《机械结构有限元分析及强度设计》-第1章

1.1有限单元法简介1.1.1有限单元法简介有限单元法（FiniteElementMethod，FEM）是求解数理方程的一种数值计算方法。它是将弹性理论、计算数学和计算机软件有机地结合在一起的一种数值分析技术，是解决实际问题的一种有力的数值计算工具。有限单元法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，并在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，再将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，并借助变分原理或加权余量法将微分方程离散求解，最后采用不同的权函数和插值函数形式，以构成不同的有限单元。下一页返回1.1有限单元法简介有限元法最早应用于结构力学中，后来随着计算机技术的发展，它慢慢开始用于流体力学的数值模拟。目前，有限单元法在许多科学技术领域和实际工程问题中都得到了广泛应用，例如，它在机械制造、材料加工、航天技术、土木建筑、电子电气、国防军工、船舶、铁道、汽车和石化能源等领域中的广泛应用已使得这些领域的设计水平发生了质的飞跃，主要表现在以下几个方面：（1）增加产品和工程的可靠性；（2）在产品的设计阶段就发现潜在的问题；（3）经过分析计算，采用优化设计方案，从而降低原材料成本；（4）缩短产品投向市场的时间；（5）模拟试验方案，减少试验次数，从而减少试验经费。上一页下一页返回1.1有限单元法简介现有的商业化有限元分析软件已经成功地应用于固体力学、流体力学、热传导、电磁学、声学和生物学等领域，能够求解弹性或塑性问题，各类场分析问题（如流体场、温度场和电磁场等的稳态和瞬态问题），以及水流管路，电路，润滑，噪声和固体、流体温度的相互作用问题。1.1.2有限单元法的诞生及发展我国古代数学家采用多边形的周长近似代替圆周长的方法堪称是有限单元法的雏形。300多年前，牛顿和莱布尼茨发明了微积分法，证明了该运算具有整体对局部的可加性。虽然积分运算与有限元技术对定义域的划分是不同的，前者进行的是无限划分，而后者进行的是有限划分，但积分运算为实现有限元技术奠定了一个理论基础。上一页下一页返回1.1有限单元法简介在牛顿之后约100年，著名数学家高斯提出了加权余值法及线性代数方程组的解法。这两项成果中的前者被用来将微分方程改写为积分表达式，而后者则被用来求解有限元法所得出的代数方程组。1.1.3有限单元法在机械中的应用有限单元法在机械中的应用主要体现在以下几方面：（1）静力学分析——主要分析机械结构受外部载荷作用时，不随时间变化或随时间缓慢机械结构有限元分析及强度设计变化的应力、应变和变形。（2）模态分析——求解系统的某种特征值或稳定值的问题，以得到其固有频率和振形。上一页下一页返回1.1有限单元法简介（3）瞬态动力学分析——求解系统所受到的外部载荷随时间变化的动力学响应问题。（4）非结构动力学分析——主要分析机械系统的热传导（温度场）、噪声和控制问题。（5）其他分析——如结构—流体耦合分析、结构—热和结构—噪声等多场耦合分析等。上一页下一页返回1.1有限单元法简介1.1.4有限元分析软件目前流行的有限元分析软件主要有NASTRAN、ANSYS、ADINA、ABAQUS、MARC、COSMOS等。因为MSC−NASTRAN软件和NASA的特殊关系，它在航空航天领域具有很高的地位，它以最早期的主要用于航空航天方面的线性有限元分析系统为基础，兼并了PDA公司的PATRAN，又在以冲击、接触为特长的DYNA3D的基础上组织开发了DYTRAN。近来，它又兼并了非线性分析软件MARC，成为目前世界上规模最大的有限元分析系统。上一页下一页返回1.1有限单元法简介ANSYS软件致力于耦合场的分析计算，能够对结构、流体、热和电磁4种场进行计算，因此，它博得了世界上数千家用户的钟爱。ANSYS公司由JohnSwanson博士创立于1970年，ANSYS有限元程序是该公司的主要产品。ANSYS软件是集结构、热、流体、电磁和声学于一体的大型通用有限元分析软件，可广泛地应用于核工业、铁道、石油化工、航空航天、生物医学、轻工、地矿、水利和日用家电等一般工业及科学研究。ANSYS的主要功能包括结构静力分析、结构动力学分析、结构非线性分析、动力学分析、热分析、电磁场分析、流体动力学分析、声场分析、压电分析、结构优化和疲劳分析等。结构静力分析用来求解外载荷引起的位移、应力和力。上一页下一页返回1.1有限单元法简介ANSYS程序的静力分析功能不仅可以进行线性分析，还可以进行非线性分析，如塑性、蠕变、膨胀、大变形、大应变及接触分析。结构动力学分析用来求解随时间变化的载荷对结构的影响。ANSYS程序可进行的结构动力学分析的类型包括瞬态动力学分析、模态分析、谐波响应分析及随机振动响应分析，还有结构非线性分析，即对结构非线性导致结构的响应随外载荷发生不成比例的变化的分析。ANSYS程序可求解静态和瞬态非线性问题，包括材料非线性、几何非线性和单元非线性。动力学分析方面，ANSYS程序可以分析大型三维柔体运动。热分析方面，ANSYS程序可以处理热传递的三种基本类型，即传导、对流和辐射，对热传递的三种类型均可进行稳态和瞬态、线性和非线性分析。上一页下一页返回1.1有限单元法简介电磁场分析主要用于电磁场问题的分析，如电感、电容、磁通量密度、涡流、电场分布、磁力线分布、力、运动效应、电路和能量损失等。ANSYS程序还具有将部分单元等效为一个独立单元的子结构功能以及将模型中的某一部分与其余部分分开重新细化网格的子模型功能。ANSYS程序具有优化设计模块（OPT），可以进行结构的优化设计，同时ANSYS程序还具有参数化程序设计语言APDL，APDL大大地扩展了ANSYS程序的优化功能，这也是ANSYS程序与其他有限元分析软件的不同之处。ADINA在计算理论和求解问题的广泛性方面处于全球领先的地位线性、流体、流固耦合等复杂的工程问题而开发的。上一页下一页返回1.1有限单元法简介非线性有限元分析软件ADINA是由著名的有限元专家、麻省理工学院的K.J.Bathe教授领导开发的，其单一系统即可进行结构、流体和热的耦合计算，并同时具有隐式和显式两种时间积分算法。由于其在非线性求解、流固耦合分析等方面的强大功能，它迅速成为有限元分析软件的后起之秀，ADINA已经成为近年来发展最快的有限元软件以及全球最重要的非线性求解软件，被广泛应用于各个行业的工程仿真开发。上一页返回1.2有限单元法分析的基本步骤有限单元法的基本思想是将结构离散化，并运用有限个容易分析的单元来表示复杂的对象，单元之间通过有限个节点相互连接，再根据变形协调条件进行综合求解。由于单元的数目是有限的，节点的数目也是有限的，所以称之为有限单元法。有限单元法的基本思路和基本原理是以结构力学中的位移法为基础的，即把复杂的结构或连续体看成有限个单元的组合，各单元在节点处彼此连续而组成整体，把连续体分成有限个单元和节点，称之为离散化，先对单元进行特性分析，然后再根据各单元在节点处的平衡协调条件建立方程，综合后进行整体分析。下一页返回1.2有限单元法分析的基本步骤

对于一个连续体的求解问题，有限单元法的实质就是将具有无限多个自由度的连续体理想化为只有有限个自由度的单元集合体，单元之间仅在节点处相连接，从而使问题简化为适合于数值求解的结构型问题。因此，只要确定了单元的力学特性，就可以按结构分析的方法来进行求解。上一页返回1.3机械结构有限元分析中常用的单元1.杆、梁单元杆、梁单元是最简单的一维单元，单元内任意点的变形和应力由沿轴线的坐标来确定。它用于弹簧螺杆、预应力螺杆、薄膜、桁架、螺栓、C形截面构件、薄壁管件、角钢或者狭长薄膜构件（只有薄膜应力和弯力的情况）等模型。2.板单元板单元内任意点的变形和应力由x、y两个坐标确定，这是应用比较广泛的基本单元之一，分为三角形单元和矩形板单元。3.多面体单元多面体单元可分为四面体单元和六面体单元。下一页返回1.3机械结构有限元分析中常用的单元4.薄壳单元薄壳单元是由曲面组成的壳单元。对于任意形状的壳体，通常有三种有限元离散形式：借助于坐标变换以折板代替曲面的平板型壳元，基于经典壳体理论的曲面型壳元，基于空间弹性理论的三维实体退化型壳元。5.管单元对于每个管单元中任意一个截面上的内力值可以用单元内力的变换矩阵与单元末端截面上的内力值乘积来确定；管单元中任一截面的位移值可用节点截面内力值与变换矩阵的乘积来确定。上一页下一页返回1.3机械结构有限元分析中常用的单元此外，还有用于温度场分析等方面的单元，如稳态热传导单元、壳体温度有限元和瞬态热传导有限元。温度场的有限元分析有两条思路：一条思路是用加权余量法推导出有限元公式；另一条思路是人为地构造一个温度场的泛函，然后用变分法去推导有限元公式。上一页返回1.4单元形函数的构造1.4.1形函数构造的一般原理单元的类型和形状取决于结构总体求解域的几何特点、问题类型和求解精度。单元的形状可分为一维、二维和三维单元。单元插值形函数主要取决于单元的形状、节点类型和单元的节点数目。节点的类型可以是只包含场函数的节点值，也可能还包含场函数导数的节点值。下一页返回1.4单元形函数的构造

有限元形函数N是坐标x、y、z的函数，而节点位移不是x、y、z的函数，因此，在静力学中的位移对坐标微分时，只对形函数N作用，而在动力学中位移对时间t微分时，只对节点位移向量作用。本书为了区别标量矩阵和矢量矩阵，规定采用［］为标量矩阵，｛｝为矢量矩阵。上一页返回1.5等效节点载荷列阵在进行结构有限元整体分析时，结构的载荷列阵{R}是由结构全部单元的等效节点力集合而成的，而其中单元的等效节点力{R}e则是由作用在单元上的集中力、表面力和体积力分别移置到节点上，再逐点加以合成求得的。本节以平面三角形单元为例，讨论集中力、表面力和体积力的等效移置方法以及如何形成结构等效载荷列阵，并与静力等效进行对比。1.5.1单元载荷的移置根据虚位移原理，等效节点力所做的功与作用在单元上的集中力、表面力和体积力在任何虚位移上所做的功相等，由此可以确定等效节点力的大小。对于平面三角形单元，则有：下一页返回1.5等效节点载荷列阵

式中{δ∗}e——单元节点虚位移列阵；{d∗}——单元内任一点的虚位移列阵；t——单元的厚度，假定为常量。等号左边表示单元的等效节点力{R}e所做的虚功；等号右边第一项是集中力{G}所做的虚功，等号右边第二项是表面力{q}所做的虚功，积分沿着单元的边界进行；等号右边第三项表示体积力{p}所做的虚功，积分遍及整个单元；用形函数表示的单元位移模式方程为：上一页下一页返回1.5等效节点载荷列阵

代入式（1.43），注意到节点虚位移列阵{δ*}e可以提到积分号的外面，于是有：注意到({δ∗}e)T的任意性，式（1.45）可化简为：上一页下一页返回1.5等效节点载荷列阵

其中，式（1.45）右端括号中的第一项与节点虚位移相乘等于集中力所做的虚功，它是单元上的集中力移置到节点上所得到的等效节点力，是一个6×1阶的列阵，记为{F}e；同理，式（1.45）右端括号中的第二项是单元上的表面力移置到节点上所得到的等效节点力，记为{Q}e；第三项是单元上的体积力移置到节点上所得到的等效节点力，记为{P}e。上一页下一页返回1.5等效节点载荷列阵

1.5.2结构载荷列阵的形成结构载荷列阵是由所有单元的等效节点载荷列阵叠加得到的。在叠加的过程中，相互连接的单元之间存在大小相等、方向相反的作用力和反作用力，它们之间会相互抵消，因此，结构载荷列阵中只有与外载荷有关的节点有值。上一页返回1.6有限元的收敛准则在有限元中，一旦确定了单元的形状，位移模式的选择将是非常关键的。由于载荷的移置、应力矩阵和刚度矩阵的建立都依赖于单元的位移模式，如果所选择的位移模式与真实的位移分布有很大差别，将会很难获得精确的解。为了能获得正确解，单元位移模式必须满足一定的条件，使得随着网格的逐步细分所得到的解答能够收敛于问题的精确解。为了保证解答的收敛性，位移模式要满足以下三个条件。（1）位移模式必须包含单元的刚体位移。这就是说，当节点位移由某个刚体位移引起时，弹性体内将不会产生应变。所以，位移模式不但要具有描述单元本身形变的能力，而且还要具有描述由于其他单元形变而通过节点位移引起单元刚体位移的能力。下一页返回1.6有限元的收敛准则

（2）位移模式必须能包含单元的常应变。每个单元的应变一般包含两个部分：一部分是与该单元中各点的坐标位置有关的应变，另一部分是与位置坐标无关的应变（即所谓的常应变）。从物理意义上来看，当单元尺寸无限缩小时，每个单元中的应变应趋于常量。因此，在位移模式中必须包含这些常应变，否则就不可能使数值解收敛于正确解。（3）位移模式在单元内要连续，且在相邻单元之间的位移必须协调。这是指变形后相邻单元在公共边界处的位移（变形）是连续的，即相邻单元之间既不发生“间隙”，又不“重叠”。上一页下一页返回1.6有限元的收敛准则

通常，当单元交界面上的位移取决于该交界面上节点的位移时，就可以保证位移的协调性。对于上述三角形单元，由于位移函数是线性的，即单元中的一条直线变形后仍为直线，而相邻单元在两个公共点上的位移又应是相等的（位移谐调），所以协调条件得到满足，从而保证了变形后相邻单元在公共边界处的位移（变形）是连续的。当协调条件得不到满足时，就不能收敛到精确解，但这不等于它不收敛。对有些位移函数，尽管它不能满足协调条件，但当单元大小划分得恰当时，仍能获得很好的近似结果，这便