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文档简介

2025-2026学年第二学期试卷高三数学

2026.03

本试卷共6页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上,在试

卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符

合题目要求的一项。

(1)已知集合==log2+1,={+23>0},则=

(A)1,3(B�)2�,∣�1���∣��−�∪�

(C)−,2−3,−+(D),21,+

(2)已−知∞复−数满∪足1∞++⋯2=−∞,则−在复∪平−面内∞,复数对应的点位于

(A)第一象限�(B)第二象�限���

(C)第三象限(D)第四象限

(3)下列函数中,是奇函数且最小正周期为的是

(A)=2sincos(B)=cos�

3

(C)��=tan2�(D)��=��

(4)已�知�,�,且��>,�则下列不等式恒成立的是

+11

(A)��∈�(B)�>�

22+12+1

��

(C)2≥>�2�(D)�>�

��

22

������

(5)若双曲线22=1的离心率为2,则其渐近线方程为

��

(A)=(B�)−=�3

32

(C)�=±�(D�)±=�

32

(6)在�±�中,�=±120�,+2=6,sin=4sin,则=

(A)1△3�(B�)�21������

(C)17+43(D)1743

(7)矩形中,=6,=3,且=2,则=

99

(A)(B)��𝐵����������⋅��

24

(C)6(D)3

(8)设等差数列的公差为0,其前项和为,则“>0”是“存

在最小值”的

����≠������

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件

(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件

1

(9)在平面直角坐标系中,若对任意的点1,>0且1,都存在

,2log>0且1,使得=0,且�=,则

22𝑥������≠

�(A)�=1�(�B)�=2�≠��⋅������

22

(C)��=1(D)��=1

(10)�三�角形的重�心�是指三角形三条中线的交点,垂心是指三条高的交点,且已知三

角形的重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.

在平面直角坐标系中作,==6,点3,2,点1,2,且其“欧拉

线”与圆:+2+++22=2相切.则圆上的点到直线+6=0

的距离的最小值为△��������−�−

��������−�

2

(A)(B)22

2

3252

(C)(D)

22

第二部分(非选择题共110分.

二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。

26

(11)2的展开式中,常数项为_____.

�2

(12)已�知−抛物线:=4上一点0,0到焦点的距离为4,则0=_____.

(13)已知是任意�角�,且�满足cos�+��=sin,�则常数的一个取�值为_____.

3

(14)长方体�1111的底�面�⋅是一�个正方形,其�边长为4,长方体的

高为22,联结各表面的中心构成一个八面体,则这个八面体的表面积为八面体

��𝐵−������𝐵

的体积和长方体的体积之比为_____。

(15)若非空实数集中存在最大元素和最小元素,记=.

①已知={0,1},�={1,},且�=,则�=0;Δ��−�

②已知�=2,�,−=�=2,Δ�,Δ则�存在实�数,使得<1;

③已知�={�−���,∣��1,�1∈},�若=2,则�对任意Δ�1,1,都

��∣��≥���∈−Δ��∈−

④已�知�≥�是等�比数列的前项和,==,,则存在等比数列

,使得1;其中所有不正确的命题是_____.∗

�������∣����∈�

��Δ�≤

三、解答题共6小题,共85分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

(16)(本小题14分)

如图,在四棱锥中,底面是一个等腰梯形,//,=

2,===1,为的中点.

�−��𝐵��𝐵𝐵����

𝐵����𝐵���

(I)求证://平面;

(II)若��平面�𝐵.

��⊥��𝐵

(i)求证:平面;

(ii)求二面��角⊥���的余弦值.

(17)(本小题1�3分−)��−�

已知函数=2sin2+<,从条件①、条件②、条件③这三个条

2

件中选择一个作为已知,使函数存在.

�����

(I)求的值.��

(II)设�=4cos2+2,求在区间,0上的最大值和最小值.

2

条件①�:��是�偶函−数;���−

条件②:的图象上所有点向右平移个单位长度,所得函数是奇函数;

��8

3

条件③:��在区间,上单调递增.

88

��

注:如果选�择�的条件不符−合要求,得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解

答,按第一个解答计分.

(18)(本小题13分)

2024年联合国教科文组织第46届世界遗产大会上,我国申报的“北京中轴线一一

中国理想都城秩序的杰作”被正式列入《世界遗产名录》.北京中轴线坐落于北京

老城中心,全长7.8公里,始建于13世纪,是统领老城整体规划格局的建筑与遗址的

组合体.它共包含15处遗产点,可分为、、、、五种类型,具体如下

表:

�����

类古代古代皇家祭祀古代国家礼仪和公共建筑居中

型皇家宫建筑城市管道路遗

苑�建筑�理�设施��存

中故景太社天先钟万端天外天正永中

轴宫山庙稷坛农鼓宁门安金安阳定轴

线坛坛楼桥门水门门门线

遗桥广南

产场段

点及道

建路

筑遗

群存

某研学团队计划随机选取3处遗产点开展研学活动.

(I)若从15处遗产点中随机选取,求选取的3处遗产点均为类的概率;

(II)若从、、这三类遗产点中随机选取3处,设选取�的3处遗产点的类型种

数为,求的分布列及数学期望;

���

(Ⅲ)该�研学�团队通过调查发现:所有参观北京中轴线的人群可分为老年人、中年人、

青少年三个群体,其人数比值为1:2:1,同时,这三个群体选择参观类或类遗产点

的频率分布如下表:

��

人群老年人中年人青少年

只参观类型遗产点60%25%30%

只参观类型遗产点20%45%30%

两类遗产点都参观20%30%40%

用频率估计概率,若从所有参观类或类遗产点的人群中随机选取1人,记“只

参观类型遗产点”的概率为1,“只参观类型遗产点”的概率为2,请

��

根据表中信息,判断1与2的大小关系.(结论不要求证明)

����

(19)(本小题15分)��

22

已知椭圆:2+2=1>>0与轴的交点为,(点位于点的上方),且

��

2

=4,椭圆�的�离心率为.

���2�����

(�I)�求椭圆的标准方程;

(II)若直线�=+4与椭圆交于不同两点,,直线=1与直线交于

1

点.设与的面积分别为1,2,比较与的大小,并说明

�������2�����

理由.

�△���△��������

(20)(本小题15分)

1

已知函数=+ln,=e1,0.

−�

(I)当=2�时�,求−曲�线=−��在点��0,�0�处−的切线�方≠程;

(II)讨�论的单调性�;���

(III)是否�存�在,使得不等式恒成立,若存在,求出的所有值;不存在,

请说明理由.

���≤���

(21)(本小题15分)

设为正整数,数列1,2,,4+2是公差不为0的等差数列,若从中删去两项

和<后剩余的4项可被平均分为组,且每组的4个数都能构成等差数

���…��

列,则称数列1,2,,4+2是,可分等差数列.

��������

��…����

(I)说明数列1,2,,6是不是1,2、1,6、2,4、5,6可分等差数列;

(II)当,�,0�…�时,证明:数列1,2,,4+2是4+1,4+2可分

等差数列;

��∈�≤�≤�≤���…����

(III)当2时,数列1,2,,4+2是,可分等差数列,证明:满足条件的,

个数不少于2++1个。

�≥��…������

2025-2026学�年第�二学期

高三数学参考答案及评分标准2026.3

一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分)

(1)D(2)B(3)A(4)D(5)A

(6)B(7)C(8)°C(9)C(10)D

二、填空题(共5小题,每小题5分,共25分)

3

(11)60(12)23(13)6均可(14)16✓2,1:6

2

(15)①②③(注:对一个�2−分,�对二∈�个3分,有选错0分)

三、解答题(共6小题,共85分)

(16)(共14分)

(I)取的中点,连接,.

因为��为的中�点,��𝐵

1

所以�=��,//.1分

2

因为��//�,���=2��,

所以𝐵//��。��=𝐵

所以四𝐵边形��𝐵是平�行�四边形.2分

所以//��。�3�分

且�⊄�平�面�,平面.4分

所以��://平面𝐵���⊂𝐵�

��𝐵�

(II)(i)因为平面.

所以��⊥.5分��𝐵

因为底��面⊥��是一个等腰梯形,//,=2,==1

所以��=𝐵,=36分𝐵����𝐵��𝐵

3

所以∠���=90�,�即7分

又因为∠���,面��,⊥��=.8分

����⊂�����∩���

所以知平面.

(ii)由(i�)�知⊥平��面�.

所以��.⊥��𝐵

如图建��立⊥空�间�直角坐标系.

则0,0,1,0,3,0,1�,0−,0��.�

所以�=�1,3,0,�=1,0,1,=0,3,0.9分

设平面��−的法向量为��=,−,,则��

�=�0�,����

即+3=0,10分

=0,=0.

�⋅��−��

令�⋅�=�3,则=�1−,�=3.于是=3,1,3.11分

7

因为�为平面��的法向量,且�cos<,>==,13分所以二面角

7

��⋅�

7

��的余弦值�为��.14分�����⋅��−

7

(�1�7)−(共�13分)

(I)解:选择②1分

将函数=2sin2+<的图象上所有点向右平移个单位长度,

28

��

可得到函�数�=2sin�2��+=2sin2+,2分

84

��

由函数=�2sin2+�−为奇�函数,则�=�−,4分

44

��

可得=�+��,又−因为<,则�=−.5分���∈�

424

���

解:选�择③1�分��∈���

33

由,,可得2++,+2分

8844

����

3

�∈在区−间,上�单调�递∈增−,且�的�最小正周期为3分

88

��

3

所��以+−=+2,,+�=�+2,4分�

4242

����

所以−=5�分−���∈�����∈�

4

(II)解�:由(1)可知,=2sin2+=sin2+cos2,

4

则=4c�os�2+2=sin2�+cos22�+2cos2�+2=sin2cos2 =

2sin28分

4

�����−���−��−�

5

由�−,0,可得2,9分

2444

����

5

当2�∈−=时,�−取最∈大−值1,此−时=11分

442

���

当2�−=−时,��取最小值2,此�时−=13分

428

���

(18)(�共−13分−)��−�−

解:(I)设这3个遗产点都在D类为事件,1分

3204

=6==.3分�

3571391

�15

(�II)�=�1,2,3,×4×分

�3441

=1=4===,

31208714

�8

��

12+21+�12+2×1+12+219

=2=242442422222=

314

������8������

��

111162

=3=242==.

3567

��8�

��1942

或=2=1=1=3=1�==.7分

1414147

�1�2−3��−��−−

11491427

1941+18+1231

�=1+2+3==.10分

1414141414

(�III�)1=×213分××

(19)(�共15�分)

2=4

2

根据题可得=,分

(I)22

��

222

�=+,

22

解得=22,=�2,椭�圆�的标准方程+=1.5分

84

��

(II)将�曲线的�方程变为为�2+22=8,点,的坐标分别为0,2,0,2.

=+4,

由�得1+22�2+1�6+24=�0�.7分−

2+22=8,

���

����

因为�直线与�曲线交于不同的两点,所以=16241+2224>0,

3

即2>.8分�Δ�−�×

2

设点�,的坐标分别为1,1,2,2,则1=1+4,2=2+4,1+2=

1624

, =.9分

1+22121+22

−���������������

+23

直线���的方程�为+2=1,点的坐标为1,1.10分因为直线和直线

11+2

�2+2�

的斜率分别为=2,=1.

������3���

�−2�1

��2�+2���

所��以=�2+111�分−

3

�−2�1

����

�−���+2+64+6+

=2+1=1212

33

��2��1���1�2�

42+

=+1212分����

312

��

��1

��

16

2

41+22

=+2−4�=0.即=.

1+22�

�������

所以,,�三点共线.13分

所以设���与的高相等,14分

所以1=△���15分△���

�2��

(20)(共�15�分�)

1

解:(I)当=2时,=e1,

2

−�

11

所以′�=e��e.�1分−

22

−�−�

1

′0�=�,0=−1.3�分

2

1

所�以曲线�=−在点0,0处切线的方程为=1.4分

2

(II)当>�0时�,�的定义�域为,0.5分��−

11

���′−=∞1+=>0.

−�

所以的单调递减区间为��−分

,06��

当<�0�时,的定义域为−0∞,+.

11

���′∞=1+=

−�

′��−′

所以0,1时,>0;1,+时,�<�0.

所以�∈的单调递�增�区间为�∈0,1;单∞调递减�区�间为1,+.8分

1

(III)令��=+lne∞

−�

要使得不ℎ等�式−�−��恒−成��立,即1成立,9分

′�1�≤e��分ℎ�≤−

=1−�.10

ℎ当�>0时−,��的−定�义域为,0.

所以�′<�0,�在,0−上∞单调递减.

��1�1�11−∞

因为=+2>0,所以>0不合题意.123

ℎ−�����

当<0时,的定义域为0,+.

因为�0,1��时,′>0;1,∞+时,′<0.

所以�∈的单调递�增�区间为�∈0,1;单∞调递减�区�间为1,+.

1

所以��=1=1+ln.133∞

maxe

111e+1

设��=1+l�n−,则−�′−=�+=,

ee2e2

11

因为��−,−�

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