人教版2026届中考数学二轮复习讲义：三角形相似模型综合

第6讲三角形相似模型综合

【2026届习题1】如图，在中，上8AC=45O,30、CE分别是AC、人8边上的高，连接DE,若8c=2,

则。E的长为()

A.s/5B.1C.D.：

【答案】C

【分析】根据垂直及各角之间的关系可得aACE与是等腰直角三角形，得出如「■直，利用相似三角

AB2

S

形的判定和性质可得△AO££U48C,''一"一"，代人求解即可得到答案.

BCAC2

【详解】解："BD、CE分别是AC、AB边上的高，

：±AEC=±AI)B=9(X3,

±ZMC=450.

:XACE与是等腰直角三角形，

\AC-44E'+«7-=&AE,AB=<J,41^-♦DB,=j2AD,

,A£ADJi

ACAB2

又":上①£=±/MC,

：XADEsRABC

DEAEJ2

..—r"—-",

BCAC2

*-•BC=

：DE=及，

故选：C.

2026届中考教学二轮复习

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握运用各个

知识点是解题的关键.

[2026届习题2】如图，矩形ABCD中，AD=2,AB=4,AC为对角线，E、F分别为边A8、CD上的动点,

且EF±AC于点连接AF.CE,求七的最小值是.

【答案】5

【分析】A”与EC两条线段不在同一条直线上，只需将两条线段转换在同一条直线上即可，作CGHEF,且CG二所，连

接AG,又因点尸是OC上是一动点，由三角形的边与边关系只有当点F在直线47上时，4F+产G最小,

由平行四边形CEFG可知产G=EC时，可求AF+C石的最小值

【详解】解：如图所示：过点、C作CG//EF,且CG=EF,连接〃G,

设。尸二X,则〃。二4一x,

当点A、F、G三点共线时，AF+FG的最值小,

VCG//EF,且CG二£7"

:四边形CEFG是平行四边形；

:ECT.FG,EC=FG,

又•・•点4、F、G三点共线，

,AF//EC,

义:国边形ABCD是矩形，

:AE/IDC，/。=兜，

:吗边形AECF是平行四边形，

KYEFJ,AC,

:四边形AECF是菱形，

:AF=FC=4-x,

在R"ADF中，由勾股定理得：

4D2+DF1-AF2,

又,；AD=2,DF=x,则A/7=4一1,

:22+x2=(4-x)2,

解得：x

5

:A/二5，

2026届中考数学二轮复习

在R/&AOC中，由勾股定理得，

AC2=Aiy+DC2=22+42,所以AC=2

8：.AM=6,

又♦：MFHCG,

：.±AMF=±ACG,±AAM=±AGC,

・•・△AW/MACG,

.AMAF

•・----■----,

ACAG

5

即4.2.

275AG

：.AG=5,

又=AF+FG,FG=EC,

AAF+EC=5,即最小值是5,

故答案为：5.

【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理和最短距离问

题等知识点，解题的关键是掌握辅助线的作法以及相似三角形的性质与判定.

【2026届习题3】如图，在RiAABC中，NACB=90。,N84C=60。，AC=6,4。平分NB4C,交边BC于点。，过

点。作C4的平行线，交功千点£.

(1)求线段DE的长；

EF

(2)取线段AO的中点M,连接BM,交线段OE于点F,延长线段交边AC于点G,求h的值.

【答案】(1)4

【分析】(1)根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可：

(2)根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可.

【详解】(1)解：平分N6AC,ZBAC=60°,

，ZDAC=30°,

在mAACO中，NACO=90。，

ZDAC=30°,AC=6,

・・・CO=2j3,

在RfAACB中，ZACB=90°,ZB4C=60°,AC=6,

；・BC=心存

：.BD=BC-CD=413

*：DE//CA,

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DERD2

*E<=BC=3，

•・DE=4;

(2)解:如图.

••点M是线段的中点，

•・DM=AM,

：DE//CAt

.DF_DU

・就一4”

\DF=AG.

：DE//CAt

.EFBFRFRD

'AGHtV'»i~~RC

EFBD

・—・TTZ<

MHC

：BD=4J5,BC=6y[iDF=AG9

•旺二

DF3

【点睛】考查了平行线分线段成比例定理，注意线段之间的对应关系.

【2026届习题4】如图，在平行四边形八8。£）中，点石是八。上一点，AE=2ED,连接8£交AC于点G,延长

BE交CQ的延长线于点入则号的值为（）

2I八13

A.yB.-C.-D.■

【答案】A

【分析】先根据平行四边形的性质得到A8〃C，则可判断△ABGs/XCFG,AABEsADFE,于是根据相似三角

形的性质和4E=2E。即可得结果.

【详解】解：•・•四边形八8C。为平行四边形，

：,AB//CD,

:.MBGs^CFG,

.BGAB

一不一彳

♦；4ABESADFE,

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.AEAB

•・亚・而’

'：AE=2ED,

：.AB=2DF,

.AB2

••----・T

CF3，

.BG2

GF"3'

故选：A.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和

性质进行解题.

【2026届习题5】(1)某学校“学习落实”教学兴趣小组遇到这样一个题目

如图，在AABC中，点。在线段BC上，NBAO=30。，NQ4C=75。，4。=#，BO：CO=2:1,求A8的长经过

数学小组成员讨论发现，过点B作〃4C,交AO的延长线于点，通过构造就可以解决问题(如图2)

请回答：ZADB=°,AB=

(2)请参考以上解决思路，解决问题：

如图3在四边形48CO中对角线AC与4。相交于点。9ACLAD9AO=J9NABC=NACB=75°9BO：OD=2:

1,求。。的长

A

图3

【答案】(1)75,3力：(2)CZ),得-

<»

【分析】(1)根据平行线的性质可得出=NOAC=75。，结合/8OQ=NCOA可得出利用

相似三角形的性质可求出0。的值，进而可得出人。的值，由三角形内角和定理可得出/484=75。=/人/)8,由等

角对等边可得出即可求解；

(2)过点B作交4C于点旦同(1)可得出柱RtAAEB中，利用勾股定理可求出8E的长

度，再在阳△C4。中，利用勾股定理即可求出。C的长.

【详解】解：(1)如图2中，过点8作8O〃AC,交AO的延长线于点。，

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•：BD//AC,

：.ZADB=ZOAC=75°.

•:/BOD;ZCOA,

:.△BODsMOA,

c/nr'

又

：.OD=2AO=275,

：,AD=AO+OD=3*.

•••ZBAD=30°,ZADB=75°,

，ZABD=180°-NBAD-ZADB=75°=ZADB,

：.AB=AD=3j：

故答案为：75,30

(2)如图3中，过点8作4EZMQ交AC于点£

ACLAD,BE//AD,

：.ZDAC=ZBEA=90°.

ZA()D=ZEOB,

:.AAODsAEOB,

i：BO.OD=1：3,

'：AO=Ji,

:,EO=2V5,

：AE=31

*/ZABC=ZACB=75°,

：.ZBAC=30°,AB=AC,

：.AB=2BE.

在RlAAEB中，BE2+AE2=AB2,即(4BE2)2+BE2=QBE)2,

解得：BE=3,

3

：,AB=AC=6tAD=-

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在RtZ\C4O中，AC^+AD2=C£>2,即62+(1)'=C%

解得：。。=浮(负根已经舍弃).

【点睛】本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，掌握平行线的

性质、相似三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键.

【2026届习题6】如图，在平行四边形ABCD中，NABC的平分线交/C于点区交/。于点F,艾3的延长线

BE

于点G,若AF=2FD,则一一的值为()

1123

A.-B."C.~D.-

【答案】C

【详解】解：由A/=2。匕可以假设。广=攵，则4/=2攵，AD=3^,

•・•四边形A8CZ)是平行四边形，

：.AD//BCfAB//CD,AB=CDt

；・N"归二ZFBC=ZDFG,ZA13F=ZG,

，；BE平分NABC,

：.NABF;NCBG,

：.NABF=NAFB=ZDFG=ZG,

：.AB=CD=2k,DF=DG=k,

Z.CG=CE^DG=3k,

■:ABNDG,

:.AABESACGE,

BE.AB2k2

••—―

EGCG3k3

故选：C.

【2026届习题7】已知R/"BC中，上4cB=900,±.CAB=3()0(如茗).以线段为边向外作等边三角形AS。，点

E是线段的中点，连接CE并延长交线段4。于点.

(1)求证：四边形8CFO为平行四边步;

(2)连接C。,交于点.

①若AB=6，求3M的长；

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②作“Nj_4C,垂足为N,求证：——V—=1---------.

BCADMN

【答案】(1)证明见解析；(2)①3例:2;②证明见解析.【

详解】(1)••.△AB。是等边三角形

：.AD=AB=BD,±BAD=±ABD=±Z)=6(X3

在RKABC中,上CAB=300

，±ABC=60O

•・•点七是线段的中点

ACE=BE=AE=-AB

2

:jBCE是等边三角形

.,.上CEB=±CBE=±ABC=(M,BC=CE

：.±ABD=1,CEB=600

・•・CFi/BD

;±CBD+±D=±CBE+±ABD+±P=6(X3+6(0+6(X3=

1800BC//FD

二•四边形8CFZ)为平行四边形；

(2)①如图，连接CO,交于点

,/BCJFD

：.BCM~ADM

•_B_M_-BC

AD

1

BC=CE=-AB,AB=

.ADI3MBC_1

=AMAD

;AB=BM+AM=6

I

/.RM==7;

②如图，作MN_LAC,垂足为N

V±4Cfi=9()O,±GV9=±MC+=3()0+6()0=9()0,MN±AC

，BC/MN//DA

:・AAMN-AABC,ACMN~ACD4

•MN—ANMNCN

'BCACDACA

.MNMNANCNAN+CNAC,

•♦十一十一——1

笈DAACCAAC

-J—二J-.

BCADMN

N

2026届中考数学二轮复习

【2026届习题8】如图，在，ABC中，点。在A8上，请再添一个适当的条件，使△AOC'S/^ACB,那么可添加

的条件是.

【答案】7AC。=7A8C（答案不唯一，也可以增加条件：7Aoe=7AC8或AC2;A/>A8）.

【分析】题目中相似的两个三角形已经有一个公共角，可以再增加一对相等的角，用两组角相等判定两三角形相

似，也可以增加两组对应边成比例，利用两组边对应成比例及夹角汨等判定两三角形相似.

【详解】若增加条件：NACD=NABC,

VZACD=ZABCf且NA=/A,

ACB.

【点睛】本题考查相似三角形的判定，比较简单，熟练掌握相似三角形的三种判定方法是解题的关键.

【2026届习题9】如图，^ABC中，点在边工8上，且7AC。=7A8C,若AC=CAD=\,则QB的长为

,------・

【答案】2

\DAC

【分析】由NACD=NABC、ZA=ZA,即可得出△ABC's△A。。，根据相似三角形的性质可得出一=-----,代入

ACAB

AC.AD的值可求出A3的长，再根据BZ>A8-AQ即可求出结论.

【详解】解：VZACD-ZAHC,N4-N4,

•）△ABCs△A。。，

.AD_AC

"AC"AB'

*：AC=-75,AD=\

,・飞।•"3AB'

・・・A3=3,

：.BD=AB-AD=3-\=2.

故答案为2

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的判定定理是解题的关键.

【2026届习题10】如图，四边形ABCD中，AD//BC,ZB=90°,E为4B上一点，分别以ED、EC为折痕将

两个角（NA、N4）向内折起，点4、3恰好落在CO边的点尸处，若4。=3,8c=5,则E尸的长是（）

A.JI5B2旧CgD2\fl7

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【解析】・・・4O〃8C,

，NADF+NFCB=180。.

根据折登前后的图形全等得到=QA=3,

ZADE=NFDE,CF=CB=5,NBCE;NFCE,NEFC=NB=90c,

・•・NFDE+ZFCE=90°,ZFCE+NFEC=90°,

ZDFE=ZEFC=90°,

:・NFDE=NFEC,

：.ADEFsAECF,

.EF=DF

**CFEF

・•・£尸=O*CF=3x5=15,

：・EF=5故选A

4DIC

【2026届习题11］如图，在RlZXABC中，/ACB=90。，点。在A8上，且丁=~^,

ACAB

(1)求证A4CD^A4BC;

(2)若人。=3,BD=2,求CD的长.

【答案】（1）见解析；（2）R

【详解】(1)•・•缥=管，_bl=_bA./.

Al.AH

ACD~ABC:

(2)ACD-ABC,

A_hvr=上4c3=900,±ACD=±/?,

・•.上O>8:180o-90o=90o=±ACD,

JACDCBD,

.CDRD

・•-T7Z■TTT,即CD2=AD.BO=3x2=6,

X-rV_Lr

•CD=R

【2。26届习题12】dABC中，上45c=g（）O,BD_LAC,点E为BD的中点、,连接A£并延长交于点匕且有AF=CF,过

F点作尸〃」_AC于点从

2026届中考数学二轮复习

(1)求干正：AADEsCDB;

(2)求证：AE=2EF：

(3)若FH=®求的长.

【答案】(I)证明见解析；(2)证明见解析；(3)4.[

详解】证明：(1)^BD±AC,FH±AC,

：±ADE=±_CDB=900,8。IIFH,

**AF=CF,

：±DAE=1DCB,

[±ADE=上CDB

在AAO£和△C£>8中，(

\±DAE=±DCB'

：ADECDB;

(2)二点E为B。的中点，

1

：DE=BE=~BD

,2

由(I)已证：ADECDB,

•-A-D-E-D-E--I

=.CD

ilAD=a(a>0),则CD=2a,AC=AD+CD=3a,

FH1.AC,AF=CF,

：AH=CH=-^-AC=—a(等腰三前形的三线合一

),22

I

：DH=AH-AD=2^,

又；BDFH

a、

:——AE=AD=——=2

EFDHJ_,

a

2

即=2EF;

(3)由(2)已证：AE=2EF,2

：AE=AF

；町1,尸〃3

：44D£AHF,

DEAE

：-----=——,即——=,

FHAF工3

解得DE=一、疗3’

3，

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:BD=2DE=一■万

3

•­•Ay\BC=90O,BD_LAC,

:上方AC+±ABD=±BAC+±C=900

:上ABD=上C,

fJy\DB=±BDC=900

在△A4。和△BC。中，L

\±ABD=±C

:ABD

BCDAD

BD

,BD

CD

由（2）可知，HAD=1Kb>0）,则CO=2h,

b

2b

解得b=2&或。=-2%（不符题意，舍去），

3

34b

：CD=2/?=--

,3

则在册8C。中，BC="

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【2026届习题13】如图，正方形/WC。中，点F是8C边上一点，连接A/，以A尸为对角线作正方形AH'G,边

FG与正方形A8C。的对角线AC相交于点，连接。G.以下四个结论：①上上G4Z);②MFCs块GD

9

③2AE?=AH.AC;®DG±AC.其中正确的个数为()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】①四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，NEAB、ZGAD与NBAG的和均为90°,即可证明NEAB

与/GAD相等：②由题意易得AD=DC,AG=FG,进而可得——=,/DAG=/CAF,然后问题可证；③由

四

ADAG

AFAC

边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，可求证△HAFs^FAC,则有「二尸一r二，然后根据等量关系可求解；

AHAF

④由②及题意知NADG=NACF=45°,则问题可求证.

【详解】解：①•・•四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形

,ZEAG=ZBAD=90°

又「ZEAB=90°-ZBAG,ZGAD=900-ZBAG工ZEAB=ZGAD

・•.①正确

②•・•四边形AEFG和四边形ABCD均为正方

形，AD=DC,AG=FG

，AC=-&ADAF=-JjAG

・4C_曰.万

AD'AG

ACAF

gp—・

1ADAG

义•:ZDAG+ZGAC=ZFAC+ZGAC

JZDAG=ZCAF

丁•AAFCsAAGZ)

••・②正确

③•・•四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，AF、AC为对角线

，ZAFH=ZACF=45°

又丁ZFAH=ZCAF

AAHAF^AFAC

.旦手

AHAb

即A产=

ACAH又丁AF=

及AE

2AE2=AH.AC

，③正确

2026届中考数学二轮复习

④由②知△AFCsAAG。

义•••四边形ABCD为正方形，AC为对角线

AZADG=ZACF=45O

・・.DG在正方形另外一条对角线上

.\DGJ_AC

，④正确

故选：D.

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质综合运用，同时利用到正方形相关性质，解题关绽在于找到需要

的相似三角形进而证明.

【2026届习题14】如图，在四边形ABCD中，AE1BC,垂足为E,ZBAE=ZADC,BE=CE=2,CD=5,AD

=kAB（k为常数），则8。的长为.（用含女的式子表示）

【答案人25+I1：

【分析】连接AC,将AABD绕点A逆时针旋转至4406,连接。G,根据相似三角形的判定与性质求出£>G二如C,然

后根据题意推出NCOG=90。，即可利用勾股定理求解.

【详解】解：如图，连接AC,

VAE..BC,BE=CE=2,

：.BC=4,AE垂直平分BC,AB=AC,

将△ABO绕点4逆时针旋转至△ACG,如图所示，连接OG,

则AD=AG,BD=CG,

由旋转的性质可得：NBAC=/DAG,

*：AB=AC,AD=AG,

.•.△ABCS/\AOG,

.AD_DG

BC'

*：AD=kAB,

:.DG=kBC=4k,

:ZBAE+/A8c=90。,ZBAE=/ADC,

：.ZABC+ZADC=9（）Q,

*：AABC^/\ADG,

•••ZABC=ZADGf

NADG+NADC=90°,

即：ZCDG=90°,

「a二",厅=<25*I6A,

:*BD=CG=.

•G

B

2026届中考数学二轮复习

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，旋转构造辅助线，以及勾股定理解三角形等，掌握相似三角形的判

定与性质是解题关键.

【2026届习题15］如图，在矩形4BCO中,CD=4,E是BC的白点、,连接4E,tanZ4EB=T,P是AO边上

一动点，沿过点尸的直线将矩形折叠，使点。落在AE上的点D'处，当△TIP。’是直角三角形时，PD的值为（

c10418

c•衿D—或

,37

【答案】B

【分析】根据矩形的性质得到A3=CD,ZB=90°,根据勾股定理求得AE,当△4PQ'是直角三角形时，分两种情

况分类计算即可；

【详解】•・•四边形A8C。是矩形，

：,AB=CD,ZB=90°,

VCD=4,tanZAEB^,；・BE=3,

3

在RtMBE中，AE=J：、8H==5,;七是的中点，.X。=6,

由折叠可知，PD=PD,

1殳尸。=x,则PO'=x,4P=6-x,

当△APO是直角三角形时，

①当ZAD'P=90。时，

AZAiyP=NB=90°,

*：AD//BC,

，ZPAD'=NAEB,

；・AABESAPDA,

.AP_PD,

•9-

,AE

AB

•6-x__

•T—9

54

8

•"二j,

：.PD=-;

3

②当NAP。'=90。时,

：.ZAPD'=NB=90。,

,?/PAE:ZAEB,

工△APDsMBA,

.APPD'

••前=

4

2026届中考数学二轮复习

•.2**■

7

:・PD=y；

综上声述：当△4PZ7是直角三角形时，PD的值为:或与；

故选：B.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，准确计算是解

题的关键.

【2026届习题16](1)问题

如图1,在四边形4BCO中，点尸为4B上一点，当上力PC=±A=4=900时，求证：AD.RC=AP.BP.

(2)探究

若将900角改为锐角(如图2),其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由.

(3)应用

如图3.在“IBC中，AB=m,一匕丁=450,以点A为直角顶点作等腰RlZXAQE.点。在8C上，点E在AC上,

2026届中考数学二轮复习

【答案】(1)见解析；(2)成立；理由见解析；(3)5

【分析】(1)由上。PC=±A=±J3=9(0可得上上方PC,即可证到ADP^BPC,然后运用相似三角形的性

质即可解决问题；

(2)由上。PC=上4=上方=。可得二上/2C.即可证到ADPSBPC,然后运用相似三角形的性质即可解决

问题；

(3)证明邑求出。”=4,再证△上/CSAQEC,可求FC=1,进而解答即可.

【详解】解：(I)证明：如图I,

上刃PC=9()0

：±J3PC+±APD=900

±4=9()O,

:1ADP+±APD=900

:上APD=上BPC,

文•'匕=Jto=90O

•AADPsABPC,

：AD.BP=AP:BC

：AD.BC=AP.BP;

(2)结论AD.BC=AP.BP仍改立;

理由：如图2,

「上BPD=±DPC+!BPC

又丁上8PQ=±A+±APD,

：±DPC+±BPC=±A+±APD,

±DPC=±A=a,

:上B尸C=±APD,

又.上A=JL^=O,

,.△ADPsABPC,

：AD:BP=AP:BC

：AD.BC=AP.BP;

(3)：±h7'D=45O,

：±B=±/lZ)E=45O,

:上84)=上EOF

：4BDSADFE

：AB:DF=AD:DE

,/RtZXAQE是等腰直角三角形

：AD:DE=1:-Q

：AB:DF=1:-

AAB=2叵

：DF=4

,/RtAADE是等腰直角三角影

：±AED=450

竺±JiFD=

450

:±/)EC=±EFC=18()0-450=1350

义.•上c=±c

：DECsdEFC

：DC:EC=EC:CF即EC2=FC.(4+FC)

丁EC二&

：5=FC(4+FC)

2026届中考数学二轮复习

：FC=1

解得CD=5.

【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造450角将问题转化为一线

三角是解题的关键.

[2026届习题17】C

【2026届习题18】(1)略⑵、,

[2026届习题19】如图，。。的弦AB、C。相交于点P,已知CP=3,PD=4,AP=2,那么A3:8

[2026届习题20】10

【2026届习题21】如图，已知AA是。O的弦，P是八B上一