北京市东城区2025-2026学年高一上册期末考试数学试题（含答案）

/北京市东城区2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={1,2},B={x∣−1<x<A.0 B.1 C.2 D.32.命题“∃x∈RA.∀x∈R,sinx+cosx3.不等式2x−1xA.12,+∞ B.−1,12

C.4.设a、b、c∈R，且a<A.a+c>2b B.ab<ac5.下列函数中是偶函数且值域为R的是(

)A.f(x)=x2 B.f(6.在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点P到x轴的距离为35，则cos2αA.725 B.−725 C.247.已知a>0,b>0，则“a+bA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知函数fx=①先向左平移a0<a<π个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍②先将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移b0<若两种变换后得到的函数图象完全重合，则以下结论正确的是(

)A.a=b B.a=2b C.9.在日常生活中，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp=20lgpp0常见场景声压级/极安静环境0∼20安静环境20∼40日常轻声环境40∼60…………已知正常对话的声压约为2×10−2Pa，声压级约为60dB(参考数据：A.当声压变为原来的两倍时，声压级一定变为原来的两倍

B.在极安静环境里，声压不超过2×10−5Pa

C.在日常轻声环境里，最大声压与最小声压的比值不超过8

10.已知函数f(x)，若存在常数k(k>0)，使得对∀x∈R都有fA.f(x)=mx+1(m>0) B.二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。11.已知命题p：若α,β∈(0,2π]，且cosα=−cosβ，则sinα=sinβ.能说明p为假命题的一组12.已知函数f(x)=x,x≤1,ax+a,x>1(a为常数).若13.关于定义域为R的两个函数f(x①若f(x),②若f(x),③若f(x)+④若f(x)g(x)其中正确结论的序号是

．三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。14.(本小题10分)已知集合A=x∣(1)求集合∁R(2)若A∩B={x15.(本小题15分)已知函数f(x)=cosωx−(1)求ω,(2)求f(条件①：f(x)条件②：f(x)注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．16.(本小题15分)已知关于x的不等式ax(1)当a=1(2)若该不等式的解集为−1,13，求(3)若该不等式对于x>3恒成立，求a的取值范围．17.(本小题15分)已知函数f(x)=(1)求函数f((2)判断函数f(x)(3)若存在实数m,n(m≠n18.(本小题15分)在天文学中，变星是指亮度会随时间变化的恒星，天文学家常用“视星等”来描述恒星的亮度.造父变星是一类“视星等”随时间t呈周期性连续变化的变星，其“视星等”mt随时间t的变化可近似地用函数mt=Asin2πTt+φ+B来表示，其中A为振幅，T观测时间t0123456789“视星等”m4.55.04.53.53.03.54.55.04.53.5根据该天文学团队的记录数据，回答下列问题：(1)求该造父变星的光变周期T和平均“视星等”B；(2)求t=3.5(3)已知“视星等”数值越小，亮度越大.若变星在其一个光变周期内“视星等”不高于3.2的时间能够达到该光变周期的16及以上，则该天文学团队便将这颗变星的亮度视为“合格”，据此判断该造父变星的亮度是否“合格”，并说明理由．19.(本小题15分)设M是由有限个正整数构成的集合，记M为集合M中的元素个数．若存在非空集合A1,A2,⋯,Am,B①对∀i②对∀i,j=1,2,⋯,m(1)若M={1,2,3,4}(i)请写出一个集合M的(ii)证明：集合M不存在(2)若集合M存在10维伴随拆分，求M的最小值．

参考答案1.D

2.A

3.B

4.C

5.C

6.A

7.B

8.C

9.D

10.D

11.π6(答案不唯一)

；

7π12.0(不唯一)；0,113.①③

14.

解：(1)由于A=所以∁(2)因为A∩B={x∣2≤所以m<2m+3=4则B={则A15.

解：(1)∵f(x∴f∴f∵x∈R，∴−1≤∴f(x∵f(x)的最大值为3，∴2+若选择条件①，∵f(x∴T2=π2∵0<ω<3，若选择条件②：∵f(x)的一个零点为∴cos∴π当π6ω+∵0<ω<3，当π6ω+∵0<ω<3，综上可知，ω=2，b(2)∵ω=2，b=1∵−π+2kπ∴f(x

16.

解：(1)当a=1时，不等式为x2−1>2解得x>3或x<−1，所以此不等式的解集为(2)因为该不等式的解集为−1,1所以a<0，−1和13为方程将方程化成一般式a所以−1×13=(3)因为ax2−1所以a>又y=2x−1在所以a的取值范围为[1,+∞)．

17.

解：(1)因为点(1,1)在f(所以1=log2所以f((2)f(x证明如下：f(任取x1,x则f=lo因为x2因为x1,x2∈所以x2x12+所以f(x)(3)因为f(m)=所以log因为y=log2x又m≠n，所以因为m,n>0且m由(2)可知f(x)所以fm

18.

解：(1)依题意，该造父变星的光变周期T=6因为“视星等”mt的最小值和最大值分别为3.0和5.0，所以平均“视星等”B(2)由(1)知，T=6，B又A=5−32=1，所以mt=sinπ3t+所以当t=3.5时，m3.5=sinπ(3)由变星在其一个光变周期内“视星等”不高于3.2知，mt=sin如图，设∀t1,t2∈0,+∞所以t1−t因为−0.8>−32，所以∀t1所以可以判断该造父变星的亮度是“合格”的．

19.

解：(1)(i)若m=2，则存在非空集合A且满足条件：①对A1∩A2=⌀,B1∩B取A1={1,2},A满足A1∪A2={1,2,3,4}，BA1∩B1={1}，A不存在Ai∩B故一个集合M的2维伴随拆分为A1={1,2},A(ii)假设集合M存在3维伴随拆分，由于所以Ai,Bj只能取不妨设A1其