2026年中考数学一轮复习知识点训练：根式方程

2026年中考数学一轮复习知识点训练营——根式方程

一、选择题

1.下列方程为无理方程的是（）

A.V3x-2=0B.Vx-3=0C.x2—\/2x+1=0D.—V2=0

2.在下列方程中，有实数根的是（）

A.y/x—24-3=0B.r2+2%+3=0C.72x+3=xD.

x—1x-1

3.数学思想方法是数学的灵魂和精髓，而转化思想是数学思想方法中最基本、最重要的一种方法，

我们可以用因式分解把方程炉+炉一2%=0转化为X=0或%2+%-2=0,从而求出方程的三个

根：Xi=0,%2=%3=-2,再如，我们可以用两边平方的方法把方程VF7T=2转化为x4-1=

4,从而求出方程的根为：x=3,通过转化还可以求出方程向不3="的根为（）

A.3B.-1C.3或-1D.3或I

4.在下列方程中，有实数根的方程的个数有（）

@VFF7+3=O：

@yjx-4+V3-x=0;

③，％+1=-x：

@V2x-3+V3-2x=0：

（5）x2—2x4-4=0；

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.已知实数a满足|2024-Q|+Va-2025=a，那么a-2024?的值是（）

A.2023B.2024C.2025D.2026

6.如果关于X的方程后彳正=x有实数根x=l,那么m的值是（）

A.-1B.1C.0D.2

7.下列方程中，判断中不正确的是（）

A.方程磊一卷=0是分式方程

B.方程3xy+2x+1=0是二元二次方程

C.方程>j3x2+>/2x-V7=0是无理方程

D.方程（X+2）（%-2）=-6是一元二次方程

二、填空题

8.方程，3x+4=%的解是.

9.方程4+4+x=2的解是.

10.方程历历=一%的根是.

11.方程+1-Vx—2=0的根是.

12.方程点二？=&FTT的解是.

13.当%=时，V4FF5的值为o.

14.方程的(2工一5)后。=0根是.

三、计算题

15.解下列方程：

(1)V18-7x=x.

(2)x+2A/X—5=6.

16.Vx+2-yjx-2y/x2+2x=-2x-

四、解答题

17.我们将(G+VF)与(逅-、仿)称为一对“对偶式”.可以应用“对偶式”求解根式方程.比如小明在

解方程V24-X-遮==2时,采用了如下方法：

由于(弓24—x—V8—x)(V24—x+V8—x)=(V24-x)2—(V8—%)2=(24—x)—(8-%)=

16,

又因为用二孩一孤。=2①，所以，24二m+痘二=8②,由①+②可得"24,k=5,

将衍孩=5两边平方解得x=-1,代入原方程检验可得久=-1是原方程的解•.

请根据上述材料回答下面的问题：

(1)若zn=2-V5的对偶式为九，则mxn=；(直接写出结果)

(2)方程Vn+VFiF=i6的解是________;(直接写出结果)

(3)解方程：74x2+6%-5+V4x2-2x-5=4x-

18.我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，

而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似也这样的形式，我们称形

a

如这种形式的式子称为根分式，例如序，钙都是根分式.

3xz-2

(I)请根据以上信息，写出根分式M=旦中》的取值范围：_________________；

x-2

(2)已知两个根分式河=套与2_JX2-5X+7.

火一2N-TTy

①是否存在尢的值使得可2-的2_i，若存在，请求山工的值，若不存在，请说明理由；

②当M2+十是一个整数时，求无理数式的值.

19.小颖利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法.下面是她解方程77^1+

4x^7=5的过程.

解：设4x^2~正=7=m，与原方程相乘得：

(yfx^2+4x^7)x(VT771-)=5m,

x-2-(x-7)=5m,解之得m=l,

：-y[x^2-Vx^7=1,与原方程相加得：

(Vx—2+yJx-7)+(Vx-2—Vx-7)=5+1,

2=6,解之得，x=ll,经检验，x=U是原方程的根.

学习借鉴解法，解方程疡之-77^6=1.

20.阅读小明用下面的方法求出方程2y-3x=0的

解法1：令V%=3则x=t?

原方程化为2t-3t2=o

解方程2t-3d=(),得t]=(),t2=1;解法2：移项，得2a=3x,

方程两边同时平方，得4x=9x2,

所以爪=0或§，

解方程4x=9x2,得x=0或1,

将方程«=0或:两边平方，

经检验，x=o或i都是原方程的解.

得x=o或,

所以，原方程的解是x=0或1.

经检验，x=0或i都是原方程的解.

所以，原方程的解是x=o或i.

请仿照他的某一种方法，求出方法x-V27+5=-1的解.

答案解析部分

1.【答案】B

【知识点】无理方程

2.【答案】C

【知识点】分式方程的增根；无理方程；一元整式方程；高次方程

【解析】【解答】A：VF^2+3=0,•••旧与之0・・・疡”二一3无意义，故方程无实数根；

B：x2+2x+3=0,V根的判别式1x3=-8VO,故方程无实数根；

C：V2x4-3=x»两边平方得：x2=2x4-3»整理得：%2—2%—3=0>/=3,0二一1（舍），方

程有实数根；

D：占=占，分式方程两边同时乘以（x-1）得：x=l,此时x-l=0,分母为0,x=l是方程的

人JL人X

增根，不是实数根，故方程无实数根；

故答案为C

【分析】本题考查方程的实数根情况。解分式方程，要注意检验根，分母不能为0.解无理方程时，

使无理方程有理化，转化成有理方程，要结合二次根式的意义求出无理方程未知数的取值范围，进

而得到方程的实数根。一元二次方程的实数根情况，根据根的判别式与0的大小可知。

3.【答案】A

【知识点】因式分解法解一元二次方程；无理方程

4.【答案】B

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解分式方程；无理方程

【解析】【解答】解：@VV7+2+3=0，

:・lx+2=—3»

•・•不论X为何值，VFT2不能为-3,

・•.此方程无实数根；

②*.*V%—44-V3—x=0,

.'.x-4>0,3-x>0,

解得：xN4且烂3,

・•・此方程无实数根；

③,・•、％+1=-x,

/.X4-1=X2,

.*.x2-x-l=0,

土店

•••1r=———，

2

XVx+l>0,

••・此方程有实数根；

@VV2x-3+V3-2x=0,

A2x-3>0,3-2x>0,

3

X=-

2

••・此方程有实数根；

⑤,.“2-2x+4=0,

AC-2)2-4x1x4=-12<0,

，此方程尢实数根；

・

⑥01・•中2+口3_=广6，

/.2(x-l)+3(x+l)=6,

解得：x=l,

・•・(x+l)(x-l)=0,

・•・此方程无实数根；

综上所述：有实数根的方程的个数有2个；

故答案为：B.

【分析】利用解方程的方法以及根的判别式计算求解即可。

5.【答案】C

【知识点】绝对值及有理数的绝对值；二次根式有意义的条件；无理方程

【解析】【解答】解：・・•实数a满足|2024-a|+3a-2025=a,

Aa-2025>0,Wa>2025,

.\2024-a<0,

••a-2024+7a-2025=a，

AVa-2025=2024,

Aa-2025=20242,

.\a-20242=2025.

故答案为：C.

【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数可得a-2025K),即贮2025,然后根据绝对值的性质化

简绝对值并整理得Va-2025=2000,最后两边平方即可得出答案.

6.【答案】A

【知识点】无理方程

【解析】【解答】解：把无=1代入方程V27+7i=x,

得：V2+m=1>

两边平方得：2+m=1,

解得：m=-1,

经检验m=-1是方程V2T5n=1的解，

即m=-1,

故答案为：A.

【分析】先求出元=1,再求出租=-1,最后检验求解即可。

7.【答案】C

【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；分式方程的概念；无理方程；二元二次方程与方程组的认识

【蟀析】【解答】A.方程^2-^=0是分式方程，故该选项不符合题意：

B.方程3xy+2%+1=0是二元二次方程，故该选项不符合题意；

C.方程V3X2+V2X-V7=0是一元二次方程，故该选项符合题意；

D.方程(x+2)(x-2)=-6是一元二次方程，故该选项不符合题意；

故答案为：C.

【分析】逐一进行判断即可.

8.【答案】％=4

【知识点】无理方程

【解析】【解答】解：原方程两边同时平方得3%+4=/,即%2一3%-4=0,

/.[x+1)(%-4)=0,

:・x=-1或％=4,

又由题意可得『X；：;0

解得，x>0,

・••当》=一1时不满足题意，

/.X=4

故答案为：x=4.

【分析】先将原方程两边同时平方可得到关于X的一元二次方程，利用因式分解法解得X,再结合

原方程中二次根式的双重非负性得出X的取值范围，从而判断得出结果.

9.【答案】无实数根

【知识点】无理方程

10.【答案】x=-4

【掴识点】无理方程

11.【答案】x=2

【知识点】无理方程

12.【答案】x=3

【知识点】无理方程

13.【答案】冶

【知识点】二次根式有意义的条件；无理方程

【解析】【解答】解：由倔E=0彳寻4x+5=0,

解得x二冶

4

故答案为：-j.

4

【分析】二次根式值为零，也即被开方数为零，据此列出方程，解方程求解即可.

14.【答案】x=3

【知识点】无理方程

15.【答案】(1)解：V18-7x=x»

两边平方得，18-7x=x2,

即x2+7x-l8=0,

移项得，x2+7x=18,

配方得，x2+7x+竽=18+竽，

即(x+Z)2考，

开平方得，x+尹号，

x)=2,X2=-9,

经检验，X2=-9是原方程的增根.

故原方程的解是x=2；

(2)解：x+27x—5=6,

移项得，2>6』=6-汇，

两边平方得，4(x-5)=(6-x)2,

整理得，x2-16x+56=0,

移项得，x2-16x=-56,

配方得,x2-16x+64=-56+64,

即(x-8)2=8,

开平方得，X-8=±2VL

/.XI=2V2+8,X2=-2a+8,

经检验，xi=2企+8是原方程的漕根，

故原方程的解是X=-2V2+8.

【知识点】配方法解一元二次方程；无理方程

【解析】【分析】(1)先两边平方，将方程转化为一元二次方程，利用配方法求解，再检验方程的

解，即可求得；

(2)先移项，再两边平方，方程转化为一元二次方程，利用配方法求解，再检验方程的解，即可求

得.

16.【答案】解：y/x+2—Vx—2\jx24-2x=-2x

y/x+2—2\!x2+2x=4x-2x

F[22

(Jx+2—2JN+2%)=(Vx-2%)

x+2-4Vx(x4-2)4-4(x24-2%)=x-4xy[x+4x2

x+2-4%Vx-8Vx+4x2+8%=x-4xVx+4x2

8x+2=8Vx

2

(8x+2)z9=(8Vx)

64x24-32x4-4=64x

64/-32x+4=0

(8%-2)2=0

1

x=4

经检验，*=/是原方程的解，

•••原方程的解为％=/

【知识点】无理方程

【蟀析】【分析】利用完全平方公式求出64X2-32X+4=0,再利用配方法解方程求解即可。

17.【答案】（1）1

（2）x=39

(3)x=3

【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算；无理方程

18.【答案】（1）%21且XW2

（2）解：①不存在，理由如下:

2

由乂一“得:X—5x+7x—1

22=12=1，

(x,2)

解得％=2,

经检验，％=2是原方程的增根,

•••原方程无解,

不存在；

"R"21M2X2-5X+7,x-1X2-4X+6[,2

。例/+NJ---------+-----------7=---------n-=1+--------9»

(%-2)2(%—2厂(、-2)一(X-2)2

,:M2+N2是一个整数，

段是整鲂

(x-2)2=1或(％-2)2=2,

解祗=3或x=l或％=鱼+2或x=-V2+2,

二工为无理数，且

•••x=V2+2.

【知识点】二次根式有意义的条件；无理方程

【解析】【解答】解：⑴根据题意可知,x