初中数学函数应用练习题合集

初中数学函数应用练习题合集函数是描述变量之间依赖关系的重要数学工具，其应用广泛渗透在我们生活的方方面面。通过解决实际问题中的函数应用，不仅能深化对函数概念及性质的理解，更能提升运用数学知识分析和解决问题的能力。本合集精选了初中阶段常见的函数应用题型，涵盖一次函数、反比例函数及二次函数的初步应用，旨在帮助同学们巩固基础，掌握解题方法与技巧。一、一次函数应用题一次函数因其简单明了的线性关系，在实际生活中有着极为广泛的应用，如行程问题、工程问题、经济利润问题等。例题1：行程问题一辆汽车在普通公路上行驶了一段时间后，驶入高速公路。汽车在普通公路上的行驶速度为每小时a千米，在高速公路上的行驶速度为每小时b千米（b>a）。已知汽车在普通公路上行驶的路程比在高速公路上行驶的路程少c千米，且在普通公路上所用的时间比在高速公路上所用的时间多d小时。设汽车在高速公路上行驶的路程为x千米，所用时间为t小时。（1）分别写出汽车在普通公路上行驶的路程和所用时间（用含x或t的代数式表示）；（2）若a、b、c、d均为已知常数，试求出汽车在高速公路上行驶的时间t（用含a、b、c、d的代数式表示）；（3）若a=60，b=100，c=80，d=1，求出汽车在高速公路上行驶的时间t以及总路程。思路点拨：行程问题的基本关系是“路程=速度×时间”。对于（1），根据题目中“普通公路上行驶的路程比在高速公路上行驶的路程少c千米”可直接写出普通公路路程；再根据“时间=路程/速度”及“普通公路上所用的时间比在高速公路上所用的时间多d小时”可写出普通公路所用时间。对于（2），利用（1）中得到的两个关于普通公路时间的表达式，建立等式求解即可。（3）则是将具体数值代入（2）的结果进行计算，并进一步求出总路程。例题2：经济销售问题某商店销售一种进价为m元/件的商品。经市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间满足一次函数关系。当销售单价为n元时，每天可售出p件；当销售单价为q元时，每天可售出r件。（1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）若商店每天想要获得s元的利润，销售单价应定为多少元？（利润=（售价-进价）×销售量）（3）为了薄利多销，且保证每天利润不低于t元，该商店对销售单价有何建议？思路点拨：（1）已知y与x成一次函数关系，可设y=kx+b（k≠0），将两组已知的（x，y）值代入，解方程组即可求出k和b。（2）根据“利润=（售价-进价）×销售量”，将（1）中得到的y关于x的表达式代入，得到利润关于x的函数关系式，再令其等于s，解方程即可。（3）同样列出利润关于x的函数关系式，令其大于等于t，得到一个不等式，解不等式并结合“薄利多销”的原则确定销售单价的范围。例题3：方案选择问题某通讯公司推出两种移动电话计费方式：方式一：月租费30元/月，本地通话费0.3元/分钟；方式二：月租费0元/月，本地通话费0.4元/分钟。设某用户一个月内本地通话时间为x分钟，按方式一计费的费用为y₁元，按方式二计费的费用为y₂元。（1）分别写出y₁、y₂与x之间的函数关系式；（2）在同一坐标系中画出这两个函数的图象（草图即可）；（3）根据通话时间，该用户选择哪种计费方式更合算？思路点拨：（1）根据两种计费方式的收费标准，直接写出函数关系式。y₁是月租费加上通话费，y₂仅为通话费。（2）画一次函数图象，通常找出与坐标轴的交点或两个易于计算的点。（3）比较y₁和y₂的大小，分三种情况讨论：y₁>y₂、y₁=y₂、y₁<y₂，解出对应的x取值范围，即可给出选择建议。二、反比例函数应用题反比例函数常用来描述两个成反比例关系的变量，如路程一定时，速度与时间的关系；总价一定时，单价与数量的关系等。例题4：基本概念应用一个矩形的面积为12，设它的一边长为x，另一边长为y。（1）写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；（2）当x=3时，求y的值；（3）当y=5时，求x的值。思路点拨：（1）根据矩形面积公式“面积=长×宽”，可得xy=12，变形即可得到y与x的反比例函数关系式。自变量x的取值范围需满足实际意义，即x>0。（2）、（3）小题直接将已知值代入函数关系式求解即可。例题5：工程问题某工程队承建一项工程，计划在一定时间内完成。如果每天修建10米，那么将按期完成；如果每天修建15米，那么可提前4天完成。设原计划完成这项工程需要x天，工程总量为y米。（1）求y与x之间的函数关系式；（2）求原计划完成这项工程的时间x和工程总量y。思路点拨：（1）工程总量y=每天修建长度×天数。根据“每天修建10米，按期完成”可得y=10x。这是一个正比例函数，也是特殊的一次函数。但如果从另一个角度，若设每天修建的长度为a米，完成时间为t天，则y=at，当y一定时，a与t成反比例关系。本题（1）问直接根据第一种情况即可写出y与x的关系。（2）根据“每天修建15米，提前4天完成”，可表示出此时的完成时间为（x-4）天，故y=15(x-4)。联立两个关于y的表达式，即可解出x和y。例题6：物理背景应用在某一电路中，当电压U一定时，电流I（安培）与电阻R（欧姆）成反比例关系。已知当电阻R=5欧姆时，电流I=2安培。（1）求I与R之间的函数关系式；（2）当电阻R=10欧姆时，求电流I的值；（3）当电流I=0.5安培时，求电阻R的值。思路点拨：（1）由物理知识知，当电压U一定时，I=U/R，即I与R成反比例关系。将已知的R=5，I=2代入，可求出U的值，进而得到I与R的函数关系式。（2）、（3）小题将已知值代入（1）中所求的函数关系式即可求出对应的未知量。三、二次函数初步应用题二次函数在解决最值问题中有着重要应用，如最大利润、最大面积等。例题7：最大利润问题某商店经营一种小商品，进价为每件20元。经市场调查发现，这种小商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足关系y=-10x+500（20≤x≤50）。设每天销售这种小商品的利润为w元。（1）求w与x之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？思路点拨：（1）利润w=（销售单价x-进价20）×销售量y，将y=-10x+500代入，即可得到w关于x的二次函数关系式，并化简。（2）对于二次函数w=ax²+bx+c（a≠0），当a<0时，抛物线开口向下，函数在x=-b/(2a)处取得最大值。根据（1）中得到的函数关系式，确定a、b的值，求出对称轴，判断其是否在自变量x的取值范围内（20≤x≤50），进而求出最大值及对应的x值。例题8：几何图形面积问题用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18米。设矩形菜园与墙垂直的一边长为x米，菜园的面积为S平方米。（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，菜园的面积S最大？最大面积是多少？思路点拨：（1）设与墙垂直的边长为x米，则与墙平行的边长为篱笆总长减去两个垂直边的长度，即（30-2x）米。但要注意，与墙平行的边长不能超过墙长18米，同时x本身要大于0，30-2x也要大于0，由此可确定x的取值范围。面积S=x(30-2x)，展开后即可得到S关于x的二次函数关系式。（2）根据二次函数的性质求最大值。先将函数关系式化为顶点式或利用对称轴公式求出对称轴x=-b/(2a)，判断其是否在自变量取值范围内，若在，则该点处取得最值；若不在，则在端点处取得最值。四、综合应用与拓展例题9：函数图象信息题小明从家出发去学校，途中遇到同学小强，两人一起步行到学校。小明离家的距离y（米）与时间x（分钟）之间的关系如图所示（假设图中为折线）。请根据图象回答下列问题：（1）小明在出发后第几分钟遇到小强？此时离家多远？（2）求出小明遇到小强前的速度和遇到小强后的速度；（3）小明家到学校的距离是多少？小明从家到学校一共用了多少时间？思路点拨：这类问题关键在于理解函数图象中横、纵坐标的实际意义，以及图象上特殊点（如起点、终点、转折点、交点）的含义。横轴是时间，纵轴是离家距离。图象的折线段通常表示不同的运动状态。（1）遇到小强意味着运动状态改变（通常是速度变化），对应图象上的转折点。（2）速度=路程差/时间差，根据转折点前后的线段分别计算。（3）终点的纵坐标即为家到学校的距离，终点的横坐标即为总时间。例题10：跨函数类型应用题某游泳池有水600立方米，现打开排水管以每小时x立方米的速度排水，同时打开进水管以每小时y立方米的速度进水（y>x）。（1）若y=20，游泳池的水量w（立方米）与排水时间t（小时）的函数关系式为w=600+(20-x)t。请问这里的(20-x)表示什么实际意义？（2）若x=15，经过8小时后，游泳池水量变为720立方米，求进水管每小时的进水量y；（3）在（2）的条件下，若要在5小时内使游泳池水量达到800立方米，排水速度x最多可设置为多少？此时x与y的函数关系属于什么类型？思路点拨：（1）通过对函数关系式的分析，理解各参数的意义。(20-x)是进水速度与排水速度的差，即每小时净增加的水量。（2）将已知的x、t、w的值代入关系式，解方程求出y。（3）根据题意列出不等式600+(y-x)×5≥800，将y的值代入，解关于x的不等式，求出x的最大值。此时，若将w视为固定目标，t也固定，y已知，则可得到x与某个量的关系，判断其函数类型。解题思路总结解决函数应用题，通常可遵循以下步骤：1.审题：仔细阅读题目，理解题意，明确问题中的已知量、未知量以及它们之间的关系。找出题目中的关键信息和关键词。2.建模：将实际问题抽象为数学问题，即建立函数模型。*确定自变量和因变量。*根据题目中的等量关系，列出函数关系式。注意自变量的取值范围要符合实际意义。3.求解：运用函数的性质（如单调性、最值、与坐标轴交点等）或相关数学方法（如解方程、解不等式等）解决所建立的数学模型。4.检验与作答：将求解结果代回到实际