立体几何基础提分小题 （学生版）

专题24立体几何基础提分小题

【考点预测】

1、表面积与体积计算公式

~7\_______

柱体Sag=c7+25£c'为直截面周长)

S［胖=Inr2+27vrl=2乃厂(r+。I

「必由

S止枝钺=—2ncih'+StVt

椎体

Slllls=兀户+m•/=7：r(r+/)

表136K

面

积S,E++S、

台体

Sg=成产+r2+r'l+r/)

球S=4万*©

h

柱体

|/s1

体

椎体

积作3

台体V=-(S+4SS7+Sr)h

"34

斜二测画法的主要步骤如下：

（1）建立直角坐标系.在己知水平放置的平面图形中取互相垂直的。建立直角坐标系.

（2）画出斜坐标系.在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形.在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中

画成平行于O'x\O'y\使ZTO>'=45。（或135°）,它们确定的平面表示水平平面.

（3）画出对应图形.在已知图形平行于上轴的线段,在直观图中画成平行于小轴的线段，且长度保持不变;在

已知图形平行于），轴的线段，在直观图中画成平行于），'轴，且长度变为原来的一般.可简化为“横不变,纵减半

（4）擦去辅助线.图画好后,要擦去f轴、V轴及为画图添加的辅助线（虚线）.被挡住的棱画虚线.

注：直观图和平面图形的面积比为6：4.

3、外接球与内切球

类型1：正方体或长方体外接球的球心在其体对角线的中点。

类型2：正棱柱或直棱柱（圆柱）的球心在上下底面外心连线中点处。

推论：垂面模型（一条直线垂直于一个平面）可补成直三菱柱或长方体。

公式：肥=产+（2）2,（R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱锥的高，r可根据正弦定理

2

-^―=2r

sinA

类型3：正棱锥（圆锥）模型（侧棱相等，底面为正多边形）的球心在其顶点与底面外心连线线段（或延长线）

上。

半径公式：R2=S-R）2+/（R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱锥的高，r可根据正弦定理

—=2r

sinA

类型4：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心。

类型5：锥体的内切球问题

三棱锥尸-AAC是任意三棱锥，求其的内切球半径

方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等

第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；

第二步:设内切球的半径为r，建立等式:乙_）=%枷+%哂+匕…代+匕-丽=

=5

VP-ABCyM«CW+.S-B"+,Sp8C+S&PAB+SPAC+SSPBC^f'

第三步：解出「二^----------工^------;——

^O-ABC+^O-PAH+^O-PAC+^O-PBC

【典型例题】

例1.（2024・高三♦江西•阶段练习）已知某棱长为2&的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表

面积为（）

4兀

A.4兀B.2兀C.--D.兀

3

例2.（2024.广西来宾•一模）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为1,2,体积为3,则该正四棱台

的高为（）

A.1B-Ic*?D-7

例3.（2024.山东枣庄•一模）已知圆台的上、下底面半径分别为I和3,侧面展开图是半个圆环，则圆台

的侧面积为（）

A.6兀B.16兀C.26兀D.32兀

例4.（2024・河南•模拟预测）已知四棱锥P-A8CD的侧面都是边长为4的等边三角形，且各表面均与球O

相切，则球。的半径为（）

A.1+\/3B.瓜.五C.平口.与

例5.（2024.宁夏银川•一模）已知圆锥的底面圆周在球。的球面上，顶点为球心。，圆锥的高为3,且圆

锥的侧面展开图是一个半圆，则球。的表面积为（）

A.12兀B.16兀C.48兀D.96兀

例6.（2024•辽宁辽阳•一模）四羊方尊（又称四羊尊）为中国商代晚期青铜器，其盛酒部分可近似视为一

个正四棱台（上、下底面的边长分别为40cm,20cm,高为24cm）,则四羊方尊的容积约为（）

A.22400cm5B.32400cm3C.44800cm3D.67200cm3

例7.（2024.全国.模拟预测）一个圆台的上、下底面的半径分别为2和3,高为6,则它的表面积为

()

C.凶兀

A.23花B.(13+5扬兀D.25n

3

例8.（2024•高一•山东德州•期末）如图所示，梯形AZTC。是平面图形A8CQ用斜二测画法得到的直观

图，47）=2A'C=2,A7T=1,则平面图形/WC。中对角线AC的长度为（)

例九（2024.高三•全国•专题练习）下图中小正方形的边长为1,四边形A8CO为某图形的直观图，则该图

75&

D.7572

例10.（2024•陕西宝鸡•模拟预测）2023年3月11H,“探索一号”科考船搭载着“奋斗者”号载人潜水器圆

满完成国际首次环大洋洲载人深潜科考任务，顺利返回三亚.本次航行有两个突出的成就，一是到达了东

南印度洋的蒂阿曼蒂那深渊，二是到达了瓦莱比一热恩斯深渊，并且在这两个海底深渊都进行了勘探和采

集.如图1是“奋斗者”号模型图，其球舱可以抽象为圆锥和圆柱的组合体，其轴截面如图2所示，则该模

型球舱体积为（）end.

图1

1007r1O37T106兀10471

3333

例11.（2024•高二•云南红河•阶段练习）如图，在直三棱柱ABC-ASG的侧面展开图中，&。是线段

的三等分点，且AO=3g.若该三棱柱的外接球。的表面积为12兀，贝iJ4A=.

4&GR⑷

ABCD（A）

例12.（2024・高三・河南南阳•期末）《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，全书总结了战国、秦、

汉时期的数学成就，内容十分丰富，在数学史上有其独到的成就.在《九章算术》中，将四个面都是直角

三角形的四面体称之为“鳖嚅”，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马如图，儿

何体P—ABCO为一个阳马，其中PO_L平面ABC。，若。E_LQA,DFA.PB，DGA.PC,且PD=AD=

2AB=4,则几何体EFGABCD的外接球表面积为.

例13.（2024♦高三・广东佛山•阶段练习）如图，圆台GO2的上底面圆的半径为近，下底面圆的半径为

26，若圆台。02的外接球（上下底面圆在同一球面上）的表面积为40兀且其球心O在线段。。2上.则圆

台。02的体积为____.

【过关测试】

一、单选题

1.（2024.全国.模拟预测）一个底面半径为2的圆锥被与其底面平行的平面所截，截去的小圆锥的底面半

径和高均为1,所得圆台的侧面积为（）

A.夜兀B.3夜兀C.2缶D.3正

2.（2024・高二・北京•期中）一个水平放置的平面图形,OA3用斜二测画法作出的直观图是如图所示的等腰

直角△O'AB',其中A®=屈，则平面图形的面积为（）

C.1075D.5石

3.（2024.高一.安徽芜湖•期中）如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45。的等腰梯形，已

知直观图OABC中，B'C=1,OC=0,则该平面图形的面积为（)

A.旦B.2C.272D.4x/2

2

4.（2024.北京东城.一模）《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的•部综合性科学技术著作，书中记

载了一种制造瓦片的方法.某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质

圆桶，圆桶底面外圆的直径为20cm,高为20cm.苜先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为2cm的粘

土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等拈土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每

位同学制作四片瓦，全年级共50（）人，需要准备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字最接近.（参考数

据：7T«3.14)()

1.4m3C.1.8m‘D.2.2m3

5.（2024.高三.江西抚州.阶段练习）如图1,现有一个底面直径为10cm高为25cm的圆锥容器,以2cm'/s

的速度向该容器内注入溶液，随着时间，（单位：s）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2

所示，忽略容器的厚度，则当，=兀时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（）

图1图2

A.幽cm/sB.幽cm/sC.返cm/sD.幽cm/s

6兀5713冗27c

I47t

6.（2024•全国.模拟预测）已知圆台的体积为胃，上、下底面圆的半径分别为1,2,则圆台的高为

()

A.1B.2C.3D.4

7.（2024.贵州毕节.二模）已知圆锥的底面圆的面积为3兀,侧面展开图为一个扇形，其面积为9兀，则该圆

锥的母线长为（）

B.也

A.973C.36D.百

2

8.（2024.陕西铜川•二模）已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的9倍，则它的侧面积扩大为原来

的（）

A.6倍B.3倍C.36倍D.9倍

9.（2024.山东淄博•一模）某圆锥的侧面枳为16兀，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径长为

（）

A.2B.4C.2后D.4万

10.（2024・四川成都•二模）某圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（）

A.兀B.yjinC.V3TID.2兀

11.（2024.高三.安徽.开学考试）如图，A8为圆锥SO底面圆的一条直径，点。为线段SA的中点，现沿SA

将圆锥SO的侧面展开，所得的平面图形中/8C为直角三角形，若SA=4,则圆锥SO的表面积为（）

12.（2024•高三•内蒙古锡林郭勒盟•期末）已知圆锥PO的母线长为2,。为底面的圆心，其侧面积等于

2岳，则该圆锥的体积为（）

A.5/371B.y/2nC.兀D.2兀

13.（2024.全国.模拟预测）甲、乙两个圆锥的底面半径相等,均为，，侧面展开图的圆心角之和为2冗，表

面积之和为3兀.则底面半径「的最大值为（）

A五CD.平

B.与

24

14.（2024.高三.河北张家口.期末）已知圆台的上底面半径为1,下底面半径为2,母线与下底面所成的角为

p则该圆台的表面积为（）

A.5nB.6兀C.1InD.127r

15.（2024.湖南•二模）如图，在四面体P—A8C中，%_1平面.48。,4。_1。8,/〉4=47=28。=2,则此四

面体的外接球表面积为（）

A.37rB.97tC.36兀D.48兀

16.（2024・高三•天津东丽•阶段练习）在直三棱柱AB©中，M=2,AB=\,AC=0

ZMC=150°,该直三棱柱的外接球表面积为（）

A.167rB.29兀C.32兀D.36兀

17.（2024・高三•四川成都・开学考试）边长为1的正方体的外接球表面积为（）

371

A.兀B.371C.-7CD.——

44

18.（2024・高一•陕西西安・期末）底面半径为石的圆锥侧面展开图的圆心角大小为追冗，则此圆锥外接球

表面积为（）

19.（2024.江苏南京.二模）直角三角形A8C中，斜边A/T长为2,绕直角边AC所在直线旋转一周形成一

个几何体.若该几何体外接球表面积为亍，则4C长为（）

A.乎B.1C.72D.G

二、多选题

20.（2024.高三.广东深圳•阶段练习）下列说法错误的是（）

A.两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台

B.有一个面是多边形，其余各面都是二角形的几何体是棱维

C.两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱

D.平行于同一直线的两直线平行

21.（2024.高三.重庆.阶段练习）已知一圆锥的底面半径为其侧面展开图是圆心角为扃的扇形,

AB为底面圆的一条直径上的两个端点，则（）

A.该圆锥的母线长为2

B.该圆锥的体积为兀

C.从A点经过圆锥的表面到达区点的最短距离为2右

D.过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为G

22.（2024.高三.黑龙江哈尔滨•期中）下列说法中不正确的是（）

A.各侧面都是正方形的正四棱柱一定是正方体

B.用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台

C.任意两条直线都可以确定一个平面

D.空间中三条直线若。与力共面，〃与C共面，则。与C共面

23.（2024•云南红河•二模）如图所示，圆锥的底面半径和高都等于球的半径，则下列选项中正确的是

()

A.圆锥的轴截面为直角三角形

B.圆锥的表面积大于球的表面积的一半

C.圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为九

D.圆锥的体积与球的体积之比为1:4

24.（2024・高二•四川•期中）某正方体的棱长为2&，则（）

A.该