2026年高一数学寒假自学课（人教B版）专题06 统计概率9大题型（解析版）

专题06统计概率9大题型内容导航串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺举一反三：核心考点能举一反三，能力提升复习提升：真题感知+提升专练，全面突破知识点1：分层随机抽样中有关计算的方法:（1）抽样比=；（2）总体中某两层的个体数之比=样本中这两层抽取的个体数之比.知识点2：频率直方图的应用（1）由于频率分布直方图中的纵坐标为,因此涉及纵坐标中含参数的问题,应根据频率之和为1列式求解；（2）根据频率分布直方图(表)求样本数据在某一区间内的频率就是样本数据在该区间内的各组频率的和,而求解相应的频数还要根据频率乘以样本容量；（3）若所求区间包含频率分布直方图中非分组的端点,可以利用“比例法”求解.（4）用频率分布直方图估计总体数字特征的方法:①众数:最高小长方形底边中点的横坐标；②中位数:平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；③平均数:频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和.知识点3：平均数、标准差、方差性质（1）若一组数据的平均数为,方差为,那么的平均数是,方差为（2）分层方差计算总体方差若一个总体划分为两层,通过按样本量比例分配分层随机抽样,各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为记总的样本平均数为样本方差为,则知识点4：百分位数（1）几个数的百分位数计算方式：第一步，从小排到大；第二步，计算i=p%×n；第三不，如果i不是整数，向上取整到k，取第k个数据；如果i是整数，取第i个数和第i+1个数的平均值。（2）频率分布直方图的百分位数计算方式根据频率分布直方图计算样本数据的百分位数,首先要理解频率分布直方图中各组数据频率的计算方法,其次估计百分位数在哪一组,再应用方程的思想方法及比例法,设出百分位数,利用比例列方程求解.知识点5：互斥、对立、独立事件的辨别设事件与所含的结果组成的集合分别为.①若事件件与互斥,则集合;②若事件件与对立,则集合且.事件的独立性的判断:①定义法:事件相互独立⇔；②由事件本身的性质直接判定两个事件的发生是否相互影响；知识点6：相互独立对任意两个事件与,如果成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.（1）如果与相互独立,则与，与，与也相互独立.（2）与相互独立事件有关的概率的计算公式如下表:事件相互独立概率计算公式同时发生同时不发生至少有一个不发生至少有一个发生恰有一个发生【题型01分层抽样】1．在孟德尔两对相对性状的豌豆杂交实验中，子二代豌豆性状表现型及理论比例为：黄色圆粒：黄色皱粒：绿色圆粒：绿色皱粒．现研究人员计划从大量该代豌豆种子中，随机抽取n粒豌豆作为样本进行研究．若希望样本中黄色皱粒豌豆的理论（期望）数量为30粒，则样本量n应为（

）A．160 B．190 C．220 D．250【答案】A【详解】根据题意得，黄色皱粒豌豆所占总体比例为，所以样本量．故选：A．2．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取容量为300的样本，则从高二年级抽取的学生人数为（

）A．60 B．90 C．120 D．150【答案】B【详解】由题意：从高二年级抽取的学生人数为：.故选：B3．五一期间，各大商场为促进消费，通过发送小礼品的方式吸引顾客.已知某商场五一发放了300件小礼品，其中老年人、中年人、青年人分别有150人、50人、100人，若按年龄的分层抽样从这300名顾客中随机抽取12人收集他们的意见，则被抽取的老年人比青年人多（

）A．4人 B．3人 C．2人 D．1人【答案】C【详解】由题意知，老年人、中年人、青年人分别有150人、50人、100人，可得老年人、中年人、青年人的比例分别为，故抽取的12人中老年人抽取了人，青年人抽取了人，则老年人比青年人多2人.故选：C.4．某社区有男性居民1600名，女性居民1400名，该社区卫生室为了解该社区居民身体健康状况，对该社区所有居民按性别采用分层抽样的方法进行抽样调查，抽取了一个容量为150的样本，则样本中男性居民的人数为.【答案】80【详解】由题意知，抽样比为，所以样本中男性居民的人数为.故答案为：805．某公司青年、中年、老年员工的人数之比为，从中抽取100名作为样本，若每人被抽中的概率是，则该公司青年员工的人数为．【答案】【详解】设公司的人数为，因为抽取100名作为样本，若每人被抽中的概率是，可得，解得人，又业务公司青年、中年、老年员工的人数之比为，所以该公司青年员工的人数为人.故答案为：.6．在哈尔滨市2024年第一次市模考试中，三所学校高三年级的参考人数分别为、.现按比例分层抽样的方法从三个学校高三年级中抽取样本，经计算得三所学校高三年级数学成绩的样本平均数分别为，则三所学校学生数学成绩的总平均数约为（

）A．101 B．100 C．99 D．98【答案】B【详解】由题意得可供参考的总人数为人，故三所学校学生数学成绩的总平均数约为，故选：B【题型02平均数、中位数、众数、方差在具体数据中的应用】7．已知样本，，，，的平均数为12，样本，，，的平均数为16，则样本，，，，，，，，的平均数为（

）A．13.5 B．14 C．14.5 D．15【答案】D【详解】由题知：样本，，，，的平均数为12，故++++；样本，，，的平均数为16，故+++；所以样本，，，，，，，，的平均数为：++++++++，故选:D.8．把某班五名学生在一周内阅读数学竞赛书籍的时间1，2，3，4，5（单位：小时）作为一组样本数据，现增加统计两位学生，他们一周内阅读数学竞赛书籍的时间分别为正整数m、n（单位：小时），与原有样本数据一起构成一组新样本数据，与原组样本数据比较，下列说法正确的是（

）A．若，则方差不变 B．若极差不变，则C．若，则中位数变大 D．若平均数不变，则【答案】D【详解】原数据的平均数为：，原数据的方差为：.对A：若，则满足，此时所得新数据的平均数为：，方差为：，方差变小，故A错误；对B：若极差不变，由可能是，，……，不一定要，故B错误；对C：若，如，则新数据的中位数是3，因为原数据的中位数也是3，没变，故C错误；对D：新数据的平均数为：，由，故D正确.故选：D.9．有一组样本数据，，，，的平均数为3，方差为3，则，，，，，3的方差为（

）A．3 B． C． D．【答案】C【详解】由题可知：，所以.故选：C10．（多选）甲、乙两名同学近五次数学测试成绩数据分别为：甲乙则（

）A．甲组数据的极差大于乙组数据的极差 B．甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数C．甲组数据的众数等于乙组数据的中位数 D．甲乙两组数据混合后的方差大于乙组数据的方差【答案】ABC【详解】根据数据可知，甲组数据的极差为，乙组数据的极差为，故甲组数据的极差大于乙组数据的极差，故A正确；甲组数据的平均数为：，乙组数据的平均数为：，故B正确；甲组数据的众数为72，乙组数据的中位数为72，故C正确；甲组数据的方差为：，乙组数据的方差为：，甲乙两组数据混合后的平均数为，故甲乙两组数据混合后的方差为，小于乙组数据的方差，故D错误.故选：ABC.11．（多选）一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，收集到一组数据（单位：），其样本容量为，经计算得，该样本的平均数为，方差为.检查时发现在收集这些数据时，遗漏了一个数据，并将一个数据错记为，将另一个数据错记为.对遗漏和错误的数据进行更正后，重新计算得新样本的平均数为，方差为，则（

）A． B． C． D．【答案】AC【详解】设个数据分别为，其中被漏掉的数据为，且数据被错记为，被错记为，则由已知可得，，即，，则改正后的平均数，方差，故选：AC.12．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】用表示试验的射击情况，其中表示第1次射击的情况，表示第2次射击的情况，以1表示击中，0表示没中，则样本空间.由题意得，，，，则，，且.即ABC都正确；又，..故D不正确.故选：D.【题型03百分位数在具体数据中的应用】13．临近高考，小强同学把高三6次大考的数学成绩整理如下：122，96，108，130，126，117，则这组数据的第80百分位数是（）A．130 B．128 C．126 D．124【答案】C【详解】这组数据从小到大排列为：96，108，117，122，126，130，，故这组数据的第80百分位数是126.故选：C.14．一个数学小组的数学成绩为89，99，91，92，93，94，95，96，则这组数据的下四分位数为（

）A．90 B． C．94.5 D．94【答案】B【详解】将这组数据从小到大排列为：89，91，92，93，94，95，96，99，下四分位数即为第25百分位数，，所以第25百分位数为第2和第3个数据的平均数，即为．故选：B．15．样本数据14，25，32，46，60的第40百分位数为．【答案】【详解】因为，所以样本数据14，25，32，46，60的第40百分位数为.故答案为：.16．一组数据，，，，，，，，，，，的上四分位数即第百分位数为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】数据，，，，，，，，，，，，按从小到大的顺序排列得：，，，，，，，，，，，，因为，所以第百分位数是第，个数的平均数，为．故选：D.17．已知100个数据的上四分位数是93，则下列说法正确的是（

）A．将这100个数据从小到大排列后，第25个数据是93B．将这100个数据从小到大排列后，第75个数据是93C．将这100个数据从小到大排列后，第25个数据和第26个数据的平均数是93D．将这100个数据从小到大排列后，第75个数据和第76个数据的平均数是93【答案】D【详解】上四分位数即分位数，根据百分数计算，，所以第75个数据和第76个数据的平均数为分位数.故选：D.18．树人中学举行主题为“弘扬传统文化，传承中华美德”的演讲比赛，现随机抽选10名参赛选手，获得他们出场顺序的数据，将这组数据从小到大排序为，，，，，，，，，，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第40百分位数是(

)A．9 B．10 C．11 D．12【答案】A【详解】由题可得极差是，该组数据的中位数是极差的，列出等式，解得，因为，故该组数据的第40百分位数为从小到大第4个数据和第5个数据的平均值，即，所以该组数据的第40百分位数是.故选：A.【题型04频率分布直方图的相关计算】19．在一次科普知识竞赛中共有200名同学参赛，经过评判，这200名参赛者的得分都在之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（

）A．可求得 B．这200名参赛者得分的中位数为64C．得分在之间的频率为 D．得分在之间的共有80人【答案】B【详解】选项A：由题意得，解得，故A正确；选项B：，，所以中位数位于内，且设为x，则，解得，故B错误；选项C：得分在之间的频率为，故C正确；选项D：得分在之间的频率为，所以得分在之间的共有人，故D正确.故选：B20．某大品牌家电公司从销售员工中随机抽出50名调查销售情况，销售额都在区间（单位：百万元）内，将其分成5组：，，，，，并整理得到如右的频率分布直方图，据此估计销售员工销售额的平均值为（百万元），（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.【答案】14.52【详解】由题设，可得，所以平均值为.故答案为：21．某风景区千峰叠翠，万派环宋，山势雄奇，胜境遍布，其山脊高出4000米的山峰就有58座迂回缭绕于高山雾海之中，忽隐忽现，如苍龙遨游九天，其峰群之集中，规模之宏大，造型之奇异和离城市之近尚属罕见，是得天独厚的自然风景区．现为更好地提升旅游品质，该风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图，求的值；(2)估计这100名游客对景区满意度评分的中位数和平均数（每组样本平均数用矩形底边中点的横坐标代替，得数保留两位小数）．【答案】(1)(2)中位数约为86.67．平均数为84.【分析】【详解】（1）由图知：，可得（2）因为所以中位数在区间内，令其为m，则，解得．所以满意度评分的中位数约为86.67．由频率分布直方图可知，平均数为．22．某大学为了解学生对两家餐厅的满意度情况，从在两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行满意指数打分（满意指数是指学生对餐厅满意度情况的打分，分数设置为2-10分．根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中餐厅满意指数在中有30人．

(1)求餐厅满意指数频率分布直方图中a，b的值；(2)利用样本估计总体的思想，估计餐厅满意指数和餐厅满意指数的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；【答案】(1)，；(2)答案见解析.【分析】【详解】（1）由题设，餐厅满意指数在中有30人，则，由，可得.（2）的平均数，所以的方差为，的平均数，所以的方差为.23．某校高一年级期中考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，则成绩在内的学生有几个？(2)学校计划对本次测试数学成绩优异的学生进行表彰，且表彰人数不超过，根据样本数据，试估计获得表彰的学生的最低分数.【答案】(1)(2)分【分析】【详解】（1）由题意有：，解得，采用分层抽样在内的学生人数有：，所以成绩在内的学生有2个；（2）因为成绩在内的频率为：，所以最低分数为：，所以估计获得表彰的学生的最低分数为分.24．为推广“康养胜地、人文兴义”旅游品牌，黔西南州文旅局在某旅行社举办“最美黔西南”知识竞赛，从参与活动的人员中随机抽取100名，根据他们的竞赛成绩（成绩均在内），按，，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求的值；(2)根据直方图估计本次竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(3)若将本次竞赛分数从高到低排序，分数位于前20%的人员，文旅局对其发放马岭河峡谷的免费门票，求获得免费门票的人员的最低分数.【答案】(1)0.012(2)75.4(3)86【分析】【详解】（1），解得：.（2）频率分别依次为：：0.08，：0.24，：0.36，：0.2，：0.12，平均分为，所以平均分为75.4.（3），所以最低分数为第20名分数，频数为12，频数为20，所以第20名在这一组中，，所以最低分为86.【题型05用样本平均数和样本方差估算总体】25．（多选）某次学科测试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10.则（

）

参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为;.记样本平均数为，样本方差为，.A．B．估计该年级学生成绩的上四分位数为85C．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为86.50【答案】BC【详解】对于A，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1，则，解得，A错误；对于B，上四分位数为第分位数，前三个矩形的面积之和为，前四个矩形的面积之和为，设该年级学生成绩的上四分位数，即第分位数为，则，根据百分位数的定义可得，B正确；对于D，估计成绩在80分以上的同学的成绩的平均数为分，D错误，对于C，估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为，C正确.故选：BC26．甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成绩为76分，方差为96分；乙班的平均成绩为85分，方差为60分．那么甲、乙两班全部90名学生的方差是分．【答案】【详解】设甲班50人的成绩为，则其平均成绩，设乙班40人的成绩为，则其平均成绩，则甲乙两班全部90名学生的平均成绩为；设甲班50人成绩的方差为，所以则，设乙班40人成绩的方差为，则，设甲乙两班全部90人成绩的方差为，则故答案为：.27．甲､乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人.甲班的平均成绩为72分，方差为90；乙班的平均成绩为90分，方差为60.那么甲､乙两班全部90名学生的平均成绩是分，方差是.【答案】【详解】甲､乙两班全部名学生的平均成绩为分，方差为.故答案为：；28．为了了解某工厂生产的产品情况，从该工厂生产的产品中随机抽取了一个容量为400的样本，测量它们的尺寸（单位：mm），并将数据分为七组，其频率分布直方图如图所示．

(1)求值；(2)根据频率分布直方图，求400件样本中尺寸在内的样本数；(3)已知利用分层随机抽样从第一、二组共抽出十二个数据，从第一组，第二组抽出的数据的标准差分别为1和，平均值分别为93和94.5，求抽出数据的均值和方差．参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：；记总的样本平均数为，样本方差为，则．【答案】(1)；(2)72件；(3)均值、方差分别为94、.【分析】【详解】（1）由图知，可得；（2）由图知400件样本中尺寸在内的样本数为件；（3）由分层抽样的等比例性质，第一、二组抽取数据分别为4、8个，所以抽出数据的均值为，抽出数据的方差为.29．为了解学生的身体素质，学校随机地抽取了名学生作为样本，将他们每周的运动时长（单位：小时）分成，，，，，六组．根据他们的运动时长绘制了如图所示的频率分布直方图，在样本中，运动时长在内的学生比在内的学生少10人．(1)求，的值；(2)求样本学生运动时长的中位数；(3)若在，内的样本学生运动时长的平均数分别为10和14，方差分别为5和1，求在内的样本学生运动时长的方差．【答案】(1)，(2)11.2(3)7.25【分析】【详解】（1）运动时长在内的频率：，运动时长在内的频率：，运动时长在内的频率：，运动时长在内的频率：，运动时长在内的频率：，由频率之和为1知，运动时长在内的频率为：，故，运动时长在内的学生人数为：，运动时长在内的学生人数为：，依题意，，解得.综上，，.（2）前两组和的频率之和为，前三组，，的频率之和为，故样本学生运动时长的中位数出现在第三组，设为，则，解得.综上，样本学生运动时长的中位数为11.2.（3）在内的样本数为，在内的样本数为，所以在内的样本学生运动时长的平均数为，根据公式，在内的样本学生运动时长的方差为：.【题型06事件关系的判断】30．一个袋子中有大小和质地相同的个球，其中有个红色球（标号为和），个绿色球（标号为和），从袋中不放回地依次随机摸出个球．设事件“第一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”，则下列说法不正确的是（）A． B．C． D．【答案】A【详解】由事件“第一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，则，A选项错误；事件“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，两事件为互斥事件，则，且，B选项正确，C选项正确；由“两球颜色相同”，“两球颜色不同”，根据对立事件定义可知，D选项正确；故选：A.31．（多选）某家商场举行抽奖活动，小聪､小明两人共同前去抽奖，设事件“两人都中奖”；“两人都没中奖”；“恰有一人中奖”；“至少一人没中奖”.下列关系正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【详解】对于A，事件为“至多一人中奖”，即“至少一人没中奖”，所以，故A正确；对于B，事件表示两人都中奖且恰有一人中奖，没有这样的事件，所以，故B错误；对于C，至少一人没中奖包括恰有一人中奖和两人都没中奖两种情况，所以，故C正确；对于D，由C选项可知，所以，故D正确.故选：ACD.32．同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件，“向上的面至少有一枚是正面”为事件，则有()A． B． C． D．与之间没有关系【答案】C【详解】由同时抛掷两枚硬币，基本事件的空间为{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，其中事件{（正，正）}，事件{（正，正），（正，反），（反，正）}，所以.故选：C.33．掷两颗骰子，观察掷得的点数.设A：至少有一个是偶数，B：至少有一个是奇数，C：两个点数的乘积是偶数，D：两个点数的和是奇数.讨论：(1)A与B的关系；(2)A与C的关系；(3)A、B、D之间的关系；(4)C与D的关系【答案】(1)不互斥；(2)；(3)；(4)，但两者不等.【分析】【详解】（1）事件A发生，B不一定发生；B发生，A不一定发生，则A、B互不包含，显然A、B有可能同时发生，所以它们不互斥.（2）两个点数的乘积是偶数当且仅当其中至少一个是偶数，即.（3）两个点数的和是奇数当且仅当一个是奇数一个是偶数，即.（4）若两个点数的和是奇数，肯定是一奇一偶，则其乘积一定是偶数；反之，乘积是偶数说明两个点数中至少一个是偶数，则，由（2），得，但两者不等.34．连续抛掷两枚骰子，观察落地时的点数.记事件{两次出现的点数相同}，事件{两次出现的点数之和为4}，事件{两次出现的点数之差的绝对值为4}，事件{两次出现的点数之和为6}.(1)用样本点表示事件，；(2)若事件，则事件E与已知事件是什么运算关系？【答案】(1)，(2)【分析】【详解】（1）由题意得，事件，事件，事件，事件.则，；（2）由（1）知，事件，，因为，所以.【题型07互斥与对立】35．不透明的口袋内装有红色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为蓝色”互斥而不对立的个数为（

）①2张卡片都不是蓝色；

②2张卡片恰有1张是蓝色；③2张卡片至少有1张是蓝色；

④2张卡片至多一张为蓝色；A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【详解】事件①：2张都不是蓝色与“2张都为蓝色”不能同时发生（互斥），但还有“恰有1张蓝色”的情况，不是对立；事件②：2张恰有1张蓝色与“2张都为蓝色”不能同时发生（互斥），但还有“都不是蓝色”的情况，不是对立；事件③：2张至少有1张蓝色：包含“恰有1张蓝色”和“都为蓝色”，与“都为蓝色”能同时发生，不互斥；事件④：2张至多1张蓝色：包含“都不是蓝色”和“恰有1张蓝色”，与“都为蓝色”既互斥又对立.所以与“2张卡片都为蓝色”互斥而不对立的是①②，个数为2.故选：C.36．先后抛掷质地均匀的硬币3次，得到以下结论，其中错误的是（）A．可以从不同的观察角度写出不同的样本空间B．事件“至少2次正面朝上”与事件“至少1次反面朝上”是互斥事件C．事件“至少1次正面朝上”与事件“3次反面朝上”是对立事件D．事件“1次正面朝上2次反面朝上”发生的概率是【答案】B【详解】不同的观察角度所得到的样本空间也可以不同，A正确；考虑样本空间中一共含有：正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反反正，反正反，反反反共8个样本点时，正正反可以使事件“至少2次正面朝上”与事件“至少1次反面朝上”能同时发生，不是互斥事件，故B不正确；事件“至少1次正面朝上”与事件“3次反面朝上”是对立事件，故C正确；事件“1次正面朝上2次反面朝上”，发生的概率是，故D正确．故选：B.37．某小组有4名男同学和3名女同学，从中任选3名同学去参加座谈会，则与事件“3名同学全是女生”是对立事件的是（

）A．恰有1名同学是女生 B．恰有两名同学是女生C．至少有1名同学是男生 D．至少有1名同学是女生【答案】C【详解】由对立事件的定义知，与事件“3名同学全是女生”是对立事件的是事件“3名同学全至少有1名男生”.故选：C38．（多选）先后抛掷两枚质地均匀的骰子，则（）A．事件“第一枚朝上的点数大于2”的概率是B．事件“第一枚朝上的点数为偶数”与“第二枚朝上的点数为奇数”是相互独立的C．事件“至少一枚朝上的点数为奇数”与“两枚朝上的点数都是偶数”是对立的D．事件“至多一枚朝上的点数为奇数”与“两枚朝上的点数都是偶数”是互斥的【答案】BC【详解】事件“第一枚朝上的点数大于2”的概率是，A不正确；事件“第一枚朝上的点数为偶数”与事件“第二枚朝上的点数为奇数”互不影响，B正确；事件“两枚朝上的点数都是偶数”的对立事件为“两枚朝上的点数都是奇数或一个奇数一个偶数”，C正确；事件“至多一枚朝上的点数为奇数”与“两枚朝上的点数都是偶数”可以同时发生，D不正确．故选：BC39．两个篮球运动员甲和乙罚球时命中概率分别为0.8和0.9，两人各罚球一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中的概率是．【答案】/【详解】记事件为“甲和乙至少一人命中”，则其对立事件为“甲和乙两人都未命中”，由相互独立事件同时发生的概率乘法公式得，，所以．故答案为：．40．某校高二年级举行数学竞赛，已知甲､乙两名同学获奖的概率分别为和，且两人是否获奖相互独立.求：(1)两人都获奖的概率；(2)两人中恰有一人获奖的概率；(3)两人中至少有一人获奖的概率.【答案】(1)(2)(3)【分析】【详解】（1）设甲，乙获奖分别为事件A，B.则，两人都获奖为事件，则；（2）两人中恰有一人获奖为事件，则；（3）两人至少有一人获奖的对立事件为，则两人至少有一人获奖的概率为：.【题型08事件独立性的判断】41．为了更直观地探究事件之间的关系，可用图形的面积大小来表示某事件所包含样本点的数目，即，其中为事件对应区域的面积，表示样本空间.下图中，事件A与事件B相互独立的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】C【详解】①：由题图知：为的子集，所以，而为的真子集，则，所以，故，不正确；②：由图得，则，则有，所以图中事件A，B相互独立，正确；③：设图中的小的长方形的面积为，由，，所以，则题图中事件A，B相互独立，正确，故选：C42．一枚质地均匀的正四面体的骰子如图所示，其四个面分别标有数字1，2，3，4.现抛掷该骰子两次，并记录骰子着地一面的数字.设事件A表示“第一次记录的数字为偶数”，事件B表示“第一次记录的数字为奇数”，事件C表示“两次记录的数字之和为5”，事件D表示“两次记录的数字之和为6”，则（

）

A．C与D是对立事件B．A与D是互斥事件C．B与D是相互独立事件D．A与C是相互独立事件【答案】D【详解】由题意知，，事件有，共4个，，事件有，共3个，.易知与是互斥事件，但不是对立事件，与可同时发生，不是互斥事件，，与不是相互独立事件，，与是相互独立事件.故选：D.43．（多选）从装有除颜色外完全相同的2个红球（编号为1，2）和2个白球（编号为3，4）的口袋中，依次不放回地随机摸出2个球，表示事件“恰有1个白球”，表示事件“恰有2个白球”，表示事件“取到了编号为1的小球”，D表示事件“第一次取到的球编号为奇数”，E表示事件“两次取到的球编号和为偶数”，则下列结论正确的是（

）A．事件，互为对立事件 B．C．事件，为相互独立事件 D．事件，为相互独立事件【答案】BCD【详解】对于A，，{恰有或个白球}全部情况，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，，则，故C正确；对于D，，，，则，故D正确.故选：BCD.44．（多选）有四张同样大小的卡片，上面标有数字，如图所示.从这四张卡片中随机抽取一张，设事件：“抽到的卡片上有数字”，，则下列事件相互独立的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【详解】四张卡片的内容：卡片1：包含数字1,2,3；卡片2：包含数字1；卡片3：包含数字2；卡片4：包含数字3.含有数字1的卡片：卡片1、卡片2，∴含有数字2的卡片：卡片1、卡片3，∴含有数字3的卡片：卡片1、卡片4，∴同时含有数字1和2的卡片：卡片1，∴同时含有数字1和3的卡片：卡片1，∴同时含有数字2和3的卡片：卡片1，∴同时含有数字1和2和3的卡片：卡片1，∴∵，∴事件相互独立，A选项正确；∵，∴事件相互独立，B选项正确；∵，∴事件相互独立，C选项正确；∵，∴事件不相互独立，D选项不正确；故选：ABC.45．设，同时抛掷两枚质地均匀的骰子一次，事件表示“第一枚骰子向上的点数为奇数”，事件表示“两枚骰子向上的点数之和为”，若事件与事件相互独立，则的一个可取值为.【答案】3（或5、7、9、11其中之一）【详解】设第一次的点数为，第二次的点数为，则两次抛掷两枚质地均匀的骰子的结果记为，其中，共种基本事件，故由题知，，当时，的基本事件为，的基本事件为，故，，，事件与事件不独立；当时，的基本事件为，的基本事件为，故，，，事件与事件相互独立；当时，的基本事件为，的基本事件为，故，，事件与事件不独立；当时，的基本事件为，的基本事件为，故，，事件与事件相互独立；当时，的基本事件为，的基本事件为，故，，事件与事件不独立；当时，的基本事件为，的基本事件为，故，，事件与事件相互独立；当时，的基本事件为，的基本事件为，故，，事件与事件不独立；当时，的基本事件为，的基本事件为，故，，，事件与事件相互独立；当时，的基本事件为，的基本事件为，故，，，事件与事件不独立；当时，的基本事件为，的基本事件为，故，，，事件与事件相互独立；当时，的基本事件为，的基本事件为，故，，，事件与事件不独立；综上，的可能取值为故答案为：3（或5、7、9、11其中之一）46．为迎接我校校庆，社团联组织师生共同准备了书签及明信片这两种校庆纪念品，每种纪念品均分为手绘款和普通款两类．校庆当日，志愿者小玲负责在服务点发放纪念品．在做准备工作时，小玲清点了服务点已有的各类纪念品的份数，发现缺失手绘款明信片，准备向社团联申请补领，其余纪念品的份数如下表所示：书签明信片手绘款40普通款150120设每位抵达的校友可以随机抽取1份纪念品，小玲补领了手绘款明信片50张．记事件：“首位抵达的校友抽到手绘款纪念品”，事件：“首位抵达的校友没有抽到明信片”，判断事件是否独立．【答案】不独立【详解】答案：，，，，所以事件不独立．【题型09独立事件概率的计算】47．“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在南宋时期.开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜.因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎.在一次猜灯谜活动中，共有30道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了15道，乙同学猜对了10道，丙同学猜对了道.假设对每位同学而言，他们猜对每道灯谜的可能性都相等.(1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；(2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值.【答案】(1)(2)【分析】【详解】（1）设“甲猜对灯谜”为事件，“乙猜对灯谜”为事件，“任选一道灯谜，恰有一个人猜对”为事件C，由题意得，，，且事件A、B相互独立，则.所以任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为.（2）设“丙猜对灯谜”为事件D，“任选一道灯谜，甲、乙、丙三个人都没有猜对”为事件E，由题意知，甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，则其对立事件“三个人都没有猜对”的概率为，因此，解得.48．象棋是中华民族优秀的传统文化遗产，为弘扬棋类运动精神，传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，培养学生良好的心态和认真谨慎的生活观，某学校高一年级举办象棋比赛.比赛分为初赛和决赛、初赛采用线上知识能力竞赛，共有500名学生参加，从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成5组：，，，，，并整理得到如图频率分布直方图：(1)根据直方图，求的值，并估计这次知识能力竞赛的众数和中位数；(2)决赛环节学校决定从知识能力竞赛中抽出成绩最好的两个同学甲和乙进行现场棋艺比拼，比赛采取三局两胜制.若甲每局比赛获胜的概率均为，且各轮比赛结果相互独立.求乙最终获胜的概率.【答案】(1)，众数：85，

中位数：80(2)【分析】【详解】（1）由频率分布直方图，的频率为的频率为的频率为0.42，的频率为0.08，所以的频率为，可得，众数：最高矩形对应区间为，中点即为众数：85中位数：因为，由频率分布直方图知中位数为80.（2）因为乙最终获胜，比分可能是，，设乙获胜为事件A，获胜为事件，若乙获胜，则概率为，若乙获胜，则概率为，又A，B两个事件互斥，则乙最终获胜的概率为．49．两名选手进行比赛，先得2分者获胜.比赛规则如下：当比分相同时，先手方可以选择：保守策略：获胜概率为p，失败概率为激进策略：获胜概率为，但若失败则直接输掉比赛，(1)若，求甲先手选手采用最优策略时获胜的概率；(2)证明：当且时，甲先手时应选择保守策略.【答案】(1)(2)证明见解析【详解】解析

定义：：选择保守策略时先手选手获胜的概率—：选择激进策略时先手选手获胜的概率保守策略：—获胜概率p（直接获胜）失败概率（进入落后状态）在落后状态，先手选手作为后手，获胜概率为p（因为后手必须采用保守策略，获胜概率为p）所以：激进策略：—获胜概率q（直接获胜）-失败概率（直接输掉比赛）所以：（1）代入，，所以，两种策略获胜概率相同.（2）证明：当且时：我们需要证明当时.考虑函数，，当时，，即，所以，即，因此，所以应选择保守策略.50．甲、乙两人组成“监利一中队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．(1)求“监利一中队”在两轮活动中猜对3个成语的概率．(2)若某人在两轮活动中至少猜对1个成语，则该人可获得“优秀队员”称号，求“监利一中队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率．【答案】(1)(2)【分析】【详解】（1）设表示甲两轮猜对个成语的事件，表示乙两轮猜对个成语的事件．，根据独立事件的性质，可得，，设A=“两轮活动‘监利一中队’猜对3个成语”，则，且与互斥，又甲乙的作答相互独立，所以，因此，“监利一中队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是．（2）“`监利一中队’的甲、乙两人中恰有一人获得此称号”

，

所以“监利一中队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率.51．甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局甲、乙对打，丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打.假设甲、乙、丙三人打台球的水平相同，每局台球的结果相互独立.(1)求前三局中甲恰好参与了两局的概率；(2)求第局有甲参与的概率；(3)求第局是甲、乙对打的概率.【答案】(1)(2)(3)【分析】【详解】（1）分两种情况.第一种情况：甲第二局轮空，即第一局甲负，此时第三局一定有甲参与，其概率为.第二种情况：甲第三局轮空，此时第二局甲负，第一局甲胜，其概率为故所求概率为.（2）记第局有甲参与的概率为，则第局有甲参与的概率为若第局有甲参与，则第局有甲参与的概率为；若第局没有甲参与，则第局一定有甲参与，所以，即因为，所以，所以，即.（3）第局是甲、乙对打，则第局丙轮空，记第局有丙参与的概率为，则第局有丙参与的概率为.若第局有丙参与，则第局有丙参与的概率为；若第局没有丙参与，则第局一定有丙参与，所以，即.因为，所以，所以，即第局是甲、乙对打的概率为.52．有一道选择题考查了一个数学知识点，为了解甲、乙两个班学生对该知识点的掌握情况，现从甲、乙两个班各随机抽取人，甲班有人答对，乙班有人答对，用频率估计概率，且假设每个人是否答对该题目相互独立．(1)从甲班随机抽取1人，求这个人答对该题目的概率；(2)从甲、乙两班各随机抽取1人，设为答对该题目的人数，求的分布列和数学期望；(3)若甲班同学掌握这个知识点则有的概率答对该题目，乙班同学掌握这个知识点则有的概率答对该题目，两个班未掌握该知识点的同学都是从四个选项中随机选择一个．设甲班学生掌握该知识点的概率为，乙班学生掌握该知识点的概率为，试比较与的大小（结论不要求证明）．【答案】(1)(2)的分布列见解析，(3)【分析】【详解】（1）甲班随机抽取人，甲班有人答对，甲班随机抽取1人答对该题目的概率为．（2）从甲、乙两个班各随机抽取人，甲班有人答对，乙班有人答对，设甲班答对概率为，乙班答对概率为，，的可能取值为：，，，分布列为：X012P期望为：．（3）设甲班答对概率为，乙班答对概率为，则，，，解得；，解得，，．一、单选题1．已知样本数据、、、、的平均数为，方差为，则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】由平均数公式可得，可得，由方差公式可得，整理可得，即，所以，因为，所以，故.故选：D.2．某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示，已知甲得分的极差为，乙得分的平均值为，设甲、乙得分的方差分别为，，则下列结论错误的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为甲得分的极差为，所以，故A正确；又因为乙得分的平均值为，，解得，故B正确；又由甲得分的平均数为，所以甲得分的方差.乙得分的方差分别为，所以，故D正确，C不正确；故选：C.3．如图是一个古典概型的样本空间和事件，其中，，下列结论正确的是（

）A． B．事件与互斥C． D．事件与相互独立【答案】A【详解】对于A：由可得，A正确；对于B：由可知，事件与不互斥，B错误；对于C：由图知，，所以，C错误；对于D：因为，所以，D错误；故选：A.4．一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个小球，除标号外无差异.不放回地取两次，每次取出一个.事件“两次取出球的标号为1和4”，事件“第二次取出球的标号为4”，事件“两次取出球的标号之和为5”，则（

）A． B．C．事件与互斥 D．事件与相互独立【答案】D【详解】设采用不放回方式从中任意摸球两次，每次取出一个球，全部的基本事件有：，共个，事件发生包含的基本事件有：，有个，，A错误；事件发生包含的基本事件有：，有3个，，事件发生包含的基本事件：，有4个，，事件发生包含的基本事件：有个，，B错误；事件发生包含的基本事件：，有2个，事件与不互斥，C错误；由，与相互独立，D正确.故选：D十一、题5．学校分别对高一年级和高二年级开展体育水平抽样测试，测试成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图，则下面说法正确的是()A．样本中高二年级成绩的众数是85B．样本中高二年级成绩在80分以上的频率高于高一年级成绩在80分以上的频率C．样本中高二年级成绩的方差高于高一年级成绩的方差D．样本中高二年级成绩的中位数高于高一年级成绩的中位数【答案】ABD【详解】对于A，由高二年级学生成绩的频率分布直方图，高二年级学生成绩的众数位于区间[80,90]的中点横坐标，所以众数为85，故A正确；对于B，由样本中高二年级成绩在80分以上的人数的频率为(0.04＋0.015)×10＝0.55，高一年级成绩在80分以上的人数的频率为(0.022＋0.010)×10＝0.32，所以高二年级成绩在80分以上的频率高于高一年级成绩在80分以上的频率，故B正确；对于C，由频率分布直方图，可得高一学生成绩的平均数为(45×0.004＋55×0.011＋65×0.018＋75×0.035＋85×0.022＋95×0.010)×10＝74，则高一学生成绩的方差为＝(45－74)2×0.04＋(55－74)2×0.11＋(65－74)2×0.18＋(75－74)2×0.35＋(85－74)2×0.22＋(95－74)2×0.10＝159，高二学生成绩的平均数为(45×0.0025＋55×0.0025＋65×0.005＋75×0.035＋85×0.04＋95×0.015)×10＝80.25，可得高二学生成绩的方差为＝(45－80.25)2×0.025＋(55－80.25)2×0.025＋(65－80.25)2×0.05＋(75－80.25)2×0.35＋(85－80.25)2×0.4＋(95－80.25)2×0.15≈110，所以样本中高二年级成绩的方差低于高一年级成绩的方差，故C不正确；对于D，由高一学生成绩的频率分布直方图，可得其中前3个矩形的面积和为(0.004＋0.011＋0.018)×10＝0.33，前4个矩形的面积和为(0.004＋0.011＋0.018＋0.035)×10＝0.68，所以高一学生成绩的中位数位于[70,80]之间，设中位数为x1，则x1＝70＋×10≈74.86，由高二学生成绩的频率分布直方图，可得其中前4个矩形的面积和为(0.0025＋0.0025＋0.005＋0.035)×10＝0.45，前5个矩形的面积和为(0.0025＋0.0025＋0.005＋0.035＋0.04)×10＝0.85，所以高二学生成绩的中位数位于[80,90]之间，设中位数为x2，则x2＝80＋×10＝81.25，其中74.86<81.25，所以样本中高二年级成绩的中位数高于高一年级成绩的中位数，所以D正确.故选：ABD.6．一组数据，，，，的平均值为5，方差为2，极差为7，中位数为6，记，，，，的平均值为，方差为，极差为，中位数为，则（

）A． B． C． D．【答案】ACD【详解】由题意可得，，，.故选：ACD．二、多选题7．（多选）某校开展劳动教育课程，为有效推动课程实施，开展劳动知识比赛.比赛中每位选手需回答A，B，C(分别为日常生活类，生产劳动类，服务性劳动类)3道试题，回答结果相互独立.已知甲答对A，B，C3道试题的概率分别为，则（

）A．甲至少答对1题的概率为B．甲恰好答对1题的概率为C．当第二个问题是B时，甲恰好连续2题答对的概率为D．当第二个问题是C时，甲恰好连续2题答对的概率最小【答案】ABD【详解】对于选项A：因为甲3题都答错的概率为，所以甲至少答对1题的概率为，故A正确；对于选项B：甲只答对1题的概率为，故B正确；对于选项CD：当第二个问题为A时，甲恰好连续2题答对的概率为；当第二个问题为B时，甲恰好连续2题答对的概率为；当第二个问题为C时，甲恰好连续2题答对的概率为；可得，故C错误，D正确.故选：ABD.三、填空题8．某汽车4店欲通过分层随机抽样了解、、三个小区居民对新能源汽车的购买意愿．已知这三个小区的人口分别为1200人、800人、500人，若总样本量为100人，则应从小区抽取人．【答案】20【详解】4店欲通过分层随机抽样了解、、三个小区居民对新能源汽车的购买意愿．这三个小区的人口分别为1200人、800人、500人，若总样本量为100人，则应从小区抽取人．故答案为：.9．已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则．【答案】/【详解】根据题意，因为，事件与事件对立，所以，又事件与事件互斥，，所以.故答案为：10．某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含量(单位：克)与药物功效(单位：药物单位)之间具有关系．检测这种药品一个批次的6个样本，得到成分甲的平均值为4克，标准差为克，则估计这批中医药的药物功效的平均值为.【答案】18【详解】设该药品一个批次的6个样本分别为，因为这种药品一个批次的6个样本，得到成分甲的平均值为4克，标准差为克，所以，方差，所以，即所以则这批中医药的药物功效的平均值故答案为：四、解答题11．为了解甲､乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服