高考数学复习讲义：二项式定理 分层训练 （解析版）

专题25二项式定理

【练基础】

一、单选题

1.（2020•全国.统考高考真题）。+亡）（工+»的展开式中xV的系数为（）

x

A.5B.10

C.15D.20

【答案】C

x+匕]与（x+y）s展开式的乘积

【分析】求得（x+.»展开式的通项公式为（7=GX~）,，（「eN且/*K5）,即可求得

为C）6-jr或最工~）"2形式，对「分别赋值为3,1即可求得的系数，问题得解.

【详解】（"4展开式的通项公式为心=玛/了（rwN且/*45）

/2\

所以X+二的各项与（x+y）,展开式的通项的乘积可表示为：

x）

=xC^ryr=C^ryr和21&产Eqy-,y=G-y+2

XX'

在M+产C；产了中，令,=3,可得：M=C；dy3,该项中TV的系数为10,

在+尸Gf-jZ中，令r=1,可得：*7；=C*3y3,该项中Vy3的系数为5

XX

所以的系数为IO+5=15

故选：C

【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.

2.（2022・北京・统考高考真题）若（2]-1）4=〃4/+〃3彳3+%/+。/+即，则%+«2+。4=（）

A.40B.41C.-40D.-41

【答案】B

【分析】利用赋值法可求%+%+4的值.

【详解】令%=1，则《+。3+%+%+/=1，

令x=-1,则4-/+。2-6+/=(-3/=81,

1+81

=41,

故«4+42+%

故选：B.

3.（2023・全国•高三专题练习）（l+x）?+（1+x）3+…+（l+x）9的展开式中V的系数是（）

A.60B.80C.84D.120

【答案】D

【解析】（l+x）2+（l+x）3+…+（l+x）9的展开式中/的系数是C；+C；+C：+…+C；,借助组合公式：C『+C"=C：'，

逐一计算即可.

【详解】（l+x）2+（l+x）3+…+（I+x）9的展开式中/的系数是C；+C；+C：+…+C；

因为+=C2且《=《，所以仁+c；=c；+c；=c,

所以G+c?+Q=c：+c：=C，

以此类推，/+或++…+盘=C；+窃=C；）=10x9x8=120.

3x2x1

故选：D.

【点睛】本题关键点在于使用组合公式：C："+G；=G2,以达到简化运算的作用.

4.（2022秋・广东汕头•高三统考期末）（/+3），）&-2），）6的展开式中的系数为（）

A.60B.24C.-12D.-48

【答案】B

【分析】首先写出（4-2），）6展开式通项，再考虑通项与1+3），相乘得到含45y2的项，即可得系数.

【详解】由（x-2y）6的展开式通项为=C"6T（-2），）,=（-2）「C"6-y,

所以（x+3y）*-2），）6的展开式f）,2项为［4C：—GC：1%5）?,

故系数为4C：-6c：=24.

故选：B

5.（2023秋•重庆永川福三重庆市永JI北山中学校校考期末）若（1-力8=%+6（1+”+生（1+"+…+6（1+"）

则/=（）

A.-448B.-112C.112D.448

【答案】C

【分析】（1-工）8=。-1）8=［（1+到-2匕然后根据二项式展开式项的系数计算即可.

［详解］（l_x）8=C"l）8=［（1+x）_2j=%+4（l+x）+%（l+x）2+…+6（1+4,4=4（-2）2=112.

故选：C.

答案第2页，共21页

6.（2023春•四川绵阳•高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知

（2-力2=4）+4（x+l）+%（x+l『+…+%间（/+1户，则|%|+图+|勾+…+|%>21|=（）

A.2爪2B.1C.22021D.0

【答案】A

【分析】令f=X+l，可得X=-l,可得出（3一严=%+卬+%/+…+。202"必，利用展开式通项可知当〃为奇数

时，生<0,当，•为偶数时，ar>ot然后令/=-1可得出同+同+同+…的值.

【详解】令/=x+l,可得x=/—1,则［2—。一1）了⑼=（3T）2°2，/+卬+/产+…+。讪严I,

二项式（3T严的展开式通项为工产/4⑼-乙㈠）'，则，,=C，,3M〜

当「为奇数时，见〈。，当「为偶数时，可>。，

因此，同+同+同+・・・+|喙|=%-4+4--------«2021=（3+1）2°21=24042.

故选：A.

7.（2022・重庆永川・重庆市永川北山中学校校考模拟预测）已知（1+工严|=%+41+生产+%/+…+%024叫则

“2020+2“2019+3%018^^2017+♦,♦+2020(7]+2021%=()

A.202lx22021B.2021X22020

C.2020x22021D.2020x2””

【答案】B

【分析】根据给定条件结合组合数计算公式变形和式的通项（2021-42021,再借助二项式性质即可得

解.

【详解】依题意，ak=C^keN,k<2021t

»?()?11t

当心1时，(2021M=(202—)4=202cg-k-若；=20214

yZUN1K).K.

2020!

2021-=2021(0^,-C^),

l2020-(Zc-I)J!-(A-I)!

+

于是得/020+2&M9+3%018〃刈？+…+2020勾+202la0=£(202I)《+20214

Lhl

202120212021

=02021(或「啕)]+2021/I=2021工4"一工。猛

\£=OA=l

=2021(22O2,-22O2O)=2021x22020.

故选：B

8.（2022.全国•高三专题练习）已知5,是数列｛q｝的前〃项和，若（1-2%）2以=%+牛¥+8/+―+%2/切，数列｛%｝

的首项q=?+*+•'+^*,/+|=5，/5"+1

则Sa)2]=()

C.2021D.-2021

20212021

【答案】A

【分析】通过对二项展开式赋值工=:求解出力的值，然后通过所给的条件变形得到]为等差数列，从而求解出

2on

｛S,,｝的通项公式，即可求解出S加的直

1/1、2021»»I

【详解】令%=得=瓦+界奈+..•+热=0.

又因为％=1,所以4=\+旨+…+编=-1,

乙乙U

由勺+1=0+1=5向-5”，得S；，'=J-—--=1,所以---"=T，

力％3°n+l

所以数列!是首项为J=-l，公差为T的等差数列，所以!=-1+（〃-1＞（-1）=-〃，

所以S”=_],所以§2。2产一击.

故选：A.

【点睛】本题考查二项展开式与数列的综合运用，对学生的分析与计算能力要求较高，难度较难解答问题时注意

%=S0+「S”的运用.

二、多选题

9.（2023・全国•高三专题练习）已知二项式（五-・）”的展开式中各项系数之和是在，则下列说法正确的有（）

A.展开式共有7项B,二项式系数最大的项是第4项

C.所有二项式系数和为128D.展开式的有理项共有4项

【答案】CD

【分析】运用代入法，结合二项式系数和公式、通项公式以及二项式系数性质逐一判断即可.

【详解】因为二项式（五-,『的展开式中各项系数之和是上，

\2x）128

所以令x=l可得：[\/1[—]〃=7.

I2x1）1282”12b

答案第4页，共21页

A：因为〃=7,所以展开式共有8项，因此本选项说法不正确；

B：因为〃=7,所以二项式;系数最人的项是第4项和第5项，

因此本选项说法不正确；

C：因为〃=7,所以所有二项式系数和为2?=128,所以本选项说法正确；

8-3，

D：由B可知：乙|=C；.（_l）r.2-「.xW，当厂=0,2,4,6时，对应的项是有理项，

故本选项说法正确，

故选：CD

10.（2022・山东济南・统考一模）*+2）6的展开式中，下列结论正确的是（）

x

A.展开式共6项B.常数项为64

C.所有项的系数之和为729D.所有项的二项式系数之和为64

【答案】CD

【分析】利用二项展开式的特点判断A；求出指定项判断B；利用赋值法求出展开式系数和判断C：利用二项式系

数的性质判断D作答.

【详解】*+±）6展开式的总项数是7,A不正确；

X

（x+马展开式的常数项为C：尸（夺=160,B不正确；

XX

取x=l得（.1+4）6展开式的所有项的系数之和为3。=729,c正确；

x

由二项式系数的性质得（x+±）6展开式的所有项的二项式系数之和为26=64,D正确.

x

故选：CD

11.（2023•全国♦高三专题练习）已知3二+4=）”（“>0）的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，旦展开式的各

项系数之和为1024,则下列说法正确的是（）

A.展开式中奇数项的二项式系数和为256

B.展开式中第6项的系数最大

C.展开式中存在常数项

D.展开式中含一项的系数为45

【答案】BCD

【解析】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知〃=10,由展开式的各项系数之和为1024可得

/.\io/_|\10

4=1,则二项式为=X2+AT，易得该二项式展开式的二项式系数与系数相同，利用二项式系数的对称性

判断AB：根据通项判断C,D即可.

【详解】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知〃=10,

又展开式的各项系数之和为1024,即当x=l时,（〃+1户=1024,所以〃

则二项式系数和为？°=1024,则奇数项的二项式系数和为gxl024=512,故A错误；

由〃=10可知展开式共有11项，中间项的二项式系数最大，即第6项的二项式系数最大，

因为『与一的系数均为1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第6项的系数最大，故B正确；

若展开式中存在常数项也通项加=丁网"）广-I，可得2（,10-r）.1r=0,解得厂=8,故C正确；

由通项一=品一°4于可得2（1。-，）-；「=15,解得r=2,所以系数为叱=45,故D正确，

故选：BCD

【点睛】本题考查二项式的定理的应用,考查系数最大值的项，考查求指定项系数，考查运算能力.

12.（2023•全国•高三专题练习）（1+。丫）""=g+4X+%/+…若4=-8088,则下列结论正确的有（）

A.a=—4B.旬+%+生■*---1■。故2=-3""~

C.二项式系数的和为22侬D.]+墨+…+黑=（）

【答案】ACD

【分析】利用二项式定理求出。的值，可判断A选项；利用赋值法可判断BD选项：利用二项式系数和可判断C选

项.

【详解】对于A选项，4二口出七二2022。=-8088,可得a=-4,A对，

对于B选项，因为（l-4x）'e=/+平+%/+…+%022婢22,

所以，4）+a1+/H---F。2022=（—3）2022=32022,B错；

对于C选项，二项式系数的和为a?。??，C对；

>.2022z.x2O22

1-4x1-%=1-4x1-1改2=0,口对.

H2）。I2）

故选：ACD.

三、填空题

13.（2022•全国•统考高考真题）的展开式中心,6的系数为（用数字作答）.

【答案】-28

答案笫6页，共21页

【分析】(1-《)犬+)，)8可化为G+y)'-q(.E+y)8,结合二项式展开式的通项公式求解.

【详解】因为k+y)\(x+y)8—?(x+y)8,

所以(I-?,+y)”的展开式中含/y'的项为c；f),6一?或/旷=-28x^6,

(l-j(x+yf的展开式中x2/的系数为-28

故答案为：・28

14.(2022・浙江•统考高考真题)已知多项式(x+2)(x-iy*=q)+qx+//+a3/+44x,+a5x5,则生=

%+生+%+4+%=.

【答案】8-2

【分析】第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令％=0求出/，再令x=l即可得出答案.

【详解】含V的项为：A:CJ•x•(-1)3+2-.x2.(-1)2=-4X2+12X2=8x2,故/=8；

令x=0,即2=%,

令x=l,即0=%+4+=2+/+%+%，

q+&+。3+4+%=-2,

故答案为：8：-2.

15.(2022春•全国•高三专题练习)设(l+Zx)20-=40+4/+生工2+…+。2022“20~~，则与一墨+-…+余耨■一

【答案】1

【分析】先x=0,可得4=1,再令x=-g,可得答案.

【详解】由撅意令X=0,可得4=1

令］=*,可得(一严=生吟+1HA.「圜+黑

所以/吟哆+$-…+舞-黑=1

故答案为：1

16.(2022・全国•高三专题练习)若(l-2x)'=4)+4%+%/+4/+《丁+%丁，则同+同+同+同+|4|+同二

【答案】243##才

【分析】根据二项展开式可得⑷+|q+同+同+同+同=%-4+）-4+。4一%，令产-1，即可得解.

【详解】解：（1-2力$的展开式得通项为加=弓（-2x）,=（-2）'G/,

则|%|+同+kI+闻+㈤+何I=%-4+/-%+%—%，

令x=-l,则4-%+/-4+4-%=3、=243,

即⑷+同+同+同+㈤+N=243.

故答案为：243.

【提能力】

一、单选题

17.（2023・全国•高三专题练习）若（1-2司2g=ao+6x+a2Y+…+%>22—则《+/+…+。皿=（）

A.-IB.0C.1D.2

【答案】B

【分析】令x=O,得4=1,再令x=l,即可求解.

【详解】令X=0,代入得q=1，令人=1,得4）+4+。2+~+%）22=1，所以4+。2+…+1022=0.

故选：B.

18.（2022秋・江苏盐城•高三阜宁县东沟中学校考阶段练习）已知（2£-的展开式中各项的二项式系数之

和为64,则其展开式中炉的系数为（）

A.160B.-160C.60D.-60

【答案】B

【分析】由二项式系数的性质求出〃，写出二项展开式的通项公式，令x的指数为3,即可得出答案.

【详解】由展开式中各项的二项式系数之和为64，得2"=64,得〃=6.

•・•（2/{J的展开式的通项公式为*=C；（2x2广（-）'（/）=C；2F—I）"，",

令12-3r=3,贝什=3,所以其展开式中F的系数为燥23（-17=-160.

故选：B.

答案第8页，共21页

19.（2。21・全国•高三专题练习）（1-2江的二项展开式中，奇数项的系数和为（）

A.2.B,2-C.（一…D5-3"

22

【答案】C

【解析】设（1一2幻"二%+4工+电/+,令x=l、x=T计算4）+%+%+…即可求解.

23n

【详解】设（1-2x）”=a0+a1x+a2x+a3x+•••+anx,

令x=l可得（T）"=4+4+4+%+…+4，

令尸一1可得3"=%-q+/-%+—，

两式相加可得：（―1）”+3"=2（4+%+/+…），

所以奇数项系数之和为4+%+&+-="土芝，

2

故选：C.

20.（2022•江苏苏州•苏州中学校考模拟预测）（l+x）*+（l+x）4+…+（l+x）Q的展开式中F的系数是（）

A.84B.120C.122D.210

【答案】D

【分析】由二项展开式的通项即可求出每一个的系数，求和得出答案，或者根据C：+c：i=c3,快速计算结果.

【详解】•・•（a+h）n的通项为通0分"）,

・•・（1+”3的通项为C；1A*=C*,

的展开式中/的系数为c>

同理得（1+x）4展开式中V的系数为C；,…，（1+力9展开式中/的系数为c；,

故。+“3+（1+h4+…+（1+耳9展开式中产的系数为：

C；+C：+C；+C：+C；+C；+Cj=1+4+10+20+35+56+84=21（）

（也可以根据性质：c：+cr=C：+1,因为C；=C：,故

C；+C：+C；+C：+C+C；+C；=C：+C：+C；+C：+C；+C；+C；=C：o=210）

故选：D.

21.（2023・全国•高三专题练习）已知二项式（办+），）5（。£对的展开式的所有项的系数和为32,则（-一白尸的展开

式中党数项为（）

A.45B.-45C.ID.-1

【答案】A

【分析】根据赋值法以及二项展开式的通项公式即可求出.

【详解】令%=1，）=1,可得展开式的所有项的系数之和（。+1）'=32,得。=1,

所以q

其通项或“=。3）2严一氏1=（T）yjT，令20夸-0,得k=8,所以展兀式中常数项为（-1F）-45.

故选：A.

22.（2022•浙江•校考模拟预测）若二项式2x+（〃cN）的展开式中只有第7项的二项式系数最大,若展开式

4x)

的有理项中第k项的系数最大，则无=（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【分析】根据条件可得〃=12.写出展开式的通项（“=c；、2，rjT,则当「是偶数时，该项为有理项，求得所有的

有理项的系数，可解出k的值.

【详解】由已知可得，〃=12.根据二项式定理，知展开式的通项为

显然当，,是偶数时，该项为有理项,

,(>99

〃=0时，7；=C：2212v2=4096父2；厂=2时，7；=C；22x=67584x：

K66633

〃=4时，7；=C；22X=126720X：r=6时，7；=C^2x=59136x；

4233

〃=8时，7；=Cj22=7920；「=10时，7；,=C；$2<=264x-；

厂=12时，7；3=C；2°X-6=£6

经比较可得，r=4,即A=5时系数最大，即展开式的有理项中第5项的系数最大.

故选：A.

23.（2023•辽宁盘锦•盘锦市高级中学校考一模）已知函数/（x）=8sinx+，F在1=0处的切线与直线心一尸。平行,

6

则二项式。-力”展开式中f的系数为（）

A.70B.-70C.56D.-56

【答案】A

答案第10页，共21页

【分析】求出导函数，根据导数的几何意义，求出〃的值.然后根据二项式定理展开式解题.

【详解】/，（x）=8cosx+ix2,由已知可得，⑼=〃，

即r（（））=8=〃，所以〃=8.

84kk

设（1一”8展开式中的第项含有7；+1=C/-I-（-X）=C/（-1/\x）,

则可知，k=4,所以二项式。-力"展开式中x4的系数为C；=W^^=70.

故选：A.

24.（2021・天津静海・静海一中校考三模）已知"-1）"的二项展开式的奇数项二项式系数和为64,若

（工-1）"=4+4（4+1）+%。+1）2+…+可（K+1）”,则q等于（）

A.192B.448C.-192D.-448

【答案】B

【分析】根据奇数项二项式系数和公式求出〃，再利用展开式求q.

【详解】:。-1）"的二项展开式的奇数项二项式系数和为64,

.・.2”T=64,即〃=7；

则（x-l）7=[*+1）-2]7的通项公式为％=c：（x+l尸（-2）",

令7-k=l，则％=6,所以4=C；X(—2)6=448.

故选：B

25.（2022・全国•高三专题练习）杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.他在《详解九章算法》一书中，画了一

个由二项式（〃+与"（〃=1,2,3,…）展开式的系数构成的三角形数阵，称作“开方作法本源”，这就是著名的“杨辉三

角”.在“杨辉三角”中，从第2行开始，除1以外，其他每一个数值都是它上面的两个数值之和，每一行第

“卜（九2wZ）个数组成的数列称为第〃斜列.该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2022行第攵斜列

与第〃-1斜列各项之和最大时，k的值为（）

第1行I1

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行151()105

A.10C9B.101()C.1011D.1012

【答案】C

【分析】根据题意可得第々斜列各项之和为C：,第k+1斜列各项之和为C蕊，则可求出.

【详解】当攵22时，第攵斜列各项之和为C3+C；-'+CM+…+或；?=C：+C；-'+C：：+…+(2姑=C如，

同理，第々+1斜列各项之和为C媚，所以c"+c媪=c㈡，

所以第攵斜列与第2+1斜列各项之和最大时,4+1=1012,则2=1011.

故选：C.

二、多选题

26.(2022・江苏•模拟预测)若二项式卜-gj展开式中所有项的系数之和为为，所有项的系数绝对值之和为"，二

项式系数之和为则()

,b„凡、10

A.B,「员，

C.对任意均有见+"«q,D.存在使得q

【答案】ABC

【分析】根据所给二项式，赋值，分别求得/、"、c”，根据函数的单调性，逐一分析各个选项，即可得答案.

【详解】由题意得：令工=1,可得/=6)”,

求所有项的系数绝对值之和，等价于求卜+gj的所有项系数和，

令x=l,可得包=(|).

二项式系数之和为%=2",

对于A：因为(g<《)<2n,所以♦”<%<%,故A正确；

/,

由对于B‘♦—凡+—"=3+—3",

因为3年3,且g(〃)=30+!在口收)上单调递增,

所以g(〃)=3"+!的最小值为g⑴=二，所以，%+:之R,故B正确

33a”1

答案第12页，共21页

对于C、D：生+4=冉+但丫在口,田)上为减函数,

GG\4>

所以4+久/」+f-1<-+-=1,即为+aKc”，故C正确，D错误.

gcn⑷⑼44

故选：ABC

27.(2022•全国•模拟预测)己知(3X一，〃户”=%+中+%产+1+a20y期，且1鸣曲=2。22,a}<0,则()

A.〃?=2B.(3X-"?)20”的展开武中第1012项的系数最大

5故2+1

C.%-%+4+L+/22=~~-——D.q+2/+3。)+L+2022a2022=2022

【答案】AC

【分析】令x=0,加的二/，又因为log?4=2022,求出〃？，可判断A；由展开式知，a2n>0,a2n.,<0,可判断

B；分别令x=±l,得/+4+叼+L+喂2=1，4)-4+/-生+L+。20”=5"必，两式相加得可判断C；对

2

(3x-2=au+a}x+a2x+L+42rt22V""两边求导，可得2U22x3x(3x-2)"、'=ay+2a2x+L4-2022%)22v令x=l,

可判断D.

【详解】当x=0时，机的二外，又k)g2%=2022,所以/二？20'““±2,由于％<0,所以帆=2,故选项A正

确.

由展开式知，％0>°，42M<。，故第1012项的系数小于0,故选项B不正确.

分别令x=±l,得4+4+/+L+。2a2=1，。0-4+。2-％+1+生g=5仙」，两式相加得

520224-I

%+4+%+L+a1ffn=——-——，故选项C正确.

202022

对(3X-2)"=/+平+%42+L+a2O22x两边求导，可得2022x3x(3x-2)2⑶=q+2a,x+L+2022aM,令

x=\,得％+2%+3%+L+202242G22=6066,故选项D不正确.

故选：AC.

28.(2022秋•辽宁•高三辽宁实验中学校考阶段练习)已知(彳-2)8=4/+%/+…+qx+q),则()

A.4)=2*B.«1+a2+...+a8=1

C.+&|+••,+k4|=38D.q+2a2+3%+…+8G=—8

【答案】AD

【分析】利用赋值法判断A、B、C,对二项式及展开式两边对x求导，再令x=1,即可判断D.

【详解】因为（1-2?=仆f+07M+…+qx+t,

令x=（）,则/=2*,故A正确；

令x=l,则/+%+/+…+仆=（2-1）8=1,所以/+%+…+%=1-2',故B错误：

令％=-1,则/—q+%—4+…+4=3',

所以《）+〃-,+%…+/=----»q+/+…+%=-----»40=28,

22

所以同十同十同十…十同=38-28,故C错误；

7

对（x-2j=仆./+fl7x+…+qx+4两边对x取导得

727

8（x-2）=at+2a2x+3ayx+•••+8^x,再令x=l得4+2%+36+…+8g=-8,故D正确；

故选：AD

29.（2022♦湖北黄冈•黄冈中学校考三模）设（2升1）6=%+%（叶1）+〃2HH尸+...十牝（升1）6,下列结论正确的是（）

A.%-4+%-%+&-％+4=3，

B.生+。3=1°。

C.+2«2+3«,+•••+6ah=12

D.当尸999时，（2x+l）6除以2000的余数是1

【答案】ACD

【分析】在展开式中，令x=-2求得结论判断A,根据二项式定理求得生，牝，判断B,令x+l=/,换元后，对，求

导后，再令/=1所得结论判断C,x=999,代入后，展开后，应用整数知识可得余数从而判断D.

【详解】在展开式中令x+l=-l,即x=-2得％-4+。2-4+/一处+6=（—4+1）6=36,A正确；

（2x+l）$=[-l+2（x+l）]6,所以％=。；（一1）~22=60,4=C；（T）3"=-160,1+%=-100,B错；

6

令，一八•十1,则⑵I）-«0IaAt1a2r1•­-1a/,两边对7求导得

12（21—1）'=%+2a”+3。式~+♦••+，

令f=1得。+2/+…+6%=12,C正确;

x=999时，（2A+1）6=1999"=（2000-I）6=20006-C；2000'+…-C：x2000+1,

展开式右边共7项，前6项都是2000的整数倍，因此它除以2000的余数是1,D正确.

故选：ACD.

答案第14页，共21页

三、填空题

30.（2023•全国•模拟预测）已知（依+1|但-1的展开式中所有项的系数和为8,则展开式中/的系数为______.

Ix八xJ

【答案】-1

【分析】先赋值，求出。=1,再求出x+-的展开式的通项公式，得到几刀，与的对应项相乘后得到展开

IX）x

式中炉的系数.

【详解】令x=l,得（.+1）3（2-1）=8,解得々=1,

x+-I展开式的通项a=c；产"f=C；产匕

工J

当/•=()时，7；=C;x3,

所以2卜+』丫的展开式中/的系数为2亡=2；

x）

当厂=1时，7>C#,

—Xj的展开式中V的系数为—C；=-3.

所以（奴+_）（1-x）的展开式中/的系数为2-3=T.

故答案为：-1.

2

31.（2023・辽宁沈阳・统考一模）若（1+入户”=%+。/+--+%）23婢3，则4）+，+《+-・+。2022被5除的余数是

【答案】4

【分析】分别取X=l,7,两式相加可求得4+。2+2+…+%。22,进而根据二项式定理展开，判断被5除的余数.

【详解】由题知，X=1时，%+4+&+。3+…+出023=2"”①，

%=-1时,4）-4+^2-6r3+，，，+6r2022-%>23=。②,

92023

由①+②得,4+“2+4+…+々2022二4""1

故%+%+4+•••+吸=心=（5-1片叽…+C罂5「嘲：

叫…+C*-5）+4,

所以《）+生+a+…+/022被5除的余数是4.

故答案为：4.

32.（2023•江苏南京•校考一模）在二项式（1-3力”的展开式中，若所有项的系数之和等于64,那么在这个展开式中,

一项的系数是.（用数字作答）

【答案】135

【分析】根据给定条件，利用赋值法求出〃值，再求出二项式展开式的通项即可求解作答.

【详解】在（1-3x）"中，令x=l得所有项的系数之和为（-2）”,依题意，（-2）=64,解得〃=6,

因此（1-的展开式的通项为2二仁（-3幻,=（-3）'CR,rW6,reN,

令厂=2得：（=（-3）2或/=135/，

所以一项的系数是135.

故答案为：135

33.（2023•甘肃兰州•校考一模）若（x-iyMao+qx+GV+ql+qf,则4+%+4的值为.

【答案】8

【分析】利用赋值法即可求解

【详解】令x=l,则/+%+%+%+%=。；

令％=-1,则%-4+。2-4+。4=16,

两式相加除以2可得%+出+4=8.

故答案为：8

427

34.（2023•全国•深圳中学校联考模拟预测）已知（X-1）（3X+2）3=4+aAx+a2x+…+/x,则生+/+…+0=

【答案】-39

【分析】赋值法，令x=0、x=l,结合二项式定理展开式求为即可求解.

【详解】因为（x-l『（3x+2）'=4+平+廿2+•••+%/，

令x=0,可得%=2’,

答案第16页，共21页

令X=l,/+q+%+…+4+%=0，

qx=C；x(-1)3C；(3x)°(2)3+C>°(-1)*C；(3x)'(2)2=4x,

%厘=/?《(3力3=27厘,

所以%+...+线=0-2一-27—39.

故答案为:-39.

35.(2022•上海杨浦・统考一模)已知C：=C：(〃是正整数)，(2..1)"=%+'(工-1)+生(.丫-1)2+...+/(尸1)”,则

%+4+生+…+4=.

【答案】243

【分析】根据C：=C：列式即可求出"，观察原式特点，取x=2,右侧关于死吗―的系数全为1,从而两边取x=2

进而得解.

【详解.】因为C：=C：,

所以-1)_心-1)(〃-2)

23x2x1

解得，n=5.

令x=2得，

(2x2-11=/+4+电+…+。”，

故4+〃]+“2+…+4=3'=243,

故答案为：243.

四、解答题

36.(2022•全国•高三专题练习)已知|：l+x)2"=/+4x+/f+…+%4".

(1)求％+生+。3+…+。2”的值；

1111II

(2)求------+------+…+---------的值.

6%%%a2n-l%

【答案】(1)22n-\.(2)

〃+1

【分析】(1)利用赋值法进行求解，令x=O得，4=1；令x=l得，％+卬+/+%+―+%=2当从而可求结果.

(2)根据二项式系数与4关系及组合数性质得到』--焉=件41--总，然后累加可求

J/rCjn2〃+八C2M^2n+l

\\\\II

----------1------------F・・・d-----------------的值

%%%«4«2n-l•

【详解】(1)令x=0得，＞=］；令人=1得，/+4+%+%+…+%=27

于是6+。2+〃3+•••+42"=^2＞，-1-

(2)ak=Cin,k=1,2,2/7,

首先考序1।1一粗2〃+l—。。+1)!(2〃必)!kl(2n-k)l[2n+\-k+k+\)

首先考虑球用7(2〃+1)!(2〃+1)!

⑵?+1)!

%!(2〃-。(2〃+2)_2/1+2

~(2〃+1)!-=(2〃+1)&

2/2+1f11111

2〃+2(C&C%C柒仁川C工

一2〃+2"1C型;厂2〃+2(2〃+1)〃+广

【点睛】本题主要考查二项式定理及组合数的性质，二项式系数和的问题一般通过赋值法进行求解，组合数的性质

利用公式进行转化是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养.

k2k

37.(2020•江苏苏州•常熟中学校考模拟预测)®(1+2x)=a0+a.x4-a2x++••.+akx(7N2,hND.

(1)若展开式中第5项与第7项的系数之比为3：8,求女的值；

(2)设2=〃一‘〃?"N'),且各项系数即，％,生，…，生互不相同.现把这女+1个不同系数随机排成一个

2

三角形数阵:第1列1个数，第2列2个数，…，第〃列〃个数.设匕是第j列中的最小数，其中14注明且八〃eN..记

八＞，2＞""-＞，”的概率为匕.求证：1〉

2J(〃-1…)!.

【答案】(1)k=9；(2)证明见解析.

【分析】(1)利用题目所给展开式中第5项与第7项的系数之比列方程，解方程求得k的值.

答案第18页，共21页

(2)利用相互独立事件概率乘法公式，求得乙的表达式，构造数列明=2"-XW(〃..2,〃€N’)，判断出数列｛4｝

的单调性，由此证得不等式成立

C43

【详解］(1)因为在展开式中第5项与第7项的系数之比为3：8,即浮

U3303

所以U=即W，所以二一%+20=20，

解得攵=0或A=9.

因为女之所以々=9.

n_2

(2)由题意，最小数在第〃列的概率为三万=ZT,

"I-

去掉第〃列己经排好的〃个数，

则余下为普\-〃=若»个数中最小值在第n-l列的概率为孟力二［,

一2

以此类推，

余下的数中最小数在第2列的概率为:，

―2222"

用「以P,>=-----X—x...x-=------------------------=----------.

/?+1n3(/?+1)X/7X...X3(〃+1)!

由于1=犷+〃-22,所以〃22.

2

设为=2”一妁罗(几2〃eN*),

所以一q二2"-〃-15.2/WN').

记2=2"-〃-l(〃