1＝0－2＋1＝－1＜0成立．(3)是全称量词命题，所有直角三角形都满足勾股定理．改写后命题为:∀Rt