新高考数学概率统计分章节特训专题08古典概型专题练习(原卷版+解析)

专题8古典概型

例I.从3,5,7,9中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值大于3的概率是（）

A.B.-D

23-5

例2.2020年在新冠疫情基本控制的情况下，学生开始陆续复学，为了广大师生的安全，学校防控仍是重

中之重，除了全员要戴口罩，勤洗手，多通风外，为了避免聚舆交又，学校采取“网格化”管理，为了规

范各个网格单元的管理，需要大量“网格员”.已知甲、乙两人需要周一至周五作为网格员，两人商议一个

人值周一、周三、周五；另一人值周二、周四.但两人都不想多值一天，约定如下规则来决定：拿一枚一

元的硬币，甲选正面，乙选反面，每掷一次硬币为一局比赛，完胜三局的人值周二、周四两天.但由于生

产工艺的问题，此硬币不均匀，出现正面的概率转，问甲值两天的概率为（）

16163

C「■—D.

A.I27243

例3.调查某高中1000名学生的肥胖情况,得到的数据如表:

偏瘦正常肥胖

女生（人）100163y

男生（人）150187Z

若y..l94,Z..193,则肥胖学生中男生不少于女生的概率为（)

5

BD.

7-Ic714

例4.某省在新的高考改革方案中规定：每位考生的高考成绩是按照3（语文、数学、英语）+2（物理、历

史）选1+4（化学、生物、地理、政治）选2的模式设置的，则某考生选择全理科的概率是（）

3

A.BD.一

5

例5.雅言传承文明，经典浸润人生，某市举办“中华经典诵写讲大赛”，大赛分为四类：“诵读中国”经典

诵读大赛、“诗教中国”诗词讲解大赛、“笔黑中国”汉字书写大赛、“印记中国”学生蟹刻大赛.某班级二

人参赛，则三人参加项目均不相同的概率为（）

7

A.i0i

例6.《易•系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化、阴阳五行术数之源，其中河图的

排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圆点表示阳数,

阳数皆为奇数，黑圆点表示阴数，阴数皆为偶数.若从这10个数中任取2个数，则取出的2个数中至少有

1个偶数的概率为（）

2

D.

9

例7.古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，将这五种不同属

性的物质任意排成一列，则排列中金、木、火不能相邻的概率为（）

D.

43

例8.如图，在一个圆上取4,B,C,D,E,尸6个点，将圆六等分，现从这6个点中随机取3

个点，则所取的3个点构成的三角形不是锐角三角形的概率为（）

例9.2019年8月1日，中国科学院正式公布中国科学院院士增选初步候选人名单，总计181位.整

体来看，中国科学院（包含其在全国各地的研究所）、清华大学、北京大学、复旦大学、浙江大学

候选人人数位列前五.若从上述5所大学中任选2所大学进行问卷调查，则中国科学院被选中的

概率为（）

3231

A.-B.-C.-D.-

5542

例10.传说是三国时期的蜀国丞相诸葛亮（字孔明）发明了一种可以升空的灯笼，后人称之为孔明灯，用

作军事信号灯，借此在夜里调兵遣将.在一次游戏中，A,C,D,£5位小朋友同时分别升起了1

盏孔明灯，若任意两盏孔明灯不同时熄灭，那么先熄灭的两盏孔明灯是A,B,C三位小朋友的孔明灯的

概率为（）

A.-B.-C.—D.-

53102

例II.六个人排队，甲乙不能排一起，丙必须排在前两位的概或为（）

A.—B.-C.—D.-

606604

例12.2013年5月，中国数学家张益唐破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了挛生素数猜想的

弱化形势，挛生素数猜想：对所有的自然数&，存在无穷多个素数对（p,〃+2Q,Z=1的情况就是挛生素数

猜想.例如3和5,5和7,11和13,…都是孳生素数，在所有小于20的自然数中随机取两个数，则取到

的两个数是挛生素数的概率是（）

A.—B.—C.-D.-

951457

例13.从集合4={-1,-3,2,4}中随机选取一个数记为从集合8={-5,1,4}中随机选取一个数记

为b,则（）

A.ab>0的概率是—

B.〃+〃..()的概率是上

2

C.直线），=奴+力不经过第三象限的概率是士

D.。口+/四>1的概率是』

12

例14.若A,8为互斥事件，P（A）,P（B）分别表示事件A,8发生的概率，则下列说法正确的是（

）

A.P（A）+P（B）<1B.P(A)+P(B)„1C.P(4j6)=l

D.户(Ap|8)=0

例15.先后抛掷两颗均匀的骰子，第一次出现的点数记为“，第二次出现的点数记为/，，则下列说法正确

的是（）

A.a+6=7时概率为’B.〃+〃=6时概率为1

65

C.&.幼时的概率为』D.〃+〃是3的倍数的概率是！

63

例16.一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的白球，编号为7,8,

9,10,现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（）

A.取出的最大号码X服从超几何分布

B.取出的黑球个数y服从超几何分布

C.取出2个白球的概率为，

14

D.若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为工

14

例17.高三（1）班甲、乙两同学报名参加A,B,。三所高校的自主招生考试，因为三所高校考试时间

相同，所以甲、乙只能随机报考其中一所高校，则甲、乙两人报考不同高校的概率是—.

例18.设O为坐标原点，从集合口，2,3,4,5,6,7,8,9｝中任取两个不同的元素*、y,组成A、B

两点的坐标（x,y）、（y,x）,则/AO8=2arctan1的概率为___.

3

例19.小王同学有4本不同的数学书，3本不同的物理书和3本不同的化学书，从中任取2本，则这2本

书属于不同学科的概率是（结果用分数表示）.

例20.盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个大小、形状、材质均相同的小球，从随机任

意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是一.（结果用最简分数表示）

例21.一个袋中装有同样大小、质量的10个球，其中2个红色、3个蓝色、5个黑色，经过充分混合后，

若从此袋中任意取出4个球，则三种颜色的球均取到的概率为一.

例22.某校要从该校环境保护兴趣协会的20名成员中，选取6人组队参加市电视台组织的环保知识竞赛.

（1）若采用抽签法选取参赛队伍成员，请写出步骤；

（2）若选出的人员中有2名女生4名男生，在这6名学生中任选两人担任正副队长，求所选两人恰好有1

名女生的概率.

专题8古典概型

例I.从3,5,7,9中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值大于3的概率是()

A.-B.-C.-D.-

2346

【解析】解：根据题意，从3,5,7,9中任取2个不同的数,有(3,5),(3,7),(3,9),(5,7),(5,9),(7,9),

共6种取法，

其中取出的2个数之差的绝对值大于3的情况有(3,7),(3,9),(5,9),共有3种，

则取出的2个数之差的绝对值大于3的概率尸，

62

故选：A.

例2.2020年在新冠疫情基本控制的情况下，学生开始陆续复学，为了广大师生的安全，学校防控仍是重

中之重，除了全员要戴口罩，勤洗手，多通风外，为了避免聚集交叉，学校采取“网格化”管理，为了规

范各个网格单元的管理，需要大量''网格员”.已知甲、乙两人需要周一至周五作为网格员，两人商议一个

人值周一、周三、周五；另一人值周二、周四.但两人都不想多值一天，约定如下规则来决定：拿一枚一

元的硬币，甲选正面，乙选反面，每掷一次硬币为一局比赛，先胜三局的人值周二、周四两天.但由于生

产工艺的问题，此硬币不均匀，出现正面的概率为2,问甲值两天的概率为()

3

A.2B.丝C.3D.9

38127243

【解析】解：根据题意，若最后甲值两天，则最后一局一定为甲胜，

若比赛3局，则甲需连胜3局，

若比赛4局，甲前3局胜2局输1局，

若比赛5局，则前4局甲胜2局输2局，

综上，甲值两天的概率为：

故选：B.

例3.调查某高中1(X)0名学生的肥胖情况，得到的数据如表:

偏瘦正常肥胖

女生(人)10()163y

男生(人)150187Z

若y..194,z..193,则肥胖学生中男生不少于女生的概率为()

5135

A.-B.-C.-D.—

72714

【解析】解：由题意知y+z=400,y..l94,Z..193,

则满足条件的()，,z)有14组，分别为：

(194,206),(195,205),(196,204),(197,203),(198,202),(199,201),(200,200),

(201,199),(202,198),(203,197),(204,196),(205,195),(206,194),(207,193),

设事件A表示“肥胖学生中男生不少于女牛.”，即为z,

则事件A包含的基本事件有7组，分别为：

(194,206),(195,205),(196,204),(197,203),(198.202),(199,201),(200.200),

.••肥胖学生中男生不少于女生的概率为P(A)

142

故选：B.

例4.某省在新的高考改革方案中规定：每位考生的高考成绩是按照3(语文、数学、英语)+2(物理、历

史)选1+4(化学、生物、地理、政治)选2的模式设置的，则某考生选择全理科的概率是()

A.—B.-C.—D.—

1051012

【解析】解：在2(物理，历史)选1+4(化学、生物、地理、政治)选2中，

选物理的有6种,分别为：

物化生、物化地、物化政、物生地、物生政、物地政，

同时，选历史的也有6种，共计12种，

其中选择全理科的有1种，

某考生选择全理科的概率是.

12

故选：D.

例5.雅言传承文明，经典浸润人生，某市举办“中华经典诵写讲大赛”，大赛分为四类：“诵读中国”经典

诵读大赛、“诗教中国”诗词讲解大赛、“笔墨中国”汉字书写大赛、“印记中国”学生篆刻大赛.某班级三

人参赛，则三人参加项目均不相同的概率为()

A.-B.-C.-D.—

49827

【解析】解:某市举办“中华经典诵写讲大赛”,大赛分为四类:

“由读中国”经典诵读大赛、“诗教中国”诗词讲解大赛、“笔墨中国”汉字书写大赛、“印记中国”学生篆

刻大赛.

某班级三人参赛，基本事件总数八=43=64（种），

三人参加项目均不相同的基本事件数为^=4x3x2=24（种），

/.三人参加项目均不相同的概率为：

tn243

P=—=—=一•

〃648

故选：C.

例6.《易•系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化、阴阳五行术数之源，其中河图的

排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圆点表示阳数，

阳数皆为奇数，黑圆点表示阴数，阴数皆为偶数.若从这10个数中任取2个数，则取出的2个数中至少有

【解析】解：从这10个数中任取2个数,

基本事件总数〃

取出的2个数中至少有1个是偶数包含的基本事件个数，〃=+C；,

.••取出的2个数中至少有1个是偶数的概率:

49

故选：A.

例7.占典著作《连山易》中记载了金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，将这五种不同属

性的物质任意排成一列，则排列中金、木、火不能相邻的概率为（）

火

【解析】解：由题意五种不同属性的物质任意排成•列，

共有〃=6=120种排法，

排列中金、木、火不能相邻的排法共有切12种排法，

ioI

故所求事件的概率为：P=—=-.

12010

故选：A.

例8.如图，在一个圆上取A,B,C,D,E,尸6个点，将圆六等分，现从这6个点中随机取3个点,

则所取的3个点构成的三角形不是锐角三角形的概率为（）

【解析】解：从A,B,C,D,E，尸6个点中随机选取3个点，共有C：种可能,

若这3个点构成锐角三角形，则这3个点不相邻，共有2种可能，

则构成的三角形是锐角三角形的概率为之="!"，

C：10

所取的3个点构成的三角形不是锐角三角形的概率为尸=1-'=2.

1010

故选；B.

例9.2019年8月1日，中国科学院正式公布中国科学院院士增选初步候选人名单，总计181位.整体来

看，中国科学院(包含其在全国各地的研究所)、清华大学、北京大学、复旦大学、浙江大学候选人人数位

列前五.若从上述5所大学中任选2所大学进行问卷调查，则中国科学院被选中的概率为()

393I

A.二B.-C.-D.-

5542

【解析】解：将中国科学院、清华大学、北京大学、复旦大学、浙江大学依次记为1,2,3,4,5,

则从5所大学中任选2所，不同的选法有：

{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},[2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5},共10

种，

其中中国科学院被选中的选法有：

{I,2},{1,3},{1,4},{1,5},共4种，

.•・中国科学院被选中的概率为：?=-=-.

105

故选：B.

例10.传说是三国时期的蜀国丞相诸葛亮(字孔明)发明了一种可以升空的灯笼，后人称之为孔明灯，用

作军事信号灯，借此在夜里调兵遣将.在一次游戏中，A,B,C,D,E5位小朋友同时分别升起了I

盏孔明灯，若任意两盏孔明灯不同时熄灭，那么先熄灭的两盏孔明灯是A,3,C三位小朋友的孔明灯的

概率为()

A.-B.-C.—D.-

53102

【解析】解:选熄灭的两盏孔明灯的情况有10种，分别为:

(AB),(AC),(AD),(AE),(aC).(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(DE),共10种，

满足题意的有3种，分别为：(A4),(AC),(4,C),

二先熄灭的两盏孔明灯是A,B,C三位小朋友的孔明灯的概率为

10

故选：C.

例II.六个人排队，甲乙不能排一起，丙必须排在前两位的概率为()

A.LB.1C.UD.1

606604

【解析】解：由题意得排队基本事件总数〃=4=720,

满足“丙”必须排在前两位，“甲乙”必须分开所包含的基本事件个数：

丙排在第一位,有不母=72(种)排法,

丙排在第二位,有M-C；片C；&=84（种）排法,

:.满足条件的事件总数m=72+8^=156（种），

二满足甲乙不能排一起，丙必须排在前两位的概率:

-m=156,=—13

n72060

故选：C.

例12.2013年5月，中国数学家张益唐破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了挛生素数猜想的

弱化形势，挛生素数猜想：对所有的自然数及，存在无穷多个素数对（p,〃+2Q,/=1的情况就是挛生素数

猜想.例如3和5,5和7,11和13,…都是李生素数，在所有小于20的自然数中随机取两个数，则取到

的两个数是挛生素数的概率是（）

A.—B.—C.-D.-

951457

【解析】解：从小于20的自然数中随机抽取两个数，共有〃=C=190（种）情况，

2个数是挛生素数的情况有:（3,5）,（5,7）,（11,13）,（17,19）,共4种，

二取到的两个数是挛生素数的概率为：P=—=—.

19095

故选：A.

例13.从集合A={-1,-3,2,4}中随机选取一个数记为a,从集合8={-5,1,4}中随机选取一个数记

为人则（）

A.岫＞0的概率是工

a+A.O的概率是上

直线），=依+6不经过第三象限的概率是:

Ina+］的概率是工

12

【解析】解：由题意可得(。,力所有可能的取法有12种，

(-1,-5),(—1,1)»(-1,4),(-3,-5),(—3,1),(-3,4),

(2,-5),(2,1),(2,4),(4,-5)，(4,1),(4,4).

其中满足必＞0的取法有(-1,-5),(-3,-5),(2,1),(2,4),(4.1),(4.4),共6种,

则＞0的概率P=—=—»故A正确；

122

其中满足。+尻.0的取法有(-1,1),(-1,4),(-3J),(2,1),⑵4),(4,1),(4,4),共7种,

则a+h.O的概率。=工，故5错误；

12

因为直线)，=冰+匕不经过第三象限，所以a<0,b..O,

所有满足直线y=ar+〃不经过第三象限的取法有(-1,4),(-3,1),(-3,4),共4种，

则直线y=or+b不经过第三象限的概率。爆=：,故。正确：

因为Ina+bib=Inab>1,所以G>0,b>0,ab>e,

所有满足/〃4+/，力>1的取法有(2,4),(4,1),(4,4),共3种，

3|

故加4+打〃>1的概率P=±=-，故。错误.

124

故选：AC，

例14.若A,8为互斥事件，P(A),P(B)分别表示事件A,8发生的概率，则下列说法正确的是(

)

A.P(A)+P(B)<1B.P(A)+P(B)„1C.B)=1

D.P(Ap|B)=O

【解析】解：・「A，8为互斥事件，P(A),P(B)分别表示事件4,8发生的概率，

：.P(A)+P(B)„1,0(4。8)=0,

故A错误，8正确，C错误，O正确.

故选：BD.

例15.先后抛掷两颗均匀的骰子，第一次出现的点数记为a,第二次出现的点数记为则下列说法正确

的是()

A.〃+。=7时概率为，B.〃+〃=6时概率为工

65

C.&.沙时的概率为'D.〃+〃是3的倍数的概率是！

63

【解析】解：先后抛掷两颗均匀的骰子，第一次出现的点数记为。，第二次出现的点数记为〃，

基本事件总数〃=6x6=36,

对于4,.+。=7包含的基本事件有：

(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),共6个，

二〃+。=7时概率为：—=1,故A正确：

366

对于5，。+8=6包含的基本事件有:

(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5个,

+=6时概率为：—»故5错误；

36

对于C,a.力包含的基本事件(a力)有：

(2,1),(3,1),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2),(6,1),(6,2),(6,3),共9个，

O1

处时的概率为：-=故C错误：

364

对是3的倍数包含的基本事件有：

(1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(3,6),(4,2),(4,5),(5,1),(5,4),(6,3),(6,6),共12个,

.•“+力是3的倍数的概率是：—=1,故。正确.

363

故选：AD.

例16.一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的白球，编号为7,8,

9,10,现从中任取4个球，则下列结论中正确的是()

A.取出的最大号码X服从超几何分布

B.取出的黑球个数丫服从超几何分布

C.取出2个白球的概率为，

14

D.若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为-!■

14

【解析】解：一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1,2.3,4,5,6,还有4个同样大小的白球，编号

为7,8,9,10,现从中任取4个球，

对于A,超几何分布取出某个对象的结果数不定，

也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发牛/次的试验次数，

由此可知取出的最大号码X不服从超几何分布，故A错误；

对于8,超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生〃次的试验次数，

由此可知取出的黑球个数丫服从超儿何分布，故6正确；

对于C,取出2个白球的概率为。=筹=之，故C错误；

对于Q,若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，

则取出四个黑球的总得分最大，

二总得分最大的概率为。=弃=A,

故。正确.

Jo14

故选：BD.

例17.高三(1)班甲、乙两同学报名参加A,B,C三所高校的自主招生考试，因为三所高校考试时间

相同，所以甲、乙只能随机报考其中一所高校，则甲、乙两人报考不同高校的概率是

【解析】解：记“甲、乙两人报考不同高校”为事件〃，

甲、乙两人报考学校总的基本事件有9个，分别为：

(AA),(A8),(AO，(氏A),

(B,C),(C,A),(GC).

事件M包含的基本事件有6个，分别为：

(人功，(AC).(SA),(A,C),(CM).(C,8),

甲、乙两人报考不同高校的概率是2=9=2.

93

故答案为：

3

例18.设O为坐标原点，从集合［1,2,3,4,5,6,7,8,9｝中任取两个不同的元素尤、y,组成4、B

两点的坐标(x,>)、(y,x),则Z.AOB=2arctan1的概率为_-_.

39

【解析】解：•.•一,je｛l,2,3,4,5,6,7,8,9｝且.♦.数对(x,y)共有9x8=72个.

2

1a34

ZAOB=2arctan-,tanZ.AOB=——之一=一，cosZAOB--,

31-(|)245

又连接原点O和A(x,y),8(y,x)两点，得。4=(x,y),OB=(y,x),

则cos4CB=?”=-2「土即(2x—)，)(x—2)，)=0,即)，=2x,或),二；x,

22

\OA\\OB\x+y5..J

,满足ZAOB=2arctan-的数对有：