2026年高一数学寒假自学课（人教B版）重难点突破01 求三角函数中的ω（解析版）

重难点突破01求三角函数中的ω内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练【题型01：单调性与ω的取值范围】【题型02：图象平移与ω的取值范围】【题型03：对称性与ω的取值范围】【题型04：函数最值与ω的取值范围】【题型05：零点或方程的解与ω的取值范围】【题型06：零点、对称轴、单调性综合性问题与ω的取值范围】第二步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：与三角函数的周期性相关因为f(x)=Asin(ωx+φ)的最小正周期是T=2πω，所以ω=2π知识点2：与三角函数的对称性相关（1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为T2，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为T4，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究（2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与x轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定ω的取值.知识点3：与三角函数的单调性相关函数fx=Asin(ωx+φ)的每一“完整”单调区间的长度（即两相邻对称轴的间距）恰好等于T2反之，从函数变换的角度来看ω的大小变化决定了函数图象的横向伸缩，要使函数fx【题型01：单调性与ω的取值范围】1．已知函数，其中．若在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为函数在区间内单调递增，所以，所以，因为，所以，若在区间上单调递增，则，，解得，当时，，又，则；当k取其它值时不满足，∴的取值范围为，故选：B．2．已知函数在上单调递增，则的取值范围是.【答案】【详解】正弦函数的单调递增区间为，因为函数，，所以，要使函数在上单调递增，所以，解得，结合，故的取值范围是故答案为：.3．若函数在上单调，则实数的最大值为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】由函数在上单调可知，得，所以，所以，当时，，函数在该区间不单调，故舍去，因此只需考虑的情况，因为，所以，当时，由正弦函数性质可知，要使在上单调，则，所以即；当时，要使在上单调，则，所以即.综上，的最大值为.故选：C4．若函数在上严格减，则正实数的取值范围是【答案】【详解】设函数的最小正周期为.因为，所以.又因为函数在上严格减，所以且，，即且，，所以且，，所以当时，；当时，，所以正实数的取值范围是：.故答案为：5．已知函数（）在上单调递增，则的取值范围是.【答案】【详解】令，，解得，，所以的单调递增区间为，，因为在上单调递增，所以，解得，所以，即的取值范围是.故答案为：.6．已知函数（为正整数）在上不单调，求的最小值．【答案】3【详解】解：当函数严格增时，，整理得（）．若函数在上严格增，则（），即，整理得．当时，；①当函数严格减时，（），整理得（），若函数在上严格减，则（），即，整理得，当时，．②由于函数在上不单调，且为正整数，所以的取值为①②所表示的不等式的补集，所以的最小值为3．【题型02：图象平移与ω的取值范围】7．若函数的图象向右平移个单位长度后关于点对称，则的值为（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【详解】将函数的图象向右平移得到，将点代入得，所以，解得，又，所以，故选：B.8．将函数（）的图象向左平移4个单位长度后，所得图象与原图象重合，则（

）A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为【答案】D【详解】由题意得，则，即，．因为，则当时，取得最小值为，当时，取得最大值为．故选：D.9．已知函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题可知是该函数的周期的整数倍，即，解得，故的最小值为故选：D.10．已知函数，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若与的图象关于原点对称，则的值为（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【详解】因为将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，所以．因为与的图象关于原点对称，函数的图象关于原点对称的图象对应的函数解析式为所以，即，所以，所以，又，所以．故选：A11．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数的图象与曲线重合，则的最小值为.【答案】【详解】将的图象向左平移个单位长度后得到，又与函数的图象重合，所以，解得，又，所以的最小值为.故答案为：12．若函数的图象向左平移后，得到的函数图象与的图象重合，则的最小值为．【答案】3【详解】的图象向左平移得到,因为图象重合，所以,即,因为,所以的最小值为3.故答案为：3.【题型03：对称性与ω的取值范围】13．函数的图象关于直线对称，则的最小值为（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【详解】函数的图象关于直线对称，所以，，得，，因为，所以当时，取最小值，为，故选：A.14．若函数的图象的一个对称中心的横坐标为1，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由函数的性质知，其图象的对称中心的横坐标满足，因为点是函数图象的一个对称中心，所以，又，故当时，，所以的最小值为，故选：C．15．已知，则的最小值为（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】由，则或，即或，因为，则为正整数，可以为或，由，则或，即或，由于为正整数，则可以为或，综上所述，可以为则的最小值为2.故选：B16．已知，函数满足，且在区间上恰好存在两条对称轴，则的最大值为（

）A．2 B．5 C．8 D．11【答案】C【详解】函数的最小正周期为，则，在区间上恰好存在两条对称轴，，所以，即，解得，因为，所以点是函数图象的一个对称中心，则，得，，即，，因，则，且随k的增大而增大，当时，，此时在内有三条对称轴，不合题意，当时，，此时，其中，有两条对称轴，则的最大值为8．故选：C．17．记函数的最小正周期为，若，且函数的图象关于点对称，则当取得最小值时，．【答案】【详解】由题可得，则.因的图象关于点对称，则，则，则.结合，可知时，最小为4，则，则.故答案为：18．已知函数在区间上有定义，且其图象在区间上至少有两个对称中心，则的取值范围为.【答案】【详解】当，，若函数（）在区间上有定义，则，解得，函数的对称中心满足，，整理得，，其图象在区间上至少有两个对称中心，则在区间上至少有两解，整理得至少存在两个值使，，故至少有两个取值，所以，综上，的取值范围为.故答案为:.【题型04：函数最值与ω的取值范围】19．已知函数，其图象关于直线对称，且在上有最大值，则的最小值为（

）A．1 B．4 C．7 D．11【答案】C【详解】因为图象关于直线对称，所以，解得，因为，且在上有最大值，所以存在，使得，当，，则，解得又且，当时，满足所以的最小值为故选：C.20．已知函数，若对于，都有恒成立，则的取值不可能是（

）A． B．1 C． D．【答案】C【详解】因为函数，且，所以，则，因为，所以，当时，，，符合题意；当时，，，符合题意；当时，，∵，∴，，∴，即存在，使得，不符合题意；当时，，∵，，∴且，即，符合题意；所以的取值不可能是，故选：C21．已知函数（）在区间内有且仅有一个，使得，则的最大值为（

）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】A【详解】由题设在区间内有且仅有一个最小值，此时，故在内有且仅有一个最小值，则，所以，则的最大值为11.故选：A22．已知函数的图象过点，且在区间上恰有三个最值点，则的最大值为【答案】【详解】由函数的图象过点，得，解得，又，∴，；由，解得，又，即，整理得，当，，对应；当，，对应；当，，对应；要使在区间上有三个最值点，则当时对应的最值点应在区间内，当时对应的最值点应在区间外或在区间端点处，故有，解得，所以的最大值为.故答案为：23．已知函数在区间上恰有2个最大值点，则实数的所有取值构成的集合为【答案】【详解】因为，，所以，因为函数在区间上恰有2个最大值点，所以，因此实数的所有取值构成的集合为.故答案为：24．若函数在上的值域为，则的取值范围为.【答案】【详解】由，则，的值域为，则，解得.故答案为：.25．已知函数在区间内既有最大值也有最小值，则的取值范围是.【答案】【详解】当时，，因为在区间内既有最大值，又有最小值，所以或，解得或.故答案为：.【题型05：零点或方程的解与ω的取值范围】26．已知函数为偶函数，在区间上单调递减，且在该区间内没有零点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为函数为偶函数，所以，由，得，因为函数在单调递减，且在该区间上没有零点，所以，解得，所以的取值范围为，故选：B27．若函数有个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】当时，由题意得单调递增，令，解得，此时具有唯一零点，又因为有个根，所以当时，有个零点，因为，所以，所以有，解得，即.故选：B．28．若关于的方程在上有且仅有3个解，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为，所以，解得或，即或，，则在上一定有一个解是，有以下两种情况：①在上有且仅有2个异于的解，即且，，解得，②在上有且仅有3个解，且其中有一个是，即，且或或，无解.综上，.故选：D29．已知函数，在上恰有两个零点，则的取值范围是．【答案】【详解】令，解得，因为，所以，因为在上恰有两个零点，所以，解得，所以的取值范围是．故答案为：．30．已知函数在区间上恰好有3个零点，则的取值范围是．【答案】【详解】当时，，由题意函数在区间上恰好有3个零点，则根据余弦函数的图象与性质知，结合解得，即的取值范围是，故答案为：．31．已知函数，其中．(1)当时，求函数的单调递减区间；(2)若关于的方程在区间上恰有两个不同解，求的取值范围．【答案】(1)(2)．【分析】【详解】（1）当时，，由，得，∴函数的单调递减区间为．（2）由，得，当时，．∵有两个解，∴，∴，即的取值范围为．32．已知函数.(1)求的单调递增区间；(2)求在区间上的最大值和最小值；(3)若在区间上有且仅有一个解，求的取值范围.【答案】(1)，(2)最大值为，最小值为(3)【分析】【详解】（1）令，，解得，，故的单调递增区间为，；（2）当时，，则在区间上的最大值为，最小值为；（3）令，即，当时，，即方程在区间上有且仅有一个解，即，解得，即的取值范围为.【题型06：零点、对称轴、单调性综合性问题与ω的取值范围】33．已知函数在区间上单调递增，且在区间内至少有一个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】当时，，且时，，由函数在区间上单调递增，故，解得，即.当时，，由函数在区间内至少有一个零点，则，解得.综上所述，，则的取值范围是.故选：B.34．已知函数在区间上单调递增且存在零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】设函数的最小正周期为，因为在区间上单调递增，所以，解得，所以．令，则当时，．则在区间上单调递增且存在零点等价于在上单调递增且存在零点，所以，解得，又，当时，得；时，得，其他值，均不合要求，所以或，所以的取值范围是.故选：C.35．已知函数，若在区间内有且仅有3个零点和2条对称轴，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以，由于函数在区间上有且仅有3个零点和2条对称轴，根据函数的图像：

所以，整理得：．故选：A．36．设是函数与函数的图象连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意得，，作出两个函数的图象，如图：为连续三个交点（不妨设在轴下方），为的中点，由对称性，得是以为顶角的等腰三角形，，由，整理得，解得，则，即，所以，因为为锐角三角形，则，所以，解得.故选：A.37．将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上单调递减，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，再将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象.当时，，因为函数在上单调递减，所以，，解得，，当时，；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意.故实数的取值范围为.故选：B.38．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象，若在区间上恰有两个零点，且在上单调递减，则的取值范围为．【答案】【详解】依题意可得，当时，，因为在上恰有两个零点，所以，解得．令，得，令，得在上单调递减，所以，所以又，所以．综上所述，，即的取值范围是．故答案为：1．已知在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意可知，，又，则，因为在上单调递增，则，解得，所以，故的取值范围是．故选：B2．已知函数，当时，若方程有4个实数根，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由得，，又，则，如图，要使恰有4个实数根，结合图象需满足，解得．故选：D.

3．设，已知在上有10个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】令，则或，或，即或，，，则当，时，零点从小到大依次为，，,解得，即的取值范围为．故选：C4．已知函数，为的最小正周期，且对任意的恒成立，若函数在区间