2026高考数学二轮复习专项突破：导数与单调性、极值和最值

第3讲导数与单调性、极值和最值

—探究真题明确方向

1.(2023•新课标H卷，T6)已知函数/(工尸aeMnx在区间(1,2)上单调递增，则。的最小值为()

A.e2B.eC.e-1D.e2

2.(2022•全国乙卷，文T11)函数/(x)=cosx+(x+l)sinx+l在区间［0,2兀］的最小值、最大值分别为()

A.f7B.与,TC4>2D.-^,>2

3.(多选)(2025•全国H卷，T10)已知外)是定义在R上的奇函数，且当j>0时，小尸(/・3)声2,贝ij()

A:/(0)=0B.当x<0时，.危尸-(/-3)&r-2

C<x)22当且仅当遮D.x=-1是/W的极大值点

4.(2024•新课标11卷，T16)已知函数/(x)=e'-ar-t73.

⑴当。=1时，求曲线尸=/(x)在点(1,/(I))处的切线方程；

(2)若/(x)有极小值，且极小值小于0,求〃的取值范围.

命题热度：

本讲是历年高考命题必考的内容，属于中高档题目，具有一定的难度，三种题型都有所考查，分值约为

11-26分.

考查方向：

考查重点一是判断函数的单调性以及单调性应用，如求参数范围、比较大小、解不等式等，二是函数极值,

主要是求函数的极值，由极值求参数的值、范围等，三是函数的最值以及最值的应用.

1.答案C

解析依题可知，/'(X尸ae'+'O在［1,2)上恒成立，显然〃>0,

所以亚'2§在(1,2)上恒成立，

设gQ)=xe',x£(l,2),

所以g'(x尸(x+1户>0，

所以虱力在(1,2)上单调递增，

g(x)Ml)uc,故C斗，

即即。的最小值为e-L

e

2.答案D

解析f(x)=cosx+(x+1)sinx+1,x€［0,2兀］,则/(x)=-sinx+sinx+(x+l)cosx=(x+l)cosx,x£［。，2n］.

令/。尸0,解得尸-1(舍去)，xg或.「岑

因为/(5=cos>l)sin>1

=2号

飓％COS段管+l)sinfW，

又/(0)=cos0+(0+1)sin0+1=2,

/(2TC)=COS27c+(27t+l)sin2兀+1=2,

所以J(X)maK=f0=2号

危)mH管)=与.故选D.

3.答案ABD

解析对于A,因为/(x)是定义在R上的奇函数，则人0尸0,故A正确；

对于B,当x〈0时，H>0,则加尸十・x)=・{[(-x)2・3]e-x+2}=・(x2-3)e-x-2,故B正确;

对于C,X-l)=-(l-3)e-2=2(e-l)>2,故C错误；

对于D,当x<0时，/(x)=(3-x2)e'x-2,则八%)=-(3-/把工2坛-*=(工2-2、-3把火,

令八幻=0，解得x=-l或x=3(舍去)，

当工£(-8,-])时，八刈>0,此时启)单调递增,

当xG(-l,0)时，/(x)<0,此时段)单调递减,

则L-1是/(x)的极大值点，故D正确.

4.解(1)当。=1时，贝

J\x)=e-\,

可得人l)=e-2,/(l)=e-l,

即切点坐标为(1,e-2),

切线斜率Qe-l,

所以切线方程为r(e-2)=(e-l)(x-l),

即(e-l)x-y-l=0.

(2)方法一因为7U)的定义域为R,

且/。尸。'-4,

若aWO,则[(x)>0对任意x£R恒成立，

可知义x)在R上单调递增，

无极值，不符合题意；

若令八x)>0,解得x>lna,

令./V)<0,解得xvlno,

可知凡t)在(-8,In4)上单调递减，

在(Ina,+8)上单调递增，

则.危)有极小值.4na)=a-a\na-a3,无极大值，

由题意可得，/(Ina)=a-a\x\a-MvO,

即6r24-ln

令g(a尸层+lna-\,a>0,

贝I」g<Q尸2al>0,

可知g(a)在(0,+8)上单调递增，

且g⑴=0，

不等式屋+lna-1>0等价于g(〃)>g(1),

解得4?>1,

所以。的取值范围为(1,+8).

方法二因为/(X)的定义域为R,

且,/V尸e'Y,

若/(X)有极小值，

则八x尸e'-a有零点，

令八工尸e'-a=0,可得e』。，

可知产e'与y=a有交点，则a>0,

令八x)>0,解得》lna；

令解得xvlna,

可知外)在(-8,Ina)上单调递减,

在(Ina,+8)上单调递增，

3

则/(X)有极小值_/(lna)=a-a\na-af

无极大值，符合题意，

由题意可得，./(Ina)=a-a\na-a3<0,

即a2+lna-1>0,

令g(a尸aBna-\,a>0,

因为尸层,y=\na_\在(0,+8)上均单调递增，

所以g(a)在(0,+8)上单调递增，

且g⑴=0，

不等式a2+lna-l>0等价于g(a)>g(l),

解得。>1,

所以。的取值范围为(1,+8).

考点一利用导数研究函数的单调性

考向I利用导数求函数的单调区间

例1已知函数/(工)=(、-2)。"号2y讨论函数/(x)的单调性.

解由题意得函数4丫)的定义域为R,

f(x)=(x-1)ev+a(x-1)=(x-1)(cv+tz).

①当时，

若:£(-8,1),则/(力<0,

所以/(X)在(-8,1)上单调递减；

若x£(1,+8),则/(x)>0,

所以/(X)在(1,十8)上单调递增.

②当T〈4<0时,ln(-67)<l,

若x£(-8,in(-a))U(l,+°°),则加)>0,

所以4工)在(-8,m(・a)),(1,+8)上单调递增；

若x£(ln(-«),1),则八x)<0,

所以贡x)在(1n(-〃)，1)上单调递减.

③当u=-e时，ln(-a)=1,

对Vx£R,八x)20,所以7U)在R上单调递增.

④当<7<-e时，ln(-i?)>l,

若X£(—8,l)U(ln(-a),+«>),则/V)>0,

所以危)在(-8,1)(ln(-a),+8)上单调递增；

若x£(l,ln(-a)),则八x)<0,

所以加)在(1,ln(・a))上单调递减.

综上所述，当时，./U)在(-8,])上单调递减，在(1,+8)上单调递增；

当-e<”0时，儿:)在(-8,■(-〃)),(1,+8)上单调递增，在(ln(-a),1)上单调递减;

当«=-e时，y(x)在R上单调递增；

当av-e时，火外在(-8,1),(ln(-a),+8)上单调递增，在(1,ln(-a))上单调递减.

考向2单调性的应用

例2(1)若函数/W=lnx+aR2在区间6，1)内存在单调递减区间，则实数。的取值范围是()

C.(-2,+8)D.(-8,+8)

答案A

解析由A^)=lnx+ax2^可得，f(x)=^-2ax.

因为函数;(x尸卜卢内2々在区间(I1)内存在单调递减区间，

所以/(x)<0在xwQ,1)时有解，即忌在>£6，1)时有解.

设g。尸生,1)，

显然双工)在G，1)上单调递增，所以gG)%(x)%(i).

所以qVg(l)=g故实数4的取值范围是(一8,一；).

(2)(2025・长沙模拟)已知片/⑴是定义在(1,+8)上的连续可导函数，其导函数为广/V),若M(x)v/(x),

且｛3)=6,则不等式川nx)>2lnx的解集为()

A.(H3)B.(3.e2)

C.(l,e3)D.(c,e3)

答案D

解析令蛉)号gl),

则g'G)上字2

因为次x)</(x),则MV)：/(x)vo,

所以gQ)<0,

则g(R咚在区间(1，+8)上单调递减，又火3)=6,由/(lnx)>21nx,lnx>l,

得偿>2=竽即9(ln%)>g(3),

(lnx>1,Unx>1,

所以l<lnx<3,解得e<x<e3,

故原不等式的解集为(e,e3).

［规律方法］(1)讨论函数的单调性一般可以归结为参数对不等式解集的影响进行分类讨论.

(2)函数7U)在区间。上单调递增(或递减)，可转化为/(x)2O(或/V)WO)在上恒成立.

(3)若函数尸=儿丫)在区间伍，份上不苴调，则转化为八x尸0在5，6)上有解(需验证解的两侧导致是否异号).

(4)函数火式)在区间DJ■存在单调递增(或递减)区间，可转化为/")>0(或/。六0)在xeo上有解.

跟踪演练1⑴(2025・荷泽模拟)已知函数/3=(、-〃-1)必6-4旅是R上的增函数，贝版)

A..a=bB.t7=7o

C.t7=lnhD.a=e'

答案C

解析由A^)=(x-«-l)er-Q-ajbx,

得f(x)={x-d)€c-bx^ab=［x-a)［€c~b),

因为儿T)是R上的增函数，则［(x)20对XWR恒成立，即(x-a)C-b)N0对x£R恒成立，

当6W0时，e-b>0,此时x・a20对x£R不恒成立，不满足题意；

当b>0时,等价于(x-a)(x-ln6)20对R恒成立，则a=ln6.

(2)(2025・张掖模拟)已知。=9eln2,b=18,c=4eln3,则a,b,。的大小关系为()

A..b>a>cB.a>c>b

C.a>b>cD.b>c>a

答案A

解析令危尸?，xW(l,e),

则八>尸甘1>0对任意的x£(l，e)恒成立，

所以函数/(X)在(1,e)上单调递增，

所以贝e)M2)次1尸0,

即i>］肾>0,故2>eln2>0,

e2

所以9eln2<9X2=18,即。<6,

又因为tf=9eln2=eln2,）=eln512＞cln81=cln34=4cln3=c,即a＞c,因此b＞a＞c.

考点二利用导数研究函数的极值

例3（2025•郑州模拟）已知函数/x）=xln（or）（c层0）.

（1）若直线尸q与曲线产汽工）相切，求。的值.：

（2）若火幻有极大值，且极大值大于1,求。的取值范围.

解（1）设直线产T与曲线产/（X）的切点为（工0，——），贝|」工0111（。沏尸3①

/（x）=ln（ax）+l,则ln（oro）+l=0.②

由①②解得x（＞W，a=\.

（2）当。＞0时，/（x）的定义域为（0,+8）,〃幻=皿奴）+1是增函数.

令ln（ax）+l=0,解得J.

当x£（0,£）时，八#0，

当工£（%+8）时，八幻＞0,

所以.几1）在（0,上单调递减，在（2，+8）上单调递增，则共1）有极小值，没有极大值，不符合题意，

所以"0；

因为"0,所以人刈的定义域为（-8,0）.

当xe（-8,£）时，八刈＞0,

当“£（上，0）时，/（X）＜0,

所以危）在（一8,上单调递增，在G，0）上单调递减，则府）有极大值/㈢，没有极小值.

因为火X）的极大值大于1,

所以，解得

故a的取值范围为（一壬0）.

［规律方法］八刈尸0是可导函数./（力在尸检处取得极值的必要不充分条件，即八x）的变号零点才是/（x）的极

值点，所以判断火x）的极值点时，除了找/V尸0的实数根xo外，还需判断/（x）在刈左侧和右侧的单调性.

跟踪演练2⑴（多选）（2025•重庆模拟）已知函数/（x）,x引・a,a］的图象是一条连续不断的曲线，设其导

数为了'（X）,函数g（x）=（x2・Gf（x）的图象如图，则下列说法正确的是（）

Z^\a

A/（x）在尸-1处取极大值

B.x=1是/（x）的极大值点

CJ（x）没有极小值点

D.x=l可能不是导函数/（X）的极大值点

答案ACD

解析由题图知,

XM，-1)(-1，0)(0,1)(1,a]

g(x)+-一-

,++■+

州)+---

.；儿¥)在(-4.-1)上单调递增.在(-1,4)上单调递减.

在x=・l处取得极大值，无极小值点，故A,C正确，B错误；

又当081,1令Wa时，八x)vo,g(l)=O,

当x=l时，炉.尸0,所以八1)不一定等于0,

当八1尸0时，是导函数八x)的极大值点，

当八l)W0时，不是导函数八X)的极大值点，故D正确.

(2)(2025•哈尔滨模拟)若函数｛x)=xlnx-(〃?-l)ln2x存在唯一极值点，则实数m的取值范围是()

A.(l,+8)B.[l,+8)

+oo)D.[l-^,+8)

答案B

解析由/(x)=xlnx-(/??-1)ln2v,x>0,求导可得/(x)=lnx+1三二

由题意得函数八x)存在唯一变号零点，

令八x)=0得，w-1=x\nx+x,

令gQ)=xlnx+x,x>0,求导可得gQ)=lnx+2,由g'(x)=0,解得.后，

当044时，g'(x)<0;当x*时，g'(x)>0,

所以函数g(X)在(0,上单调递减，在G,+8)上单调递增，则虱V)min=gG)=Q,

画出函数g(X)的大致图象如图所示，

由图知，当〃即〃?=1/时，T为八X)的不变号零点，不符合题意；故〃7-120,即用21,故实数

"7的取值范围是[1,+°°).

考点三利用导数研究函数的最值

例4⑴(2022•全国甲卷)当尸1时，函数於取得最大值-2,则八2)等于()

A.-lC.|D.l

答案B

解析因为函数大外的定义域为(0,+8),

所以依题意可知八1)=一2，

匕⑴=0,

而八3衿，

所以f=-2，即『=一2,

所以TV尸发，

因此函数次外在(0,1)上卑调递增，在(1,+8)上单调递减，

当时取最大值，满足题意.

所以以2尸・1十3

(2)(2025・石家庄模拟)如图所示，圆锥的内接圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则该圆锥体积的最小

值为()

A.4兀B.y

C.5nD.等

答案B

解析设圆锥的高为心底面半径为则圆锥内接的圆柱上面的小圆锥的高为〃-2,

A

由图易知丝上空1,

OB。道

即.•.Tp

1rr-1

・••该SI锥的体积产与户〃-3：二1)'

则2m2(2「_3)

人」V3(1)2'

令r=o,则弓，

当I<Y|时，r<o；当厂>|时，r>o,

即p叁(1,上单调递减，在(|.+8)上单调递增,

当弓时，p取得最小值为学

［规律方法］求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，一般要根据函数的单调性和极值画出函数的大致图象,

借助囹彖求解.求最值时不能想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较再下结论，图彖上最高点和最低

点的函数值即为函数的最大值和最小值.

跟踪演练3(2025・长沙模拟)已知函数7(x)=3x2-21nx+(a・l)x+3在区间(1,2)上有最小值,则实数a的取

值范围是()

A.a>-3

J

49

C.-D.-10<。<-3

J

答案D

解析函数/(x)=3x2-21nx+(a・1)x+3,求导得J\x)=6x^a-\-6/+(二叱2,

由/(幻=3f・21111+(〃-1);\汁3在区间(1,2)上有最小值,

得八外在区间(1,2)上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，

令人。)=6N+(Q-1)X-2,/z(0)=-2<0,则〃(x)在区间(1,2)上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，

J=(a-l)2+4x6x2>0,

九⑴=6+Q-1-2V0,

I、九(2)=6x4+2(a-l)-2>0,

解得・10<a<-3,

所以实数。的取值范围是-10<a<-3.

专题强化练

［分值：90分］

一、单项选择题(每小题5分，共30分)

1.函数(r)=/-lnx-x的单调递减区间是()

A.(O,0B(r+8)

C.(0,1)D,(l,+8)

答案C

解析由题意可得八人)一2人工］(2x+l)(x-l),»0,

八XXX

令/。尸0,得x=l,

所以当x£(0,I)时，八x)〈0,函数J(x)单调递减，所以函数./(刈=炉・1114X的单调递减区间是(0,1).

2.设函数/⑴喂，若/⑴的极小值为泥，则。等于()

*11B.13C.jD.2

答案B

解析由已知得，八')一：；；：?)(#)),

令/。)=0,有x=l-m

当x<\-a且x^-a时，八x)〈0,

当x>\-a时，/(x)>0,

所以j[x)在x=l-a处取得极小值川-a尸€”=\用，所以l-a=|,得片

3.若函数yu)V±2的单调递减区间为(1,+8),则〃等于()

A.iB.lC.eD.e2

e

答案B

解析/(x)a-(alnx+l)a-l-a.nx^

因为凡r)的单调递减区间为(1,+8),而兀目的定义域为(0,+8),

所以人x)的一个极值点为1,

所以/(l)2*。，解得片L

所以4x)」『2,八x)T，

令八x)<0,即要<0,解得Q1,

所以7(x)的单调递减区间为(1,+8),符合题意，综上，4=1.

4.函数危)的大致图象如图所示，设火X)的导函数为八x),则八x)/(x)>0的解集为()

A.(-8,O)U(1,3)B.(l,3)

C.(0,1)U(3,+8)D.(-8,0)U(3,+8)

答案C

解析由函数./w的图象可知，

当x£(-8,0)U(3,+8)时，府)<o；

当x£(0,3)时，y(x)>0；

又由图可知，当XW(-8,1)时，函数/(X)单调递增，则八x)>0；

当x£(l,+8)时,函数危)单调递减,则八x)<0,

所以f(x»(x)>0的解集为(0.1)U(3,+oo).

5.(2025•齐齐哈尔模拟)已知函数/(x)=$2+/)inx在尸2处有最小值，且最小值为l・21n2,则a+6的值为()

13

BC

2-2-

答案c

解析函数/(X)与2+binx的定义域为(0,4-00),且八X尸arg,

由于函数./(x)在尸2有最小值，则函数人幻在尸2处取极小值，则八2尸2什夕=0,

所以b=-4a,

又/(-r)min=/(2)=2«+/)ln2=2a-4a\n2,

所以2a-4aln2=1-21n2,解得

所以b=-2,

经检验，当月，力=-2时，函数70泻N+binx在尸2处有最小值，且最小值为l-21n2,故a+Z)=~|.

6.(2025•遵义模拟)已知函数/(x)Wad・inx_/)(4>0),若Vx>0,4丫)20,则?的最大值是()

112

A.；B.-C.-D.1

Zee

答案A

解析由题意知，若VQO,/(x)20,

即6W1x2-lnx,

令g(A)=1^^Inx,x>0,

则gQ尸QX产二，

令gQ)=0,解得尸

当0<x哼时，g'(x)<0,g(x)单调递减；

当就时,g0)>0,g(x)单调递增；

所以g(x)min=g(?)g|lna,

即〃a,

所以冷，

a2a2a

令献G弓忐，公°,

则63=察,

由力9)=0得4=1,

所以当0<〃<1时，6m)>o,万5)单洞递增；

当a>\时，>8)<0,力(。)单调递减,

所以A(t?)ma=/7(l)=1,即々的最大值为

XLaL

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

7.(2025・邯郸模拟)已知函数/(x)=(/-3)e,则下列结论正确的是()

A.lim/(x)+3-3

x-+0x

B.函数外)在(-1,1)上单调递减

C.函数./(》)有极大值6e-3

D.函数/㈤在［-4,-2］上的最小值为/(-4)

答案BC

解析由题意得，/(X)=(X'+2X-3)CY=(X+3)Q-1户,

因为；(0尸・3,则lim©^=lim®^=n()尸・3,故A不正确；

XT。Xx-oX-OJ

由/Cv)>0得,x<-3或x>l,

由/。)<0得，-3<x<l,

则/(X)在(-8,・3)和(I,+8)上单调递增，在(・3,1)上单调递减，

所以4刈在x=・3处取得极大值为43尸6小，故B,C正确；

因为八-4)W>/(-2)8，则函数/5)在［-4,-2］上的最小值为火-2),故D不正确•

8.(2025•厦门模拟)已知｛x)=/+ax2H次_2,不等式心)<2的解集为｛x|x〈l且%六-2｝,则下列说法中正确的是

()

A.函数/(x)的极大值点为1

B.函数/(x)的一个对称中心为点(・1,0)

C.当・2«微时，/2x+l)>・2

D.过点(-3,-2)且与曲线片/(X)相切的直线有2条

答案BCD

解析对于A,因为不等式"r)v2的解集为｛冲VI且xW-2｝,

即不等式^+ax2+hx-4<0的解集为｛小<1且xW-2｝,

所以方程x3+ax2+/?x-4=0的根为x=1和x=-2(二重根)，

得(x+2)2(x-1)=0,即x3+3x2-4=0,

所以，'则儿丫)=/+3工2-2,

b=0,

得/'㈤=3r+6-3.«工+2),

令/口)<0得・2〃<0,

令/V)>0得x<-2或x>0,

所以函数/(X)在(-2,0)上单调递减，在(-8,-2),(0,+8)上单调递增，

所以尸-2是7W的极大值点，故A错误；

对于B,由A知，J(x)=x3+3x2-2,

则,/(-2-x)=(-2-x)3+3(-2f)2-2=-/-3/+2,

所以斤2R岫尸o,

即/(X)的一个对称中心为点(-1,0),故B正确；

对于C令〃=2x+l,当・2<31时，则・3<”0,

则要满足火2vH)>-2,只需使大

而/(〃)+2=〃3+3〃2=〃2(〃+3),由-3v〃<0,

得〃2(“+3)>0,即所以人2什1)>-2,故C正确；

对于D,由A知，八此=3/+61,

设/(X)在点(xo,焉+3焉-2)处的切线方程为y-(就+3就-2尸(3焉+6xo)(x-xo),

由切线经过点(-3,-2)得，-2-(就+3/-2)=(3焉+6xO)(-3-xo),

整理得就+6需+9xo=O,

即XO(XQ+6XO+9)=XO(XO+3)2=O,

解得xo=-3或xo=O,此时存在2条切线满足题意，故D正确.

三、填空题(每小题5分，共10分)

9.(2025•全国II卷)若x=2是函数/W=(x-l)a-2)a-0的极值点，则./(0)=.

答案-4

解析由题意有/(x)=(x-l)(A-2)(.r-a),

所以7(x)=(x-2)(x-a)+(x-1)(x-a)+(.¥-1)(%-2),

因为x=2是函数./(X)的极值点，所以八2)=2/=0,得4=2.

当。=2时，/V)=2(r2)(x-l)+(x-2)2=(x-2)(3D，令/(x)=0,得尸2或色，

当工0(—8,§时，八x)>0,火功单调递增；当x6G，2)时，/(x)vo,yu)单调递减;

当x£(2,+8)时，八灯>0,危)单调递增,

所以x=2是函数/(X尸(x・1)(x-2)(x-a)的极小值点，符合题意，故a=2.

所以负O)=・1X(・2)X(-2)=4.

10.(2025•郑州模拟)若直线尸x为曲线尸尸+〃的一条切线，则，的最小值为.

答案-1

解析产4y叫

设直线y=x与曲线y=ex+h相切于点(x,x),

则尸评此且。尸+〃=1,

解得尸所以3,

从而L・所以一

设8(“)一7：%-0),

-^-g-(-l-lna)ina

尸

g'Sa

令g'(q)v。得，o«，v1；令g'(“)>o得，1,

所以g(a)在(0,I)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

所以g(Q)min=g⑴=-1,即，的最小值为-1.

四、解答题(共28分)

11.(13分)(2025•哈尔滨模拟)已知或数/(X尸(f+l)e-*,g(x)=ax+b,其中a,b^R.

(1)若曲线jq/(x)在点(0,负0))处的切线与直线尸g(x)垂直，且/(0)=g(0),求a,〃的值；(5分)

(2)若函数6(x)=/(x)・g(x)在区间(0,+8)上存在极大值，求。的取值范围.(8分)

解(1)因为人力=(f+1)仃,

所以/(》)=2沱*-(/+l)e*x=(2x-x2-l)e*J,

所以/(0尸-1,依题意，得。=1.

又/(0)=1,g(0尸6,且40)=g(0),

所以b=l,所以q=b=L

(2)由题意，/?(x)=(x2+1)e'x-ax-b,

所以以、)=(20/-1把工。，

令9(x)=(2x-x2-l)e”,

则(p,(A)=(2-2X-2X+X2+1)e'=H4什3)”，

令，(力=0,则/-4/3=0,解得尸1或x=3.

当(KEI时，叭x)>0,所以p(x)在(0,1)上单调递增；

当1々<3时，”(x)vO,所以Q(x)在(1,3)上单调递减；

当x>3时，，㈤乂)，所以0(x)在(3,+8)上单调递增.

则9(x)在x=l处取得极大值s(l)=O,在尸3处取得极小值8(3)=-4尸.

因为力(X)在区间(0,+8)上存在极大值，

所以产3(x)与y=a的图象在(0,+8)上有交点，

且在交点左侧〃(x)的导数大于0,交点右侧用、)的导数小于0,

所以。的取值范围是(-4e-3,0).

12.(15分)(2025・重庆模拟)已知函数./(x尸以-Inx+az(a£R).

(1)若儿。在(1,e)上不单调，求实数。的取值范围；(7分)

(2)当。>0时，求证：/(》)23历〃+2.(8分)

⑴解函数J(x)=ax-lnx+a2的定义域为(0,+°°),

求导得八x)=。3.

当aWO时，J(x)〈O在(0,+8)上恒成立，函数4)在(0,+8)上单调递减，不符合题意;

当心o时,由/(x)<o,得

由/V)>o,得

函数/(X)在(0,J上单调递减，在G，+8)上单调递增，

故1v乂e,解得工<4<1,

口e

所以实数。的取值范围为G，1).

(2)证明由⑴知，当〃>0时.人r)的最小信为/6)=l+〃2+|n%

则l+a2+ln〃-(31na+2)=a2-2\x\a-\,

设g(j)=A^-21nx-1,x>0,

求导得g'(x)=2x-j2(A?(x+D,

当0<x<\时，gV)<0;当x>l时，gU)>0,

因此函数g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，g(K)2g(1)=0,即双底20,

则/Q^=l+6F2+lna231na+2,

所以j(x)23lna+2.

思维创新

(每小题5分,共10分)

13.(2025•上饶模拟)利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目