2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷.文）高考数学（无答案）

2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷.文）高考数学【含答案】2/2绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（文史类） 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。满分150分，考试用时120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如果改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、答案写在试卷上无效。 3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。 4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。参考公式： 如果事件A，B互斥，那么第Ｉ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知是虚数单位.若＝，则 A． B． C． D．2．设集合，则 A． B． C． D．3．函数的定义域为 A． B． C． D．4．用反证法证明命题：“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是 A．方程没有实根 B．方程至多有一个实根 C．方程至多有两个实根 D．方程恰好有两个实根5．已知实数满足，则下列关系式恒成立的是 A． B． C． D．6．已知函数的图象如图，则下列结论成立的是 A． B． C． D．7．已知向量.若向量的夹角为，则实数 A． B． C．0 D．8．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，下图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为 A．6 B．8 C．12 D．9．对于函数，若存在常数，使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是 A． B． C． D．10．已知满足约束条件当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为 A．5 B．4 C． D．2第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．执行下面的程序框图，若输入的的值为1，则输出的的值为.12．函数的最小正周期为.13．一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为。14．圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得弦的长为，则圆的标准方程为。15．已知双曲线的焦距为，右顶点为A，抛物线的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为，且，则双曲线的渐近线方程为。三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．（本小题满分12分） 海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区ABC数量50150100 （Ｉ）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量； （Ⅱ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.17．（本小题满分12分）中，角A，B，C所对的边分别为.已知. （Ｉ）求的值； （Ⅱ）求的面积.18．（本小题满分12分） 如图，四棱锥中，分别为线段的中点. （Ｉ）求证：； （Ⅱ）求证：.19．（本小题满分12分）在等差数列中，已知公差，是与的等比中项. （Ｉ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，记，求.20．（本小题满分13分）设函数，其中为常数. （Ｉ）若，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数的单调性.21．（本小题满分14分） 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为. （Ｉ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）.点D在椭圆C上，且，直线BD与轴、轴分别交于M，N两点. （i）设直线BD，AM的斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值； （ii）求面积的最大值.2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学试题参考答案一、选择题1．A 2．C 3．C 4．A 5．A 6．D 7．B 8．C 9．D10．B二、填空题11．3 12．π 13．12 14．（x-2）2+（y-1）2=4 15．y=±x三、解答题16．解：（Ⅰ）因为样本容量与总体中的个体数的比是=， 所以样本中包含三个地区的个体数量分别是： 50×=1,150×=3,100×=2． 所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1，3，2． （Ⅱ）设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2． 则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为： {A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个。每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的。记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”则事件D包含的基本事件有{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个。所以P（D）=，即这2件商品来自相同地区的概率为。17．解：（Ⅰ）在△ABC中， 由题意知sinA==， 又因为B=A+， 所以sinB=sin（A+）=cosA=， 由正弦定理可得 b==3． （Ⅱ）由B=A+得 cosB=cos（A+）=-sinA=-． 由A+B+C=π，得C=π-（A+B）所以sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（-）+×=． 因此△ABC的面积S=absinC=×3×3×=．18．证明：（Ⅰ）设AC∩BE=O，连接OF，EC． 由于E为AD的中点， AB=BC=AD，AD∥BC， 所以AE∥BC，AE=AB=BC， 因此四边形ABCE为菱形， 所以O为AC的中点。 又F为PC的中点， 因此在△PAC中，可得AP∥OF． 又OF平面BEF，AP平面BEF，所以AP∥平面BEF．（Ⅱ）由题意知ED∥BC，ED=BC．所以四边形BCDE为平行四边形，因此BE∥CD．又AP⊥平面PCD，所以AP⊥CD，因此AP⊥BE．因为四边形ABCE为菱形，所以BE⊥AC，又AP∩AC=A，AP，AC平面PAC，所以BE⊥平面PAC．19．（Ⅰ）由题意知（a1+d）2=a1（a1+3d）， 即（a1+2）2=a1（a1+6）， 解得a1=2， 所以数列{an}的通项公式为an=2n． （Ⅱ）由题意知bn==n（n+1）． 所以Tn=-1×2+2×3-3×4+……+（-1）nn×（n+1） 因为bn+1-bn=2（n+1）， 可得当n为偶数时， Tn=（-b1+b2）+（b3-b4）+……+（-bn-1+bn）=4+8+12+……+2n = =， 当n为奇数时， Tn=Tn-1+（-bn） =-n（n+1） =-． 所以Tn=20．解：（Ⅰ）由题意知a=0时，f（x）=，x∈（0，+∞） 此时f′（x）=． 可得f′（1）=，又f（1）=0， 所以曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x-2y-1=0． （Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）。 f′（x）=+=． 当a≥0时，f′（x）>0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增。 当a<0时，令g（x）=ax2+（2a+2）x+a 由于△=（2a+2）2-4a2=4（当a=-时，△=0，f′（x）=0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减。当a<-时，△<0，g（x）<0，f′（x）<0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减。当-<a<0时，△>0．设x1，x2（x1<x2）是函数g（x）的两个零点，则x1=，x2=由x1==>0， 所以x∈（0，x1）时，g（x）<0，f′（x）<0，函数f（x）单调递减， x∈（x1，x2）时，g（x）<0，f′（x）<0，函数f（x）单调递增， x∈（x2，+∞）时，g（x）<0，f′（x）<0，函数f（x）单调递减。 综上可得： 当a≥0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增； 当a≤-时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减； 当-<a<0时， f（x）在（0，），（，+∞）上单调递减， 在（，）上单调递增。21．（Ⅰ）由题意知，可得a2=4b2． 椭圆C的方程可简化为x2+4y2=a2． 将y=x代入可得x=±， 因此=，可得a=2． 所以椭圆C的方程为+y2=1． （Ⅱ）（ⅰ）设A（x1，y1）（x1y1≠0），D（x2，y2），则B（-x1，-y1）， 因为直线AB的斜率kAB=， 又AB⊥AD，所以直线AD的斜率为k=-． 设直线AD的方程为y=kx+m， 由题意知k≠0，m≠0． 由可得（1+4k2）x2+8mkx+4m2-4=0． 所以x1+x2=-， 因此y1+y2=k（x1+x2）+2m=． 由题意知x1≠-x2， 所以k1=