正方形的判定 同步练习-2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册

6.3.2正方形的判定

基础夯实

知识点一正方形的判定

1.（2024.淄博高青县期中）四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点。，设有下列条件:①AC=BD;②AC_LB

D;③AC与BD互相平分;④矩形ABCD;⑤菱形ABCD;⑥正方形ABCD,则下列推理成立的是（）

A.①④T©R.②④T©

C.①②=>@D.①③咐

2.把一张长方形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，其理由是___________.

3.（2024.荷泽成武县期中）在四边形ABCD中,AC=BD,AC1BD,E,F,G.H分别是AB,BC,CD,DA的中点，则四边

形EFGH的形状是_______________.

4.如图，在矩形ABCD中点E,F分别在边AB,BC±,DE=AF,DE±AF于点G.

⑴求证:△ABF^ADAE;

（2）求证:四边形ABCD是正方形.

5」教材P28复习题T10变式］如图,DABCD的对角线ACBD交于点O.分别以点B.C为圆心、AC,扫D长为

半径画弧，两弧交丁点P,连接BP,CP.

（1试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；

（2请说明当口ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形?

知识点二正方形的性质与判定的综合运用

6.若四边形ABCD是______，则四边形ABCD一定是_______.这两个空依次可以填（）

A.平行四边形，矩形B.矩形，菱形

C.菱形，正方形D.正方形，平行四边形

7.［教材P28复习题T12变式］如图,在等腰RtAABC中,NACB=9（T,AC=4,点D为AB的中点,DE_LBC,DF

J_AC,则四边形DECF的周长为（）

A.6R8C10D12

8.七巧板由五个等腰直角三角形与两个平行四边形（其中的一个平行四边形是正方形）组成.用七巧板可以拼出丰

富多彩的图形，图中的正方形ABCD就是由七巧板拼成的，那么正方形EFGH的面积与正方形AB

CD的面积的比值为.

9.如图.四边形ABCD是菱形.DE〃AC,CE〃BD.

⑴求证:四边形OCED是矩形;

(2)若NARC=6()o,AR=2,求矩形OCED的周长；

（3）当NABC=时.四边形OCED是正方形.

能力提升

10如图,AD是口力灰田勺角平分线,DE,DF分别是匚力8。和□力CZ）的高，得到下列四个结论:（

。力=。。;口4。匚£忙③当匚4=90时,四边形AEDF是正方形;（④AE+DF=AF+DE.其中正确的是（）

A.②③

B.②④

C.①③④

D.②③④

11如图，用四块同样大小的正方形纸片，围出一个菱形ABCD,一个小孩顺次在这四块纸片上轮流走动，每

一步都踩在一块纸片的中心，则这个小孩走的路线所围成的图形是（）

A.平行四边形B.矩形

C.菱形D.正方形

第11题图第12题图

12某同学的卧室地面形状是一个如图所示的四边形，现在量得AB=BC.NB=ND=90。,若点B到CD的距离为

4米，贝!该同学的卧室地面的面积为平方米.

13如图，在正方形ABCD中，点E在AD的延长线上，P是对角线BD上的一点，且点P位于AE的垂直平

分线上PE交CD于点F,猜测PC和PE的数量及位置关系，并给出证明.

14.如图五方形ABCD中，动点E在AC上，月尸匚AC,垂足为A,AF=AE.

(1)求证:BF=DE;

⑵当点E运动到AC的中点时（其他条件都保持不变），问：四边形AFBE是什么特殊四边形?说明理由.

B

素养培优

15如图1,点E,F,M.N分别是正方形纸片ABCD四条边上的点，且.AE=BF=CM二DN.

(1)求证:四边形EFMN是正方形；

(2耙图1中的四个直角三角形剪下来，拼成图2所示的“赵爽弦图”(由四个全等的直角三角形与中间的小正方

形拼成的一个大正方形).我们知道，勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请结合图2,利用所学知识

证明勾投定理，写出推导过程；

⑶若正方形纸片ABCD的边长为4,£2而，求图2中中间小正方形的面积.

1.B解析：A.对角线相等的矩形不能得到正方形，故错误；B.对角线垂直的矩形是正方形，正确；C.对角线相

等且垂直的四边形不一定是正方形，故错误；D.对角线相等且平分的四边形是矩形，但不能得到菱形，故错误.故选

2.对折后，三个角是直角且一组邻边相等

3.正方形解析：如图所示，在^ABC中，E,F分别是AB,BC的中点,

AEF是△ABC的中位线，

LEF=^AC,

同理FG=；BD,(3H=；ACyHE=；BD.

VAC=BD,

.\EF=FG=GH=HE,

・•・西边形EFGH是菱形.

设AC与BD交于点O.AC与EH交于点M.SAABD中,E,H分别是AB,AD的中点,

VAC±BD,AZBOC=90°.

•・・EH〃BD,・・・ZEMC=ZBOC=90°.

VHG/7AC,/.ZEHG=ZEMC=90°,

，四边形EFGH是正方形.

4.证明:(1)・・•四边形ABCD是矩形,.'./DAB=NB=90。.

VDE1AF,/.ZDAB=ZAGD=90°,

/.ZBAF+ZDAF=90°,ZADE+ZDAF=90°.

AZBAF=ZADE.

LABF^UDAEy

在AABF和△DAE中，｛18/fF=[ZMZ)£,・・・4ABF0aDAE(AAS).

AF=DE,

(2)VAABF^ADAE,?.AB=AD.

又•・•四边形ABCD是矩形，，四边形ABCD是正方形.

5.解:(1)四边形BPCO为平行四边形.

理由：•・•四边形ABCD为平行四边形，ElOOOzW40,08=。。="。.

:以点B,C为圆心,；AC,扣D长为半径画弧，两弧交于点匕

・・・0B;CP,BP=OC,

・・・西边形BPCO为平行四边形.

(2)当AC±BD.AC=BD时.四边形BPCO为正方形.

VAC1BD./.ZB0090。,・•・平行四边形BPCO为矩形.

匚AC=BD,OB=gBDyOC=^AC,QOB=OC.

・•・矩形BPCO为正方形.

6.D

7.B解析:如图所示，连接DC.

•/△ABC为等腰直角三角形，

AAC=BC=4,ZA=ZB=45°.

•・•点D为AB的中点.・・・CD_LAB,

AAADGABCD是等腰直角三角形.

VDE±BC,DF±AC,

[DE=EC=；BC=2、DF=FC=；AC=2.

即DE=EC=DF=FC,

・•・西边形DECF是菱形.

又「ZACB=90°,

工四边形DECF为正方形，

・♦・正方形DECF的周长为4DF=8.

故选B.

9.(1)证明:〈DE〃AC,CE〃BD.BPDE〃OC.CE〃OD,

:.四边形OCED是平行四边形.

•••西边形ABCD是菱形.

.,.AC1BD,/.ZDOC=90°,

・•・平行四边形OCED是矩形.

(2)解:•・•四边形ABCD是菱形,・・・ACJ_BD,AB=BC,

口408=90,nABO=UCBO=^ABC.

ZABC=60°,.\ZABO=30°.

LAB=2^AO=^AB=\,OB=yfi.

VOD=OB=V3,OC=OA=1,

•••C矩形OCED=2(OD+OC)=2V3+2.

(3)90°

10D11.D

1216解析:如图、过点B作BE_LCD于点E,则BE=4米,NBEC=ZBED=90°,

过点B作BF1DA,交DA的延长线于点F,则NF=90。，

AZF=ZBEC.

VZF=ZD=ZBED=90°,

・•・西边形BEDF是矩形，

NEBF=90。,即/FBA+NABE=90。.

,/ZCBE+ZABE=ZABC=90°,

AZFBA=ZEBC.

在△ABF和4CBE中，

□F=D^EC,

{3ABF=^CBE,

AB=CB,

/.AABF且△CBE(AAS),BF=BE=4米，

工矩形BEDF是正方形，5nz=#?皿=8产=42=16(平方米).

正万形3FDP

•「△ABF丝△CBE,

S四边形，BCL四边形神”"二S四边形弧+SeS正方形BEDF=I6(平方米).

13.解:PC二PE,PC_LPE.

证明：由正方形的轴对称性质,可得NPAD=/PCD,PA=PC.

•••点P位于AE的垂直平分线上.・・.PA=PE,・・・PC=PE.

VPA=PE,.\ZPAD=ZE,.\ZPCD=ZE.

•・,ZPFC=ZDFE,AZCPF=ZFDE.

,?ZADC=90°,/.ZFDE=90°,AZCPF=90°,

/.PCIPE.

14.⑴证明:,・,四边形ABCD是正方形，

/.AB=AD,ZBAD=90°.

VAF±AC,

NEAF=90°,

AZBAF=ZEAD.

AD=AB、

在AADEABF中、{匚DAE-BAF,

AE=AF,

/.△ADE^AABF(SAS),

/.BF=DE.

⑵解:当点E运动到AC的中点时.四边形AFBE是正方形.

理卦二•点E运动到AC的中点AB二BC,

：BEUAC,BE=AE=；AC.

VAF=AE,

ABE=AF=AE.

又•.•BE_LAC,・・・ZBEC=90°=ZFAE,

，BE〃AF.

,:BE=AF,

・•・西边形AFBE是平行四边形.

ZFAE=90°,AF=AE,

・•・西边形AFBE是正方形.

15.(1)证明:如图1.

•・•西边形ABCD是正方形，

AAB=BC=CD=DA,ZA=ZB=ZC=ZD=90°.

VAE=BF=CM=DN,

AAN=DM=CF=BE.

•・