中考数学课件第21课相似

第21课相似 1.比例线段四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，如

(或a:b＝c:d)，那么这四条线段叫作成比例线段，简称比例线段.1.下列四组线段中，不成比例的是()A.3，6，2，4B.1，C.1，2，3，9D.3，6，4，8 C2.平行线分线段成比例(1)基本事实：三条平行线截两条直线所得的对应线段的比相等；(2)平行于三角形的一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段的比相等.2.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE＝____.3.相似的概念与性质(1)相似的概念：形状相同(大小不一定相同)的图形称为相似图形；(2)相似多边形的性质：①对应角相等，对应边的比相等；②周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方；③对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比都等于相似比.3.(1)如图，△ADE∽△ABC，AE＝4cm，EC＝2cm，BC＝3cm，∠C＝40°，∠AED＝____，DE＝_____.(2)(2024重庆)若两个相似三角形的相似比是1:3，则这两个相似三角形的面积比是______.40°2cm1:94.相似三角形的判定4.请根据条件证明图中两个三角形相似.证明：∵∠D＝180°－30°－70°＝80°，∴∠A＝∠D. ∴△ABC∽△DEF. 在△ABC和△DEF中，∴△ABC∽△DEF. 证明：在△ABC和△DEF中，

，(3)已知AE与BD交于点C；∴△ABC∽△EDC. 证明：在△ABC和△EDC中，

(4)已知DE∥AC. 证明：∵DE∥AC，

∴△ABC∽△DBE.5.相似三角形常见的基本图形

1.A字型及其变形 2.X字形及其变形 3.母子型4.双垂直型 5.一线三等角型6.旋转型 5.下列不能判定两个三角形相似的是()A.

已知DE∥AB

B.

已知∠ACD＝∠BC.已知∠1＝∠2D.点B在线段AD上 ..

C6.位似的概念

两个多边形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行或在同一直线上，这样的相似叫作位似，这个交点叫作位似中心.6.如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA:AA′＝1:2，则△ABC和△A′B′C′的周长之比为______.1:37.(2024云南)如图，AB与CD相交于点O，且AC∥BD.若

，则

＝____. 8.如图，直线AD,BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1,FD＝2，则

的值为____.9.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F.若AB＝4，则EF的长为(

)A.

B.1C.

D.2 B11.(2024广州)如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2.求证：△ABE∽△ECF.证明：∵BE＝3，EC＝6，CF＝2，

∴BC＝BE＋CE＝3＋6＝9. ∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝9，∠B＝∠C＝90°. ∴△ABE∽△ECF. ∵

，

∴

. 12.如图，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD.(1)求证：AD2＝DE·DC；

证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝∠ADE＝90°，AB＝DC. ∴∠ABD＋∠ADB＝90°. ∵AE⊥BD，

∴∠DAE＋∠ADB＝90°. ∴∠ABD＝∠DAE. ∴△BAD∽△ADE. ∵AB＝DC，∴AD2＝DE·DC. ∴

，即AD2＝DE·BA. (2)若F为线段AE延长线上一点，且满足EF＝CF＝

BD，求证：CE＝AD.证明：(2)如图，连接AC，交BD于点O，

∵∠ADE＝90°，∵∠DAE＋∠ADB＝90°，∵∠FEC＝∠AED.∴∠ADB＝∠FEC. ∴OA＝OD＝EF＝CF.∴∠ADO＝∠OAD，∠FEC＝∠FCE. ∴∠ADB＝∠AED. ∴∠DAE＋∠AED＝90°. 在矩形ABCD中，OA＝OD＝

BD，

∵∠ADO＝∠FEC，∴∠ADO＝∠OAD＝∠FEC＝∠FCE. ∴△ODA≌△FEC(AAS).∴CE＝

AD. 在△ODA和△FEC中，13.如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法错误的是(

)A.△ABC∽△A′B′C′ B.点C，O，C′在同一直线上

C.AO:AA′＝1:2 D.AB∥A′B′C14.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O.若点A(－3，1)的对应点为A′(－6，2)，则点B(－2，4)的对应点B′的坐标为(

)A.(－4，8) B.(8，－4) C.(－8，4) D.(4，－8) A15.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC与BD相交于点O，F为BC的中点，连接AF与BD相交于点E，连接CE并延长交AB于点G.求证：(1)△BEF∽△BCO；

证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC，AC⊥BD. 又∵∠ABC＝60°，

∴△ABC是等边三角形. ∴AB＝AC. ∵F为BC的中点，∴AF⊥BC. ∴∠BFE＝∠BOC＝90°. 又∵∠EBF＝∠CBO，∴△BEF∽△BCO. (2)△BEG≌△AEG.证明：(2)∵BO⊥AC，AF⊥BC，∴CG⊥AB. ∴∠BGE＝∠AGE＝90°. 又∵△ABC是等边三角形，∴BG＝AG. ∴△BEG≌△AEG(SAS). 在△BEG和△AEG中，16.如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，点D是BC边上的一个动点(不与B，C重合)，在AC上取一点E，使∠ADE＝30°.(1)求证：△ABD∽△DCE；

(1)证明：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，

∴∠B＝∠C＝30°. ∵∠BAD＋∠B＝∠CDE＋∠ADE，

且∠B＝∠ADE＝30°，∴∠BAD＝∠CDE. ∴△ABD∽△DCE. (2)设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)解：过点A作AF⊥BC于点F，如图. 在Rt△ABF中，∠B＝30°，AB＝2，

∵△ABD∽△DCE，

∴BF＝.∴BC＝2. ∴

.∴

. ∴y＝

x2－x＋2(0＜x＜2). (3)当△ADE是等腰三角形时，直接写出AE的长.(3)解：当△ADE是等腰三角形时，AE＝

或AE＝4－2.19.在△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，则需要增加的一个条件是_______________________.(写出一个即可) AF＝

AC(答案不唯一)20.(2025广东)如图，把△AOB放大后得到△COD，则△AOB与△COD的相似比是______. 1:321.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，

BC＝4.在Rt△MPN中，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F.当PE＝2PF时，

AP＝____.324.如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上)，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为10m，则旗杆高度为()A.6.4mB.8mC.9.6mD.12.5m B25.(2024山西)黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图所示的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“丶”的位置在AB的黄金分割点C处，且

，若NP＝2cm，则BC的长为________cm.(结果保留根号) 26.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(2，2)，B(4，0)，C(4，－4).以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的

，得到△A1B1C1. (1)请在图中y轴右侧画出△A1B1C1；

(2)若点P(m，n)在△ABC上，则点P在(1)中△A1B1C1内部的对应点P1的坐标为_______. 解：(1)如图所示. 27.(2024广东)如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位．经测量，∠ABQ＝60°，AB＝5.4m，CE＝1.6m，GH⊥CD，GH是另一个车位的宽，所有车位的长、宽相同，按图示并列划定．

根据以上信息解答下列问题：(结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73) (1)求PQ的长；

解：(1)如图，过点D作DT⊥QM交QM于点T. ∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD. ∴DE＝CD＋CE＝AB＋CE＝7(m)，∠DET＝∠ABQ＝60°. ∵∠P＝∠Q＝∠DTQ＝90°，∴四边形PDTQ是矩形.∴DT＝DE·sin∠DET＝

(m). ∴PQ＝DT＝

≈6.1(m). (2)若该充电站有20个停车位，求PN的长. 解：(2)由(1)得，∠CEB＝∠ABQ＝60°，∴∠CBE＝90°－60°＝30°. 在Rt△ABQ中，BQ＝AB·cos∠ABQ＝