题型05 4类比较函数值大小关系解题技巧（构造函数、两类经典的超越不等式、泰勒不等式、不等式放缩合集）原卷版

题型054类比较函数值大小关系解题技巧

（构造函数、两类经典的超越不等式、泰勒不等式、不等式放缩合集）

技法01构造函数比较函数值大小关系解题技巧

技法02两类经典超越不等式比较函数值大小关系解题技巧

技法03泰勒不等式比较函数值大小关系解题技巧

技法04不等式放缩合集比较函数值大小关系解题技巧

技法01构造函数比较函数值大小关系解题技巧

考•常见题型解读

本题型在高考中以小题形式考查，是高频考题；本题型可以用方法技巧作答，能用分析法找打构造函数

的本体是解决此类问题的突破口，需重点掌握.

02

跟我学•解题思维剖析

例1.（2022・全国•统考高考真题）设。=0.1e叫〃=Lc=-ln0.9,则（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

技巧点拨o

【法一】分析法

假设待证法比较大小f构造函数

假设成立，即<-o0.9e°1<1«In0.9+0.1<0

9

令人=0.9,则等价证明：lnx+（l-x）<0，即证：lnxvx—1（原式得证，略）

假设avc成立,即0.1ea,<-ln0.9<=>0.1eo,+In0.9<0

令x=0.1，则等价证明：xev+ln(l-x)<0,xe(0,l)证明略

所以函数g(x)=xex+ln(l-%)在上。(0,近一1)单调递增,

所以g(0.1)>g(0),HP：0.1e°」+ln0.9>0,所以假设。成立，即a>c,

综上所述：c<a<b,故选：C

【法二】构造法

1丫

设/•(x)=ln(l+x)-x(x>—l),因为/(%)=；——1=--,

I+XI+X

当工e(-1,0)时，r(x)>0,当xw(0,a)时/")<0,

所以函数/(x)=ln(l+x)-x在(0，物)单调递减，在(-1,0)上单调递增，

所以八")</(。)=°，所以仙与一1<0，^l>)ny=-ln0.9,即Z?>c，

IaIq__LI±I

所以"一记)<"°)=0,所以M历+而〈°，故三㈠%所以京ei。<2，

故avb,

设g(x)=xev+ln(l-x)(()<x<l),则/(幻=(x+l)ev+—!-j-=卜一"：十^,

令人(X)=-(7-1)+1,〃(x)=e'(f+2x-l),

当0c<&-1时，/(x)<0,函数/?(x)=e'(x2_i)+［单调递减，

当五-1CY1时，"")>()，函数心)=9(/_1)+］单调递增，

乂力(0)=0,

所以当0<4<0-1时，/jM<0,

所以当0<x<五一1时，g'(x)>0,函数g(x)=xe【ln(l-x)单调递增，

所以g(0.1)>g(0)=0,即0.1e°」>-lnQ9，所以

故选：C.

叫家记•知识迁移强化

1.(2023・河北,统考模拟预测)设a=lnl02Tnl()0,b=—c=tan0.02,则()

51f

A.a>c>bB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b

2.(2023•福建福州•模拟预测)«=—,/>=In1.1,(?=tan0.1,则()

A.c<a<bB.a<c<b

C.b<a<cD.a<b<c

fA1J|

3.(2023•福建•二模)设a=2e^-1,/>=e2-l,c=sin-+tan-.则()

\/44

A.b>a>cB.b>c>a

C.a>b>cD.a>c>b

技法02两类经典超越不等式比较函数值大小关系解题技巧

京暖・常见题型解读

本题型在高考中以小题形式考查，是高频考题：本题型可以用方法技巧作答，能用两类超越不等式是解

决此类问题的突破口，需重点掌握.

知识迁移

er>x+l,e'>ex,1——<lnx<x-1,lnx<—

xe

02

跟我学•解题思维剖析

1101

例2.已知a=——,b=el(x),c=ln——,则a、b,c的大小关系为()

100100

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c

技巧点拨6

上991

e侬>-----+1=

100100

101i

c=lnl21<

100iooioo

【答案】c

你来练,知识迁移强化

1.(2023上•河北保定•高三校联考开学考试)已知。=ln(l+e),b=册,c=y,则()

A.b>a>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>h>a

\)4

2.(2023•河南开封•统考模拟预测)已知c=ln§・贝I]()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.b<c<a

3.(2023•江西赣州•统考模拟预测)己知。=lnj,〃=■，则()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b

技法03泰勒不等式比较函数值大小关系解题技巧

题型解读

本题型在高考中以小题形式考查，是高频考题；本题型可以用方法技巧作答，能用泰勒公式展开是解决

此类问题的突破口，需重点掌握.

知识迁移

常见函数的泰勒展开式:

.tXXXY

(1)e=1+—+—+—++—4-，其中（0＜。＜1）；

1!2!3!n\〃+1)!

⑵ln(l+x)=x-£+g-…+i_+R〃

乙•5・ti1•其中凡=（可诃M

“3/,,2&+1

(3)sinx=x---+------+(-1)------------+/?其中R=(-1)----------cos^x；

3!5!'>(2^-1);"火,1'(2攵+1)!

/产22k

(4)cosx=l一一+----+(-1)------------+/?„,其中(=(一1)T^cosOt；

2!4!')(2%-2)!"…'(2%)!，

1

(5)=1+X+X2++Xn+O(Xn);

l-x

(6)(1+X)"=1+〃X+——X2+O(/)；

2!

(7)tanx=x+—+—x5+--+o(x2n］；

315v7

)

(8)x/l+X=I+—X----f+_!_/+...+“x”

2816V7

由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式:

e,>1+x,e'>l+x+^x2(x>0),sinx>x-^x3(x>0),

cosx>l--x2,lnx<x-l,e^-1>x,

2

tanx>x+ix3(x>0),J\+x<1+-^.r,hi(l+x)<.r.

3.常见函数的泰勒展开式:

结论Iln(l+x)<x(x>-l).

结论2lnx<x-l(x>0).

结论31--^Inx(x>0).

x

立队—^―<In——-——=><ln(l+x)

结论41+xx\v).

1-------------+x

\+x

1V

结论5\+x<e'：ex<-——(x<l)；<ln(l+x)<x(x>-l).

\-x1+A

结论6>1+x(xe/?)；

结论7e-x>\-x(xeR)

结论8—>ex(x<i).

1-x

结论9

1-x

02

跟我学•解题思维剖析

设“=().le°」，b=g,

例3.（2022年新I卷高考真题第7题）c=-In0.9则()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

技巧点拨o

泰勒公式法:

nI21

因为=1+0.1+J=1.105,所以0.1e°』kO.ll05cL=0.11111=/）,所以

29

因为

（I）2（%

c=-ln0.9=ln—=ln（i+l）»i--2-+-2-=』―-!-+^_*-0.（）（）6=0.105<〃所以c<〃

99923916221879

综上所述：c〈a<b

故选：C

31I1

1.（2022.全国•统考高考真题）已知a=±，〃=cos7C=4sin1则（）

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

2.（2021•全国•统考高考真题）设d=21nL01,/?=lnl.02,c=VL04-l.则（）

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

3.（2023春•湖北•高三统考期末i已知〃=五一1,/?=ln1,c=sin；,则（）

A.b<a<cB.b<c<a

C.a<c<bD.c<b<a

技法04不等式放缩合集比较函数值大小关系解题技巧

用悬卷,常见题型解读

本题型在高考中以小题形式考查，是高频考题：本题型可以用方法技巧作答，能用不等式来放缩是解决

此类问题的突破口，需重点掌握.

知识迁移

smx<x<tanx,xG(),—

k

In.v<4x—>1)Inx>—j=(()<x<1)

ylxvx

Inx<—(x——)(x>1)Inx>-(x——)(0<x<1)

2x,2x

iai3

Inx>—x2+2x—(x>1)Inx<—x2+2,x—(0<x<1)

22,22

i2(x—I),..i2(x—1).

Inx>-----------(x>1)Inx<-...........(n0<x<1)

x+\,x+1

放缩程度综合

1—<一(x—)<yfx—产<Inx<-------<-x~+2x一二<x-1(0<x<1)

x2xJ7x+\22

।112c32(1).r\111Z1

1—<—x+2x—<-----------<Inx<y/x—T=<—(x—)<x-l(l<x<2)

x22x+]Jx2x

12r3,12(1).11I、

—x+2,x—<1—<-----------<Inx<vrA,-产<一(x—)vx—1(x>2)

22xx+1yjx2x

跟我学,解题思维剖析

例4-1.(2022•全国•统考高考真题)设a=0.1e叫。c=-ln0.9,则()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

技巧点拨o

放缩法

因为x+1<ev<——(x<1)，

\-x

所以<—^—=>0.\\<a=0Ae?1<0Ax-^—=-=b,即。

1-0.11-0.19

因为Inx<—(x——)(x>1),

2x

所以c=-lnO.9=lnW<L(W-2)=22_<o.ii<。，即

92910180

综上所述：c<a<b,故选：C

例42（2022•全国•统考高考真题）已知卫力=cosL

=4sin-,则()

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

技巧点拨o

【法一】:不等式放缩一

因为当,

取犬二:得：cos—2131钻人

=l-2sin->l-2(-—，故

84832

17C4

4sin-+cos-=Vnsin-+(p\,其中0，［,且sin/=-^=,cos3=

4442)J17

当4sin1+cos-=\fil时,1冗，，71

彳+9=不，及9=3

44乙乙4

1.I4I1

llttll'Jsin-=cos^=-7=,cos—=Sin67=-7=

4VI74V17

114.l/.l

故颉5=而<研=.5<4涧“故

所以b>a,所以C>/?>〃，故选A

【法二】不等式放缩二

因为£=4tanL因为当O,^Lsin.r<.r<tanx,所以匕/>L即5>1，所以c>〃；因为当

b4I2J