7.3定义、命题、定理　(第2课时)（导学案）（解析版）初中数学人教版（2024） 七年级下册

7.3定义、命题、定理(第2课时)（导学案）(1)理解定理的含义，能区分命题、定理、定义的关系；知道公理与定理的区别；能运用学过的定理进行简单的逻辑推理。(2)通过对比分析、实例辨析，培养逻辑思维能力和抽象概括能力；在定理应用的过程中，提升推理表达的严谨性。(3)感受数学逻辑的严密性和系统性，体会定理、定义在数学学习中的重要性；养成严谨求实的数学学习态度。重点是:定理的概念；命题、定理、定义的关系；利用定理进行简单推理。难点是：区分公理与定理的区别；运用定理进行逻辑推理时，推理过程的规范表达。第一环节自主学习温故知新：什么是命题？命题分为哪两类？如何判断一个命题是假命题？如何判断一个真命题的正确性？【学法指导】新知自研：自研课本第23-24页的内容（一）定理1：在这些真命题中，有些命题是基本事实，请你举出例子？（如“两点确定一条直线”“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”等.）2.还有一些命题，它们的正确性是经过推理证实的，请你举出例子？（如“对顶角相等”“内错角相等，两直线平行”等）3.一些命题，它们的正确性是经过推理证实的这样的命题叫什么？（这样的真命题叫作定理）4.定理及定义、基本事实都可以作为继续推理的依据.（二）定义、基本事实、定理、命题的关系讨论：定义、基本事实、定理、命题的关系.（1）定义是对数学概念的精准描述；基本事实是人们在长期实践中总结出来的，作为证明的原始依据的真命题；定理是经过推理证实的真命题（只有经过证明且作为推理依据的真命题才是定理）.（2）定义、基本事实、定理它们都是命题.所有定理都是真命题，但真命题不一定是定理.（3）命题包含真命题和假命题，定义、基本事实定理属于真命题的范畴。（三）推理与证明问题：什么是证明？在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明.辨析：推理和证明的区别.推理和证明是有区别：推理是证明过程的组成部分.怎样进行证明真命题：证明就是推理，证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”。这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等.怎样证明命题是假命题：证明或判断一个命题是错误的，只要举出一个例子(反例),它符合命题的题设，但不满足结论就可以了。例如，要判断命题“相等的角是对顶角”是错误的，可以举出如下反例:在下图中，OC是∠AOB的平分线，∠1=∠2，但它们不是对顶角.【自研自探】自研课本P23-24页内容典型例题例1如图，已知直线a⊥b，b//c，求证a丄c.【分析】要证明a丄c，只要证明∠2=90°，由b//c(已知)，得∠1=∠2，由∠1=90°可以证明.【详解】证明:∵a⊥b(已知),∴∠1=90°(垂直的定义).∵b//c(已知)，∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等).∴∠2=90°(等式的基本事实).∴a⊥c(垂直的定义).提醒学生：以后注明理由时，主要标注依据的性质、定理、基本事实等，像“已知”这样的理由可以不标.讨论总结：证明命题的步骤：1.写出已知，2.写出求证，3.写出证明过程.例2．如图：已知直线与相交于点O，，，试说明的理由．【分析】首先根据等量代换和对顶角相等得到，然后利用内错角相等，两直线平行得到．【详解】证明：∵，（对顶角相等）∴（等量代换）∵∴（等量代换）∴（内错角相等，两直线平行）．第二环节合作探究1.讨论在这些真命题中，有些命题是基本事实，请你举出例子？2.讨论还有一些命题，它们的正确性是经过推理证实的，请你举出例子？讨论一些命题，它们的正确性是经过推理证实的这样的命题叫什么？3.定理及定义、基本事实都可以作为继续推理的依据.4.讨论定义、基本事实、定理、命题的关系5.讨论什么是证明？推理和证明的区别？6.怎样进行证明真命题？怎样证明命题是假命题？拓展提升：1．现有一块含角的直角三角尺，是直角，其顶点在直线上，请你解决下列问题：(1)如图1，请直接写出、的数量关系；(2)如图2，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、，请写出图中分别与、相等的角，并说明理由；(3)如图3，平分，将直角三角尺绕着点旋转，当时，请直接写出与直线所成锐角的度数．【详解】（1），理由如下：点在直线上，，，，故答案为：．（2），，理由如下：由（1）得，，，，，，，，．（3），理由如下：如图，平分，，，，，由（1）可知，．故答案为：课堂练习：1.在下面的括号内，填上推理的依据.如图，∠A+∠B=180°，求证∠C+∠D=180〫.证明:∵∠A+∠B=180°,∴AD//BC().∴∠C+∠D=180°().2.命题“同位角相等”是正确的吗?如果是，说出理由出反例.参考答案：1.同旁内角互补，两直线平行;两直线平行，同旁内角互补.2.命题“同位角相等”是错误的.例如，图中的∠1，∠2是直线a，b被直线c截得的同位角，但它们不相等.1.（2025•江西）如图，已知点C在AE上，AB∥CD，∠1＝∠2．求证：AE∥DF．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠ACD＝∠2，∴AE∥DF．2．（2025揭阳统考）如图，已知，求证：．【详解】证明：，，，，．1.知识总结：（1）定义：对名称和术语的含义作出明确规定的语句；（2）定理：经过推理证实的真命题；（2）关系：定理属于真命题，定义是特殊真命题，基本事实是定理的基础，是真命题。2.方法总结：（1）区分基本事实与定理的方法：看是否需要证明，基本事实无需证明，定理需证明；（2）区分命题、定理、定义的方法：看语句的作用，定义界定概念，定理是推理依据，命题是判断语句；（3）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”。这些根据，可以是已知条