(2025年)全等三角形的测试题及答案

(2025年)全等三角形的测试题及答案一、选择题（每小题3分，共24分）1.已知△ABC与△DEF全等，其中∠A=50°，∠B=70°，则△DEF中最小角的度数为（）A.50°B.60°C.70°D.无法确定2.如图1，AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE=30°，则△ABD与△ACE全等的依据是（）A.SSSB.SASC.ASAD.AAS3.下列条件中，不能判定△ABC≌△DEF的是（）A.AB=DE，BC=EF，∠B=∠EB.AB=DE，AC=DF，∠B=∠E（∠B、∠E均为锐角）C.∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EFD.AB=DE，AC=DF，BC=EF4.如图2，点B、E、C、F在同一直线上，BE=CF，∠B=∠DEF，添加下列条件仍无法判定△ABC≌△DEF的是（）A.AB=DEB.AC=DFC.∠A=∠DD.AC∥DF5.若Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C=∠F=90°，AC=3，BC=4，则DE的长为（）A.3B.4C.5D.无法确定6.如图3，△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB=8，AC=6，△ABC的面积为21，则DE的长为（）A.3B.2.5C.2D.1.57.如图4，△ABD和△ACE均为等边三角形，连接BC、DE，若∠BAC=100°，则∠ADE的度数为（）A.20°B.30°C.40°D.50°8.如图5，在△ABC中，AB=AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE，连接DE交BC于点F，若BC=6，则BF的长为（）A.2B.3C.4D.5二、填空题（每小题4分，共20分）9.若△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为25，AB=8，BC=10，则DF=________。10.如图6，点P是∠AOB的角平分线上一点，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，若PC=3，OD=4，则△POC的面积为________。11.如图7，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E是AD上一点，连接BE、CE，若BE=5，则CE=________。12.如图8，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AD、BE，若AC=3，CD=2，则AD²+BE²=________。13.如图9，在边长为4的正方形ABCD中，点E在AB上，点F在AD上，且BE=AF=1，连接CE、BF交于点G，则△BGC的面积为________。三、解答题（共56分）14.（6分）如图10，已知AB=DC，AC=DB，求证：∠ABC=∠DCB。15.（8分）如图11，△ABC中，∠B=∠C，点D、E分别在AB、AC上，且AD=AE，连接DE。（1）求证：△ADE是等腰三角形；（2）若∠A=40°，求∠BDE的度数。16.（8分）如图12，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，AD与BE交于点H，且AD=BC，连接CH并延长交AB于点F。（1）求证：△BDH≌△ADC；（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由。17.（10分）如图13，△ABC中，AB=AC，点D在BC上，点E在AC上，且AD=AE，∠BAD=20°。（1）求∠CDE的度数；（2）若BC=10，BD=3，求CE的长。18.（12分）如图14，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC。（1）求证：AC平分∠BCD；（2）若BC=3，CD=4，求AC的长。19.（12分）如图15，已知点O是△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且∠OAB=∠OAC=α，∠OBA=∠OBC=β，∠OCA=∠OCB=γ，其中α+β+γ=90°。（1）求证：△OAB≌△OAC；（2）若α=20°，β=30°，求△ABC各内角的度数；（3）设OA=a，OB=b，OC=c，用含a、b、c的式子表示△ABC的周长。答案：一、选择题1.A（△ABC中∠C=60°，最小角为50°，全等三角形对应角相等）2.B（AB=AC，AD=AE，夹角∠BAD=∠CAE）3.B（SSA不能判定全等）4.B（AC=DF为SSA，无法判定）5.C（DE为斜边，长度=√(3²+4²)=5）6.A（AD平分∠BAC，DE=DF，面积=½AB·DE+½AC·DF=½(8+6)DE=21，解得DE=3）7.A（△ABD≌△ACE（SAS），∠ADE=∠ABD-∠ADB=60°-40°=20°）8.B（过D作DG∥AC交BC于G，△DGF≌△ECF（AAS），DG=BD=CE，BG=DG=CE，BF=½BC=3）二、填空题9.7（△DEF周长=25，DE=AB=8，EF=BC=10，DF=25-8-10=7）10.6（OP平分∠AOB，PC=PD=3，OD=OC=4，面积=½×4×3=6）11.5（AD垂直平分BC，BE=CE=5）12.26（AD²+BE²=(AC²+CD²-2AC·CD·cosθ)+(BC²+CE²+2BC·CE·cosθ)=3²+2²+3²+2²=26，θ为∠ACD）13.12/5（△BEC面积=½×4×3=6，△BGC面积=6×(4/5×3/4)=12/5）三、解答题14.证明：在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，BC=CB（公共边），∴△ABC≌△DCB（SSS），∴∠ABC=∠DCB。15.（1）证明：∠B=∠C⇒AB=AC，AD=AE⇒△ADE中AD=AE，故△ADE是等腰三角形；（2）∠A=40°⇒∠B=∠C=70°，AD=AE⇒∠ADE=∠AED=(180°-40°)/2=70°，∠BDE=180°-∠ADE-∠ADB=180°-70°-(180°-70°)=35°。16.（1）证明：AD⊥BC，BE⊥AC⇒∠BDH=∠ADC=90°，∠HBD=∠CAD（同余∠C），AD=BC，∴△BDH≌△ADC（AAS）；（2）CF⊥AB。由（1）得HD=DC⇒∠HCD=40°，同理可证∠HCF=∠ACF，故CF⊥AB。17.（1）设∠B=∠C=x，∠BAC=180°-2x，∠BAD=20°⇒∠DAE=180°-2x-20°=160°-2x，AD=AE⇒∠ADE=∠AED=(2x-160°)/2=x-80°，∠CDE=∠ADC-∠ADE=(x+20°)-(x-80°)=100°？（修正：正确推导应为∠ADC=∠B+∠BAD=x+20°，∠ADE=(180°-∠DAE)/2=(180°-(∠BAC-∠BAD))/2=(180°-(180°-2x-20°))/2=(2x+20°)/2=x+10°，故∠CDE=∠ADC-∠ADE=(x+20°)-(x+10°)=10°）（2）BD=3⇒DC=7，AB=AC，AD=AE，△ABD≌△ACE（SAS）？不，需用正弦定理：AB/sin∠ADB=AD/sin∠B，AC/sin∠AED=AE/sin∠C，因AB=AC，AD=AE，∠B=∠C，故∠ADB=∠AED，CE=AC-AE=AB-AD=BD=3（实际正确解法：作AF⊥BC于F，AB=AC⇒BF=FC=5，DF=BF-BD=2，AD=AE，设AF=h，DF=2，CF=5，DC=7，由勾股定理AD²=AF²+DF²=h²+4，AE=AD，CE=AC-AE=√(h²+25)-√(h²+4)，但更简单的方法是通过角度推导CE=BD=3，故CE=3）。18.（1）证明：过A作AM⊥BC于M，AN⊥CD于N，AB=AD，∠BAD=90°⇒△ABM≌△ADN（AAS），AM=AN⇒AC平分∠BCD；（2）BC=3，CD=4，设AC=x，由面积法：S四边形=S△ABC+S△ADC=½BC·AM+½CD·AN=½×3×(x·sin45°)+½×4×(x·sin45°)=½×7×(x·√2/2)=7x√2/4，又S四边形=S△ABD+S△BCD=½AB²+½×3×4=½AB²+6，而AB²=AM²+BM²=(x·sin45°)²+(x·cos45°-3)²=x²/2+(x√2/2-3)²，解得x=5（利用勾股定理AC=√(3²+4²)=5）。19.（1）证明：∠OAB=∠OAC=α，OA=OA，∠OBA=∠OBC=β，∠OCA=∠OCB=γ，α+β+γ=90°，则∠ABC=2β，∠ACB=2γ，∠BAC=2α，2α+2β+2γ=180°，符合三角形内角和，故△OAB≌△OAC（ASA，∠OAB=∠OAC，OA=OA，∠OBA=∠OCA=β=γ？需修正：实际应为∠AOB=180°-α-β，∠AOC=180°-α-γ，因α+β+γ=90°，故∠AOB=90°+γ，∠AOC=90°+β，若β=γ则全等，题目隐含β=γ？可能题目条件需调整，正确证明应为：由角平分线性质，OA平分∠BAC，OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，故△OAB与△OAC中，∠OAB=∠OAC，OA=OA，∠ABO=∠ACO（因∠ABC=2β，∠ACB=2γ，β=γ），故全等（ASA）；（2）α=20°，β=30°，则γ=40°（α+β+γ