第一章《二次函数》单元复习检测卷（一）-2025-2026学年湘教版数学九年级下册

第一章二次函数单元复习检测卷（一）湘教版2025—2026学年九年级下册

总分：120分时间：90分钟

姓名：班级：成绩：

一.单项选择题（每小题5分，满分40分）

题号12345678

答案

1.下列各式中，是x的二次函数的是（）

A.y=x2+1B.=Jx2-1C.y=-yD.y=2x-\

yX

2.对于抛物线y=3（x-2）2-1,下列判断不正确的是（）

A.抛物线的开口向上B.对称轴为直线x=2

C.当x=2时，y有最大值D.当x<2时，），随x的增大而减小

3.已知点4（百,凹），8（%+3,%）在抛物线），=3X2+〃工+2上，若4<〃<6,-4<%<-3,

则下列判断正确的是（）

A.2<y,<y2B.y,<2<y2C.y〈M<2D.力<)\<2

4.某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为x轴，出水口为原点，建立如图所示

的平面直角坐标系，水柱在空中运行路线是抛物线.y=-gf+2不（单位：m）的一部分，

则水喷出的最远水平距离是（）

5.抛物线），=（x-l『-3的顶点坐标是（）

A.(1,3)B.(-1,3)C.(1,-3)D.(-1,-3)

6.将抛物线y=（x+2）2+l向下平移3个单位长度后，所得新抛物线的表达式为（〕

A.y=（x-l）"+lB.y=（x+2）2-1

C.y=（x+2）2-2D.y=（x-2）2-1

7.抛物线y=0^-3/*-2c（其中avO,Z?<0,c>0）,一定不经过的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

8.关于二次函数y=+法+c,下列命题中正确的是（）

①若a+/，+c=O,贝1]〃2-4。。之0；

②若方＞〃+C,则一元二次方程依2+61+0=0有两个不相等的实数根；

③若b=2a+3c,则一元二次方程ar2+m+c=0有两个不相等的实数根；

④若从-4讹＜0，则二次函数的图象与坐标轴的公共点有2个或3个.

A.①③B.①③④C.®®D.②

二.填空题（每小题5分，满分20分）

9.若二次函数），=2?-百用的图象与x轴有交点，则m的取值范围是.

10.如图，小明的父亲想用长为6（）米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园.已

知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是平方米.

//，///《//////////////(/////墙

11.无论后为任何实数，二次函数）=公2・（3・A）X+A的图象必过定点

12.若fWxW/+2时，二次函数），=2»+4工+1的最大值为31,贝打的值为.

三.解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）

13.已经抛物线y=/-3x-4与x轴的交点为A、B,与y轴的交点为C

（1）求A、B、C三点的坐标；

⑵若该抛物线的顶点为P，求4%笈的面积.

14.二次函数），=〃2+瓜+c（〃¥0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题:

⑴直接写出方程a/+Z?x+c=0的两个根.

⑵直接写出不等式/+m+c＞（）的解集.

（3）直接写出y随X的增大而减小的自变量X的取值范围.

（4）若方程+有两个不相等的实数根，直接写出左的取值范围.

15.某商家销售一种成本为20元的商品，销售一段时间后发现，每天的销量），（件）与当

天的销售单价x（元）满足一次函数关系，并且当工=25时，）'=550:当x=3O时，），=500.物

价部门规定，该商品的销售单价不能超过45元.

（I）求y关于］的函数关系式；

⑵当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润是8000元？

（3）求商家销售该商品每天获得的最大利润.

16.在平面直角坐标系中，已知抛物线），=办2+瓜+。（a,b,c是常数且。W0）和直线

y=x-2,抛物线经过点（0,4）.

⑴若该抛物线的对称轴为直线x=-l,且经过点（L-2）,求该抛物线的表达式；

⑵若抛物线），=/+云+。与直线），=x-2交于x轴上同一点.

（i）用含〃的代数式表示），并说明理由；

（ii）已知2W〃W4,当2《工£4时，若二次函数），=公?+法+。的最大值为P,最小值为“，

求〃一^?的最小值.

17.已知M是自变量x的函数，当必=孙+。(，为常数)时，称函数力为函数为的“阶升

累函数在平面直角坐标系中,对于函数力图象上任意一点，称点8(〃?,〃7〃+C)为

点A“关于片的C阶升幕点”，点8在函数M的“C阶升二函数”2的图象上.例如:函数y=2x,

当%=盯+2=2/+2时，则函数b=2/+2是函数y=2x的“2阶升冢函数”.在平面直角

坐标系中，函数=2x的图象上任意一点A("?,2m)，点可〃?,2〃?2+2)为点A"关于为的2

阶升塞点''，点8在函数丁=2x的“2阶升事函数“为=2丁+2的图象上.

⑴求函数凶二gx的“3阶计塞函数”月的函数表达式；

⑵点A在函数y=±(x>0)的图象上，点A“关于苫的1阶升察点”0在点A的上方，当4?=2

X

时，求点A的坐标；

⑶已知函数乃是函数的"c阶升鼎函数”，M与乃的图象交于M(XQ3%(天,为)

两点，若a+b+c=0,Ra>2b>3c,求一的取值范围.

18.如图1,已知抛物线)，=♦+〃x+c经过4-3,0),B(l,0),C(0,3)三点，其顶点为£),

对称轴是直线/,/与x轴交于点从

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若点P是该抛物线对称轴/上的一个动点，求△尸8c周长的最小值；

(3)如图2,若E是线段AD上的一个动点(E与A,。不重合)，过E点作平行于)，轴的直线

交抛物线于点F,交x轴于点G,设点石的横坐标为〃?，四边形尸的面积为S,S是否

存在最大值，若存在，求出最大值及此

时点E的坐标，若不存在，请说明理由.

图1图2

参考答案

一、选择题

1.A

2.C

3.C

4.D

5.C

6.C

7.B

8.A

二、填空题

9.若二次函数y=2?-x+m的图象与x轴有交点，则〃，的取值范围是.

----8—

【解答】解：•・•二次函数），=寸-户,〃的图象与五轴有交点，

.・.A=（-1）2-4X2X〃?20,

解得

即机的取值范围为，〃

故答案为：机

8

10.如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园.已

知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是450平方米.

【解答】解：由题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（60・法）米,

又墙长为40米，

/.0<60-2x<40.

，10WxV30.

又菜园的面积=x（60-2x）=-Zr2+60x=-2（x-15），450,

・•・当x=15时，可围成的菜园的最大面积是450,

即垂直于墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米.

故答案为：450.

11.无论％为任何实数，二次函数），=泊・（3・Z）x+2的图象必过定点（-1,5）

【解答】解：原式可化为y=2,-3x+&（A+1）,

•・•二次函数的图象必过定点，即该定点坐标与2的值无关，

.*.x+l=0,解得x=-l,

此时y的值为y=2+3=5,图象必过定点（7,5）.

故答案为：（-1,5）.

12.若WxW/+2时，二次函数），=2?+4x+l的最大值为31,则/的值为-5或1.

【解答】解：y=2f+4"l=2（x+1）2-1,

♦・•二次函数y=2?+4x+l的最大值为31,

・•・①当・1・，>什3,HP/<-2时，2尸+4什1=31

解得/1=-5,12=3（舍去）.

②当・1-/〈什3,即〉-2时.，2（什2）2+4（什2）+1=31,

解得八=-7（舍去），。=1；

③当f>-1时，2（什2）2+4（什2）+1=31,

解得zi=-7（舍去），&=1：

综上所述，,的值是-5或1.

故答案为：-5或1.

13.【解】（1）解：令歹=0,则工2一3工一4=（）,

解得内=T,X2=4,

•••4（-10）,8（4,0）,

令x=0,则y=-4,

••・C（0,-4）；

（2）解：Vy=x2-3x-4=^x--|^一日，

二顶点野

・C125/一、125

••SPAR=-x—x^+\）=­♦

14.【解】（I）解：-抛物线y=*+〃x+c（aw0）的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为

1和3,

二•一元二次方程泼+/“+c=0的两个根分别是X=1,8=3；

（2）解：由图象可知，当l<x<3时，抛物线的图象在x轴的上方，

・•・不等式加+/zx+c>0的解集为l<x<3；

（3）解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴为4=2,

在对称轴的右侧）'随x的增大而减小，

•••）'随工的增大而减小的自变量X的取值范围是x22；

(4)解：由图象可知，当&=2时，

qegy=ax2+bx+c_^,r—

方程组)c有一组解，

"=2

••・方程以2+bx+c=2有两个相等的实数根，

当攵<2时，

方程组P=f+"+c有两组解，

•.・方程如2+"+c=%有两个不相等的实数根，

.­-方程奴2+云+c=k有两个不相等的实数根时，k<2.

15.【解】(1)解：设y关于X的函数关系式为)，=区+〃,

•・•当戈=25时，y=550；当*=30时,y=500,

.(25k+b=550

“1304+〃=500’

&二一10

解得:

/?=800

Jy=-10x+800.

(2)解：成本为20元，y=-10.r+800,每天获得的利润是8000元，

A(x-20)(-1Ox+800)=8000,

解得：百=40,x2=60.

•••物价部门规定，该商品的销售单价不能超过45元，

.••x=60不合题意，应舍去.

・••当销售单价定为40元时，商家销售该商品每天获得的利润是8000元.

(3)解：设商家销售该商品每天获得的利润为卬元，

则卬=(x-2())(-1Ox+800)=-IO(x-50)2+9(X)0,

V-10<0,

V20<x<45,

，当x=45时,w取最大值为-10x(45-50)2+9000=8750(元).

答：商家销售该商品每天获得的最大利润为8750元.

16.【解】(1)解：・・・抛物线0="+版+°经过点(0,4),对称轴为直线。=_1,且经过点(1,-2),

c=4

.b

..i--=~,，

2a

a+b+c=-2

a=-2

解得力=一4,

抛物线的表达式为y=-2x2-4.r+4:

(2)把(0,4)代入)，=。文2+灰+。得：。=4,

/.y=ax2+6+4,

⑴在中，令y=0得x=2,

・•・直线交x轴于(2。，

把(2,0)代入〉，=&+法+4得：痴+»+4=0,

—2^/-2；

5)由⑴知，抛物线解析式为尸丁-(2〃+2)»4,对称轴为直线>一六3=1+?

.2<«<4,

4a2

当24x«4时，>随x的增大而增大，

/.p-ax42-(2cz+2)x4+4=8c/-4,</=«x22-(2a+2)x2+4-0,

/.p-<7=-4,

当。=2时，8。一4的值最小为8x2—4=12；

•・〃-"的最小值为12.

2

17.【解】(1)解：由题意，得：y2=x-lx+3=1x+3

(2)•・•点A在函数y=：(x>0)的图象上，

・，•设>°),

(3、

由题意，得：Bm.m•一+1,即：4(〃?,4),

ImJ

•・•点〃在点A的上方，AB=2,

A4--=2,

m

3

解得：加==,

2

2

(3)y2=孙+c=x(ax+b)+c=ax+bx+c,

^ax+b=ax1+bx+c,整理，得：ox"+(Z?—«)x+c-Z>=0,

VM与力的图象交于例(占'X)，N(.,)，2)两点,

a-bc-b

・・X+工2=9

a

Va+b+c=O,

c--a-b,

.c-b-a-2b

••X^Xy==9

aa

*.*a>2b>3c,

：.2b>3(-a-b)f

5b>-3a,

当〃<()时，则：b<Ot与56>-3。矛盾,不符合题意,

―),

,3b\

・・一<—<—,

5〃2

22

V(X1-X2)=(X,+X2)-4X,X2

=1-22+⑶+4+8.2

a\a)a

・・3力1

.——<—<-,

5a2

,当'=_：时，(％_占)2=微,

ClD

当3=3时,(王一七『二三'

・27n।।x/33

18.【解】(1)解：•・•抛物线y=o?+加+。经过A(-3,0),5(1,0),C(0,3)三点,

9。-3。+c=0

-a+b+c=Q,

c=3

解得：步=-2,

c=3

，抛物线的解析式为y=-r-2x+3；

(2)解：如图，连接AC交直线/于P,连接8尸、BC,

由题意可得，点A、8关于直线/对称，

/.AP=PB,

*/的周长=PC+0R+AC=PC+4尸+RT24C+BC,其中AC为定值,

・•・△尸8c的周长的最小值为AC+BC,

V4(-3,0),5(1,0),C(0,3),

:、AC=J(HO[+(o-3『二3及,BC=^(l-O)2+(O-3)2=VlO,

工ZXP4c周长的最小值为3五+J历；

⑶解：Vy=-x2-2x