2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷01【上海专用测试范围：沪教版选择性必修中立体几何 空间向量 数列 概率统计】（全解全析）

高二数学上学期期末模拟卷01（上海专用）

全解全析

（考试时间：120分钟,分值：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：沪教版选择性必修中立体几何空间向量数列概率统计

一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1〜6题每题满分4分，第7〜12题每题满分5分）考生

应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.

1.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形且077=2及，

A'B'=2,则该平面图形的高为.

【提示】画出直观图，结合斜二测画法的定义得到答案.

【答案】472

【解析】画出直观图如下：

为该平面图形的高，OC=2OrC,=4y[2.

故答案为：472

【说明】本题考查了由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算

2.一个袋子中有4个红球，〃个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.已知取出的2个球都

是红球的概率为卷2，那么〃=.

【提示】根据古典概型公式列方程求解.

【答案】6

【解析】设事件/="两次取出的都是红球“，则〃(』)=4x3=12.

因为尸(4)=：寡=[,所以〃(C)=〃(4)X4=12X,=90,

所以〃(C)=(〃+4)(〃+3)=90,解得〃=6.

故答案为：6.

【说明】计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率

3.若数列｛6,｝是首项为1,公比为2的等比数列，记其前〃项和为5“，则Sq=.

【提示】利用等比数列的前〃项和公式可求邑.

【答案】15

【解析】因为｛%｝为等比数列，故S4=巴匚1=15，

1-2

故答案为：15.

【说明】本题考查了求等比数列前n项和

4.若一个球的半径为2,则它的体积为.

【提示】由球的体积公式可得.

【解析】由球的半径R=2,

447?

yi

得/=§nR=-7tx2=—7i9

故答案为：等32冗.

【说明】本题考查了球的体积的有关计算

5.已知向量a=(-1,2,3)/=(l,-2,-l),若a_L(〃+劝)，则实数，的值为

【提示】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律及坐标表示，列式求解作答.

7

【答案】Z

【解析】向量。=(-1,2,3)/=(1,-2,-1),则5=(—1)2+22+32=14,a/7=(-l)xl+2x(-2)+3x(-l)=-8,

因为a_L(〃+劝)，贝(Ja.R+劝)=+4a.b=14-84=0,解得2=:,

所以实数力的值为一7.

4

故答案为：y

4

【说明】本题考查了空间向■模长的坐标表示、空间向量的坐标运算、空间向■数■积的应用

6.在空间直角坐标系。-型中，向量(/GR)在面.吗,上的投影向量为相，在向量人=(-1,0,0)

上的投影向量为〃，则〃，与〃的夹角为.

【提示】先求出，〃，〃的坐标，利用向量夹角的余弦公式求出其夹角即可.

【答案】7

4

【解析】由题意有：向量。=(1，L)在面工作上的投影向量为〃?=(2,()),

向量a=(1,1,，)在向量6=(—1,0,0)上的投影向量为〃=券“=・'=一/?=(1，°，°),

\b\

所以cos〈〃1,〃)=舁［=*］=*,

矶川<2x12

所以〃，与〃的夹角为

4

故答案为：7-

4

【说明】本题考查了向量夹角的计算、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、求投影向量

7.有一组数据X、占、…,X"，其平均数为3,方差为2,则新的数据再-1,当-1，…,Z-1的方差为.

【提示］由已知得+…+<=3,(芭-3)2+("一3『+二+(x“二3『=2,

"n

然后计算&-1),(电-1),…1)的平均数和方差可得答案.

【答案】2

［解析］由已知得土出士二口=3,-3)《”3)++(.'」3),=2,

〃n

所以(x「l)+(工-1)++(工-1)=M+工++耳〃=3_1=2,

nn

(x-l-2)-+(x-l-2)-+-.-+(x-l-2)"_(x)-3)­+(X-3)~++(x-3)-_

---］----------------2----------------------r-t----------------------------2-----------------n--------N•

nn

故答案为：2.

【说明】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差

8.国南北朝时期的数学家祖随提出了一条原理：“耗势既同，见积不容异”即夹在两个平行平面之间的两个

几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的

体枳相等.如图，将底面半径都为6,高都为。（心台）的半椭球（左侧图）和已被挖去了圆锥的圆柱右侧图）

（被挖去的圆徘以圆柱的上底血为底血，下底血的圆心为顶点）放置于同一半面,上，用平行于半血，且与

平面尸任意距离d处的平面截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环，可以证明品总成立.据此，图

中圆柱体（右侧图）的底面半径/>为2,高。为3,则该半椭球，’本（左侧图）的体积为.

【提示】利用圆柱、圆锥的体积公式，即可得出结论.

【答案】8兀

【解析】根据题意，因为兀=5环总成立，

12

22

所以半椭球体的体积为嚓-4=由a--nba=-nbat

由题意知：b=2fa=3,

7

所以半椭球体的体积为：-X7tx22x3=87r.

故答案为：8兀.

【说明】本题考查了锥体体积的有关计算、柱体体积的有关计算

9.如图，已知正三棱柱48C-44G的底面边长为1cm,高为5cm,一质点自<点出发，沿着三棱柱的侧

面绕行两周到达4点的最短路线的长为

【提示】曲面最值问题一般都化曲为平，变成两点间线段最短.

【答案】m

【解析】

如图将正三棱柱侧面展开2次，可知曲面上的最小值即为对角线=，6?+52=病

故答案为：屈

【说明】本题考查了棱柱的展开图及最短距离问题

10.如图，长方体下底面边长分别为4,6,侧棱长为3.点P在棱4。上运动，点。在底

面48CZ）上运动，尸。=5,则中点旭的轨迹形成图形的面积为

【提示】由于点2。的高低对中点M不产生影响，故压扁平行六面体得到平行四边形力AC。,固定点尸（或

Q）,运动另一点。（或夕）即得轨迹为曲边四边形，〃K,画出图形.

【答案】12-2H.

【解析】由于点R。的高低对中点“不产生影响，故也可以考虑压扁平行六面体得到平行四边形力8co.

由于尸2=5,故投影长为4,再分别固定点。（或。），运动另一点。（或。），

即得轨迹为曲边四边形〃〃K（图19中阴影部分）.

面积为2x6————=12—2n.

2

【说明】本题考查了立体几何中的轨迹问题

11.在棱长为1的正方体力BCD-481GA中，E、尸分别为棱可、84的中点，G为棱44上的一点，且

4G=4(0«4W1),则点G到平面D\EF的距离为.

【提示】以。为原点，。4,DC,所在直线分别为x轴，7轴，z轴建立空间直角坐标系。-xyz,利

用向量法能求出点G到平面仅斯的距离.

【答案】立

5

【解析】以。为原点，DAtDC,。口所在直线分别为x轴，N轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系

D-xyzf

则"(0,0,I),£

所以。月=(1,0,-f,D,F=(1J,-1),G£=(0-/l-i),

设平面REF的法向量为〃=(x,y,z),

n•D}E=x-；z=0,

则

n-D}F=x+y-^z=0,

令x=I,贝心=0,z=2,所以平面RM的一个法向量”=(1,0,2).

点G到平面厂的距离为।处|=|E|=@.

I〃I石5

故答案为：正.

5

【说明】本题考查了点到平面距离的向・求法

12.已知数列｛%｝的前〃项和为%且｛为｝不是常数列，则以下命题正确的是

①若数列｛〃"｝为等差数列，则｛2%｝为等比数列;

②若数列｛〃”｝为等差数列，S”>0恒成立，则｛%｝是严格增数歹J；

③若数列｛%｝为等比数列，则｛log?%｝为等差数列；

④若数列｛〃“｝为等差数列，S『S、',则S.的最大值在〃为8或9时取到.

【提示】定义法求出二=2。即可说明①；反证法，证明〃<0不成立，即可说明②；当数列｛%｝中有

2”

负数项，log?可无意义，即可判断③；根据等差数列的性质可得，出=。，进而结合已知可得〃<0.即可得

出％的符号，进而判断④.

【答案】①②④

【解析】对于①，设｛叫公差为d,贝必用一%=〃，

则2""=2%“-%=2"是个常数，所以｛2%｝为等比数列，故①正确；

对于②，设d<0,已知s”>0恒成立，显然有《>0.

则当〃?学+1时，有〃-12号，即％

aa2

与已知Z>。恒成立，矛盾，

所以，假设不成立，所以〃>0.

所以｛%｝是严格增数列，故②正确；

对于③，数列｛%｝为等比数列，若｛%｝中有负数项时，则log2%无意义；

故③错误：

对于④，数列｛%｝为等差数列，由&=SH可得，%+4+。9+为+41=5%=0,

所以％=。.

又q>0,所以dvO.

且当时，/>0;当“210时，^,<0.

所以，S”的最大值在〃为8或9时取到，故④正确.

故答案为：①②④.

【说明】本题考查了反证法证明、由定义判定等比数列、等差数列的单调性、判断等差数列

二、选择题（本大题共有4题，满分18分,其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分）

每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否

则一律得零分.

13.我国古代数学名著《九章篁术》商功一章中介绍了恻堡埔（dao,即圆柱体）：“今有圆堡墙.周四丈八

尺，高一丈一尺''，翻译为白话文为“已知圆柱体，底面周长为4丈8尺，高为1丈1尺”，现在设该圆柱体

的两个底面的圆周在同一个球面上，则该球的表面积约为（）（注：加取3,1丈=10尺）（）

A.等平方尺B.1131平方尺C.337平方尺D.等平方尺

【提示】由题，记该圆柱体的底面半径为〃球体的半径为七则R=%=4吠

【答案】B

【解析】记该圆柱体的底面半径为小贝IJ2TIF=2X3〃=48,尸=8,

圆柱体的高分为11尺，记球体的半径为凡

球的表面积为S=4兀浦=4X3X[64+HJ=1131（平方尺）.

故选：B.

【说明】本题考查了球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题

14.甲、乙两人独立地解决同一个问题，甲能解决这个问题的概率是6,乙能解决这个问题的概率是E，

那么至少有一人能解决这个问题的概率是（）

A.[+6B.PRC.\~PXPZD.

【提示】事件“至少有一人能解决这个问题”的对立事件是“两个人都不能解决这个问题”，算日后者的概率

即可

【答案】D

【解析】因为事件“至少有一人能解决这个问题”的对立事件是

“两个人都不能解决这个问题％

事件“两个人都不能解决这个问题”的概率为（1-々）（I-优）

所以至少有一人能解决这个问题的概率是1-（1-6）（1-巴）

故选：D

【说明】本题考查了利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式

15.如图茎叶图记录了甲乙两位射箭运动员的5次比赛成绩（单位：环），若两位运动员平均成绩相同，则

成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为（）

31001x

A.2B.3C.9D.16

【提示】根据甲、乙二人的平均成绩相同求出x的值，再根据茎叶图中的数据得出乙的方差较小，求出乙

的方差即可.

【答案】A

解得x=2,所以，x=90,根据茎叶图中的数据知乙的成绩波动小，即方差较小,

[（88-90）2+（的-90）2+（伙）一伙））2+（91-90『+（92-90/]

故选：A.

【说明】本题考查了观察茎叶图比较数据的特征、由茎叶图计算平均数、用方差、标准差说明数据的波动

程度

16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南

北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面

体，半正多面体体现了数学的对称美.如图是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方

体的棱上，且此正方体的楼长为1.则该半正多面体：①有'12个顶点：②有14个面：③表面积为3：④

体积为。，正确的有（）

6

A.①②③B.②③④C.①②④D.①②③④

【提示】该半正多面体的所有顶点恰为正方体各棱的中点，即为正方体截去8个三棱锥所剩部分，结合正方

体的性质即可求得.

【答案】C

【解析】该半正多面体的所有顶点恰为正方体各棱的中点，其棱长为号，有12个顶点，14个面（6个正

2

方形，8个正三角形），它可由正方体去掉8个三棱锥所剩部分，它的表面积为

S=6.[*）+84•（用=3+6体积为夕=13_8看以=3，

••・①②④正确，

故选C.

【说明】本题以印信为背景，考查了学生空间想象力，考查了组合体的切接问题，解题时，关键是能将“半

正多面体”还原出正方体，再利用正方体的性质再去解决.

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的

步骤.

17.（本题满分14分）

如图，长方体NBCO-NSGR中，AB=4D=l,44=2,点。为0A的中点.

（1）求证:直线力C_L平面87）。

（2）求直线力。与平面所成角的大小.

【提示】（1）依题意可得4C18D、DDJAC,再由线面垂直判定定理即可得证；

（2）设4C和80交于点。，连接尸0,即可得到尸。〃8〃，则乙iPO为直线4P与平面月所成角，再由

锐角三角函数计算可得.

【答案】（1）证明见解析；（2）7；

6

【解析】（1）在长方体/BCD-4产£。1,因为48=4。=1,

所以四边形48CQ是正方形，所以力C18。，

又因为。A_L平面力48,1Cu平面力68,所以O〃_LAC,

又DDJBD=D,DR,BDu平面BDD],

所以力CJL平面比肛；【6分】

（2）如图所示，设4C和8。交于点。，则。为8。的中点，连接P。，

因为，点P是。。的中点，，尸。//。.

由（1）知。为力在平面〃。8内的射影，故/力尸。为直线力户与平面〃。8所成角,

又因为，PA=PC=6,AO=LAC=WL^PO^4。，

22

也

所以'sinZAPO=—=^=-r

APyfl2

又ZAPO=-

V2J6

直线4户与平面〃。4所成角的大小£；【14分】

6

【说明】本题考查了证明线面垂直、求线面角

18.（本题满分14分）

如图，在长方体力88-48£。中，DD、=DA=l,48=2,点E在棱口上运动.

（1）证明：BCE；

（2）设上为核力8的中点，在棱CG上是否存在一点尸，使得6F〃平面。EG，若存在，求会的值,

V-^|

若不存在，说明理由;

【提示】（I）建立空间直角坐标系，利用向量法证得4。JLA及

（2）根据向量法列方程，从而求得方丁.

V-L（

CF1

【答案】（1）证明详见解析；（2）存在，且布

【解析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，

R（0,0,l），4（L2,l）,C（0,2,0），4C=（T,0,T）,

设E（1/,O）,OW*2,则2七=。3—1）,

DlEB]C=-\+O+\=Of所以片C_LQ£.【6分】

（2）若E是的中点，则E（IJO）,

G（0,2,1）,设平面DEC\的法向量为〃=（M，M，zJ,

n-DE=x.+y.=0/、

则1）,故可设〃=（TJ-2）,

n-DQ=2yt+z1=0

设尸B（l,2,0）,"=（—1,0,4）,

若BF〃平面DEC,《平面。Eg,

ICF1

则〃必尸=1-24=0,4=：,所以*是CG的中点，所以百=3.114分】

2d]z

【说明】本题考查了补全线面平行的条件、空间位置关系的向■证明的向量求法

19.（本题满分14分）

已知｛《,｝是公差为2的等差数列，也｝是公比为2的等比数列，满足4=%-1也=%-1.

（1）求数列｛4｝，低｝的通项公式；

（2）记血｝，也｝的前〃项和分别为*,北,若S“=£,求〃的值.

【提示】（1）根据等差数列和等比数列的性质，列出方程组，求出参数，写出通项公式即可；

（2）根据等差数列和等比数列的前〃项和公式，写出前〃项和，列出方程，求出结果即可.

,,_|

【答案】（1）alt=2n+1,bn=2；（2）15

【解析】（1）由题意得&=24,%=%+2,

又因为a=q-=%-1，

则%-1=2（4-1）,又生=%+2

解得q=3,可得&=2,

因此为=4+2（〃-1）=2〃+1,2=d2"-2=2"7；【8分】

(2)由(1)得S,=3+'+l.〃=心+2),7；,=—=2W-1,

由S"=】，得〃(〃+2)=28-1,即/+2〃=255,解得〃=15；【14分】

【说明】本题考查了等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、等比数列通项公式的基本量

计算、求等比数列前n项和

20.(本题满分18分)

某市正在征集志愿者，为了了解前来面试的志愿者的情况，现随机抽取了100名候选者的面试成绩，

并分成五组:第一组［45,55),第二组［55,65),第三组［65,75),第四组［75,85),第五组［85,95］,绘制成如

图所示的频率分布直方图.

(1)求图中。、〃的值并估计面试成绩的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数：

(3)抽取的100名候选者中，第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和30,第四组面试者

的面试成绩的平均数和方差分别为80和20,求第二组和第四组面试成绩的总平均数和总方差.

10a+10b=0.3

【提示】(1)由题意可得可求〃力,根据平均数等于每个小矩形面积乘上小矩

10(0.045+0.020+a)=0.7*

形底边中点的横坐标之和求解;

(2)再根据百分位数的定义求解第80百分位数即可.

(3)利用分层抽样的平均数公式与方差公式计算即可.

950

【答案】(1)4=0.005,6=0.025,69.5；(2)77.5；(3)平均数为70,方差是丁・

,一f10d-10/;=0.3fa=0.005

【解析】(1)由题意可知：八八“、”，解得乙八八”，

可知每组的频率依次为：0.05,0.25,0.45,0.2,0.05,

所以平均数为5()x().05+60x0.25+70x0.45+80x0.2+90x().05=89.5；【6分】

(2)成绩在［45.75)的频率为0.75<0.8,满意度在［45,85)的频率为095>0米

设百分之80分位数为x,«!|xe[75,85),

贝！J0.75+(工-75)x0.02=0.8,

解得x=77.5,故百分之80分位数为77.5110分】

(3)100名候选者中第二组的人数为100x0.25=25人，第四组的人数为100x0.2=20人

则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数丁=空空"国=70,...

45

设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为

第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差

/=乳—)2卜黜+G-硝嗡3。+@-7。)2卜尧2。+(8。-7())2卜等・

故估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数为70,方差是9专50；【18分】

21.(本题满分18分)

若数列｛为｝与｛4｝都是严格增数列且无公共项，将它们的项合并在一起并按由小到大的顺序排列，在

得到的新数列中，来自｛4｝的任意两项均不相邻，则称｛4｝为也｝的“隔数列

(1)若｛4｝是首项与公差均为整数的等差数列，"=2",且数列%生,%是数列々也也也的“隔数列”，

求仁｝的通项公式；

⑵若%=2〃，抄“｝是首项为1,公比为仁的等比数列，且数列卬%，%%是数列4也也也的“隔数

列”，求整数〃，的值；

(3)设｛4｝是公比为4的无穷等比数列，其前〃项和为S”，若母｝是,