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文档简介
2025-2026学年第二学期试卷高三数学
2026.03
本试卷共6页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上,在试
卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符
合题目要求的一项。
(1)已知集合==log2+1,={+23>0},则=
(A)1,3(B�)2�,∣�1���∣��−�∪�
(C)−,2−3,−+(D),21,+
(2)已−知∞复−数满∪足1∞++⋯2=−∞,则−在复∪平−面内∞,复数对应的点位于
(A)第一象限�(B)第二象�限���
(C)第三象限(D)第四象限
(3)下列函数中,是奇函数且最小正周期为的是
(A)=2sincos(B)=cos�
3
(C)��=tan2�(D)��=��
(4)已�知�,�,且��>,�则下列不等式恒成立的是
+11
(A)��∈�(B)�>�
22+12+1
��
(C)2≥>�2�(D)�>�
��
22
������
(5)若双曲线22=1的离心率为2,则其渐近线方程为
��
(A)=(B�)−=�3
32
(C)�=±�(D�)±=�
32
(6)在�±�中,�=±120�,+2=6,sin=4sin,则=
∘
(A)1△3�(B�)�21������
(C)17+43(D)1743
−
(7)矩形中,=6,=3,且=2,则=
99
(A)(B)��𝐵����� � � � � � ⋅� �
24
(C)6(D)3
(8)设等差数列的公差为0,其前项和为,则“>0”是“存
在最小值”的
����≠������
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件
(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件
1
(9)在平面直角坐标系中,若对任意的点1,>0且1,都存在
,2log>0且1,使得=0,且�=,则
22𝑥������≠
�(A)�=1�(�B)�=2�≠� � ⋅� � � � � �
22
(C)��=1(D)��=1
(10)�三�角形的重�心�是指三角形三条中线的交点,垂心是指三条高的交点,且已知三
角形的重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.
在平面直角坐标系中作,==6,点3,2,点1,2,且其“欧拉
线”与圆:+2+++22=2相切.则圆上的点到直线+6=0
的距离的最小值为△��������−�−
��������−�
2
(A)(B)22
2
3252
(C)(D)
22
第二部分(非选择题共110分.
二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。
26
(11)2的展开式中,常数项为_____.
�2
(12)已�知−抛物线:=4上一点0,0到焦点的距离为4,则0=_____.
(13)已知是任意�角�,且�满足cos�+��=sin,�则常数的一个取�值为_____.
3
�
(14)长方体�1111的底�面�⋅是一�个正方形,其�边长为4,长方体的
高为22,联结各表面的中心构成一个八面体,则这个八面体的表面积为八面体
��𝐵−������𝐵
的体积和长方体的体积之比为_____。
(15)若非空实数集中存在最大元素和最小元素,记=.
①已知={0,1},�={1,},且�=,则�=0;Δ��−�
②已知�=2,�,−=�=2,Δ�,Δ则�存在实�数,使得<1;
③已知�={�−���,∣��1,�1∈},�若=2,则�对任意Δ�1,1,都
有
��∣��≥���∈−Δ��∈−
④已�知�≥�是等�比数列的前项和,==,,则存在等比数列
,使得1;其中所有不正确的命题是_____.∗
�������∣����∈�
��Δ�≤
三、解答题共6小题,共85分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(16)(本小题14分)
如图,在四棱锥中,底面是一个等腰梯形,//,=
2,===1,为的中点.
�−��𝐵��𝐵𝐵����
𝐵����𝐵���
(I)求证://平面;
(II)若��平面�𝐵.
��⊥��𝐵
(i)求证:平面;
(ii)求二面��角⊥���的余弦值.
(17)(本小题1�3分−)��−�
已知函数=2sin2+<,从条件①、条件②、条件③这三个条
2
�
件中选择一个作为已知,使函数存在.
�����
(I)求的值.��
(II)设�=4cos2+2,求在区间,0上的最大值和最小值.
2
�
条件①�:��是�偶函−数;���−
条件②:的图象上所有点向右平移个单位长度,所得函数是奇函数;
��8
�
3
条件③:��在区间,上单调递增.
88
��
注:如果选�择�的条件不符−合要求,得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解
答,按第一个解答计分.
(18)(本小题13分)
2024年联合国教科文组织第46届世界遗产大会上,我国申报的“北京中轴线一一
中国理想都城秩序的杰作”被正式列入《世界遗产名录》.北京中轴线坐落于北京
老城中心,全长7.8公里,始建于13世纪,是统领老城整体规划格局的建筑与遗址的
组合体.它共包含15处遗产点,可分为、、、、五种类型,具体如下
表:
�����
类古代古代皇家祭祀古代国家礼仪和公共建筑居中
型皇家宫建筑城市管道路遗
苑�建筑�理�设施��存
中故景太社天先钟万端天外天正永中
轴宫山庙稷坛农鼓宁门安金安阳定轴
线坛坛楼桥门水门门门线
遗桥广南
产场段
点及道
建路
筑遗
群存
某研学团队计划随机选取3处遗产点开展研学活动.
(I)若从15处遗产点中随机选取,求选取的3处遗产点均为类的概率;
(II)若从、、这三类遗产点中随机选取3处,设选取�的3处遗产点的类型种
数为,求的分布列及数学期望;
���
(Ⅲ)该�研学�团队通过调查发现:所有参观北京中轴线的人群可分为老年人、中年人、
青少年三个群体,其人数比值为1:2:1,同时,这三个群体选择参观类或类遗产点
的频率分布如下表:
��
人群老年人中年人青少年
只参观类型遗产点60%25%30%
只参观类型遗产点20%45%30%
�
两类遗产点都参观20%30%40%
�
用频率估计概率,若从所有参观类或类遗产点的人群中随机选取1人,记“只
参观类型遗产点”的概率为1,“只参观类型遗产点”的概率为2,请
��
根据表中信息,判断1与2的大小关系.(结论不要求证明)
����
(19)(本小题15分)��
22
已知椭圆:2+2=1>>0与轴的交点为,(点位于点的上方),且
��
2
=4,椭圆�的�离心率为.
���2�����
(�I)�求椭圆的标准方程;
(II)若直线�=+4与椭圆交于不同两点,,直线=1与直线交于
1
点.设与的面积分别为1,2,比较与的大小,并说明
�������2�����
理由.
�△���△��������
(20)(本小题15分)
1
已知函数=+ln,=e1,0.
−�
(I)当=2�时�,求−曲�线=−��在点��0,�0�处−的切线�方≠程;
(II)讨�论的单调性�;���
(III)是否�存�在,使得不等式恒成立,若存在,求出的所有值;不存在,
请说明理由.
���≤���
(21)(本小题15分)
设为正整数,数列1,2,,4+2是公差不为0的等差数列,若从中删去两项
和<后剩余的4项可被平均分为组,且每组的4个数都能构成等差数
���…��
列,则称数列1,2,,4+2是,可分等差数列.
��������
��…����
(I)说明数列1,2,,6是不是1,2、1,6、2,4、5,6可分等差数列;
(II)当,�,0�…�时,证明:数列1,2,,4+2是4+1,4+2可分
等差数列;
��∈�≤�≤�≤���…����
(III)当2时,数列1,2,,4+2是,可分等差数列,证明:满足条件的,
个数不少于2++1个。
�≥��…������
2025-2026学�年第�二学期
高三数学参考答案及评分标准2026.3
一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分)
(1)D(2)B(3)A(4)D(5)A
(6)B(7)C(8)°C(9)C(10)D
二、填空题(共5小题,每小题5分,共25分)
3
(11)60(12)23(13)6均可(14)16✓2,1:6
2
(15)①②③(注:对一个�2−分,�对二∈�个3分,有选错0分)
三、解答题(共6小题,共85分)
(16)(共14分)
(I)取的中点,连接,.
因为��为的中�点,��𝐵
1
所以�=��,//.1分
2
因为��//�,���=2��,
所以𝐵//��。��=𝐵
所以四𝐵边形��𝐵是平�行�四边形.2分
所以//��。�3�分
且�⊄�平�面�,平面.4分
所以��://平面𝐵���⊂𝐵�
��𝐵�
(II)(i)因为平面.
所以��⊥.5分��𝐵
因为底��面⊥��是一个等腰梯形,//,=2,==1
所以��=𝐵,=36分𝐵����𝐵��𝐵
3
�
所以∠���=90�,�即7分
∘
又因为∠���,面��,⊥��=.8分
����⊂�����∩���
所以知平面.
(ii)由(i�)�知⊥平��面�.
所以��.⊥��𝐵
如图建��立⊥空�间�直角坐标系.
则0,0,1,0,3,0,1�,0−,0��.�
所以�=�1,3,0,�=1,0,1,=0,3,0.9分
设平面� � −的法向量为� � =,−,,则� �
�=�0�,����
即+3=0,10分
=0,=0.
�⋅� � −��
令�⋅� = � 3,则=�1−,�=3.于是=3,1,3.11分
7
因为�为平面��的法向量,且�cos<,>==,13分所以二面角
7
� � ⋅�
7
� � 的余弦值�为��.14分� � �� � ⋅��−
7
(�1�7)−(共�13分)
(I)解:选择②1分
将函数=2sin2+<的图象上所有点向右平移个单位长度,
28
��
可得到函�数�=2sin�2��+=2sin2+,2分
84
��
由函数=�2sin2+�−为奇�函数,则�=�−,4分
44
��
可得=�+��,又−因为<,则�=−.5分���∈�
424
���
解:选�择③1�分��∈���
33
由,,可得2++,+2分
8844
����
3
�∈在区−间,上�单调�递∈增−,且�的�最小正周期为3分
88
��
3
所��以+−=+2,,+�=�+2,4分�
4242
����
所以−=5�分−���∈�����∈�
4
�
(II)解�:由(1)可知,=2sin2+=sin2+cos2,
4
�
则=4c�os�2+2=sin2�+cos22�+2cos2�+2=sin2cos2 =
2sin28分
4
�����−���−��−�
5
由�−,0,可得2,9分
2444
����
5
当2�∈−=时,�−取最∈大−值1,此−时=11分
442
���
当2�−=−时,��取最小值2,此�时−=13分
428
���
(18)(�共−13分−)��−�−
解:(I)设这3个遗产点都在D类为事件,1分
3204
=6==.3分�
3571391
�15
(�II)�=�1,2,3,×4×分
�3441
=1=4===,
31208714
�8
��
12+21+�12+2×1+12+219
=2=242442422222=
314
������8������
��
�
111162
=3=242==.
3567
��8�
��1942
或=2=1=1=3=1�==.7分
1414147
�1�2−3��−��−−
11491427
�
1941+18+1231
�=1+2+3==.10分
1414141414
(�III�)1=×213分××
(19)(�共15�分)
2=4
2
根据题可得=,分
(I)22
��
222
�=+,
22
解得=22,=�2,椭�圆�的标准方程+=1.5分
84
��
(II)将�曲线的�方程变为为�2+22=8,点,的坐标分别为0,2,0,2.
=+4,
由�得1+22�2+1�6+24=�0�.7分−
2+22=8,
���
����
因为�直线与�曲线交于不同的两点,所以=16241+2224>0,
3
即2>.8分�Δ�−�×
2
设点�,的坐标分别为1,1,2,2,则1=1+4,2=2+4,1+2=
1624
, =.9分
1+22121+22
−���������������
+23
直线���的方程�为+2=1,点的坐标为1,1.10分因为直线和直线
11+2
�2+2�
的斜率分别为=2,=1.
������3���
�−2�1
��2�+2���
所��以=�2+111�分−
3
�−2�1
����
�−���+2+64+6+
=2+1=1212
33
��2��1���1�2�
42+
=+1212分����
312
��
��1
��
16
2
41+22
=+2−4�=0.即=.
3×
1+22�
�������
所以,,�三点共线.13分
所以设���与的高相等,14分
所以1=△���15分△���
�2��
(20)(共�15�分�)
1
解:(I)当=2时,=e1,
2
−�
11
所以′�=e��e.�1分−
22
−�−�
1
′0�=�,0=−1.3�分
2
1
所�以曲线�=−在点0,0处切线的方程为=1.4分
2
(II)当>�0时�,�的定义�域为,0.5分��−
11
���′−=∞1+=>0.
−�
所以的单调递减区间为��−分
,06��
当<�0�时,的定义域为−0∞,+.
11
���′∞=1+=
−�
′��−′
所以0,1时,>0;1,+时,�<�0.
所以�∈的单调递�增�区间为�∈0,1;单∞调递减�区�间为1,+.8分
1
(III)令��=+lne∞
−�
要使得不ℎ等�式−�−��恒−成��立,即1成立,9分
′�1�≤e��分ℎ�≤−
=1−�.10
ℎ当�>0时−,��的−定�义域为,0.
所以�′<�0,�在,0−上∞单调递减.
��1�1�11−∞
因为=+2>0,所以>0不合题意.123
�
ℎ−�����
当<0时,的定义域为0,+.
因为�0,1��时,′>0;1,∞+时,′<0.
所以�∈的单调递�增�区间为�∈0,1;单∞调递减�区�间为1,+.
1
所以��=1=1+ln.133∞
maxe
111e+1
设��=1+l�n−,则−�′−=�+=,
ee2e2
�
11
因为��−,−�
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