天津市某中学2025-2026学年高二年级上册第二次阶段性检测数学试题（解析版）

第二新华中学2025-2026学年度第一学期高二年级第二次阶段性检

测

数学学科

一、单选题（每题4分，共36分）

1.准线方程为>=4的抛物线的标准方程是（）

A.x2=8yB.x2=-8yC.x2=16yD.x2=-I6y

【答案】D

【解析】

【分析】由准线方程求出抛物线的标准方程即可求解.

【详解】由题意可知抛物线开口向下，故设抛物线方程为/=-2py（p>0）.

因为抛物线的准线方程为y=4,所以‘=4,即〃=8,所以该抛物线的标准方程为i二一16），.

2

故选：D.

2.若数列｛《7｝满足，则％=2,〃用=」［,则生025=（）

n

A.-3B.!C.--D.2

23

【答案】D

【解析】

【分析】求出｛%｝的前5项，得到｛q｝为周期数列，一个周期为4,故生015=4=2.

_23

【详解】％一生-----7一彳，&=-----=~r=

4+13a2+\4

32

a-l-3-1。

见=—4——=-----=2,

54+1-3+1

故｛?｝为周期数列，一个周期为4,故4025=4x506+1=4=2.

故选：D

4916

3.数列一1,一，一一,一,…的一个通项公式是（）

357

n-2

A.B.

2n-\2/z—l

C.a=(-1)—-——D.a=(-1)"————

"I72/i+l"')2n-\

【答案】B

【解析】

【分析】利用给定条件归纳得到通项公式即可.

4916

【详解】因数列-1,一,-一,一,…，所以其奇数项符号为负，偶数项符号为正,

357

而分母135,7可归纳为2〃-1,分子1,4,9,16可归纳为〃2,

4916“2

故数列-1,一，一一，一，…的一个通项公式是q=(-1)”/一，故B正确.

357”一2〃-1

故选：B

4.等比数列｛%｝的前〃项和为S4,且。1十。4=4,。2+。5=8,则$6=()

A.24B.28C.36D.48

【答案】B

【解析】

【分析】求出公比，得到4+4=16,从而得到臬.

【详解】设公比为4,则4=一~-=2,

所以％+g=卜4+4)q2=4x4=16,

所以S&=4+/+W+%+%+四=4+8+16=28.

故选：B

5.数列｛。“｝中，已知对任意自然数〃，6+。2+。3+…+。”=2"-1，贝1」。；+。；+。；+…+4；等于()

A.2"-1B.(2"-11C.HD.'.2

')3।3

【答案】C

【解析】

【分析】根据条件，利用3与求得勺=2"-1进而得到。；=中"，再利用等比数列的前〃项和公式,

即可求解.

【详解】因为4+4+?+…+4,=2"T①,

当〃之2时，q+。2+。3+…+an-\=2"T—1②，

①一②得4=2"—2"7=2W-',n>2,

又％=2i—l=l,满足所以%二2”，

所以d=（2"T7=4i,

I_4〃4〃—1

所以a；+〃；+a；+・一+4：=l+4+---+4n-1=--—=——.

故选：C.

6,已知双曲线过点（—2,0）,且与椭圆41+9/=36有公共焦点,则双曲线的标准方程是（）

2222

A.二-炉=]B.—-/=1C.丁_21=1D.=1

4444

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意求得c=百，a=2,得到从=/一"=],进而求得双曲线标准方程.

【详解】由椭圆4炉+9/=36,可化为标准方程?+?=1，可得片（一石,0）,玛（石,（）），

因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以c=6，

又因为双曲线过点（一2,0）,可得。=2,则62=c2_〃2=],

所以双曲线的标准方程为t-y2=1.

4

故选：B.

v-224

7.已知双曲线C:二一二v二1（。>0/>0）的渐近线方程为），=±7X，且双曲线。的右焦点为（5,0），

a-b-3

则双曲线C的标准方程为（）

22

A5噎」B.工—-

169

C"2/_1

=,

34立T-T

【备案】A

【解析】

b4

【分析】依题意可得一=一，c=5,即可求出。功的值，从而得解.

a3

Y2V?4

【详解】双曲线。：*一方_=1（。〉0力〉0）的渐近线方程为J=±]工，

A4

可得工=5,其右焦点为（5，°），可得c=5,又c2=〃+〃，

解得。=3,b=4,

22

则双曲线。的方程为：—-^=1.

916

故选：A.

8.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S〃，若4>0,”<一1,则使不等式S“<0成立〃的最小值为（）

A.16B.17C.18D.19

【答案】B

【解析】

【分析】根据等差数列的性质，判断数列｛%｝的有关项的符号，再结合等差数列的求和公式求解.

【详解】因为数列｛4｝为等差数列，且4>0,—<-U,

出

所以数列｛q｝为递减数列，J<0,且。8>0,为<0.

所以4"〈―1=/>一出即为+为>0，所以S[6=16（0+06）=16（-+&）>0,

佝22

o_17（4+47）_]7X2a9八

0|7==・

1722<U

所以使S〃<0的最小的〃的值为17.

故选：B

9.抛物线C:y2=2px的焦点/是双曲线C,：工一一匚一1(0<〃zv1)的右焦点，点尸是曲线G，G的

m1-m

交点，点。在抛物线的准线上，△歹PQ是以点尸为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线G的离心率为

A.桓+1B.20+3C.2V10-3D.2西+3

【答案】A

【解析】

【分析】

先由题和抛物线的性质求得点P的坐标和双曲线的半焦距c的值，再利用双曲线的定义可求得a的值，即可

求得离心率.

【详解】由题意知，抛物线焦点尸(1,0),准线与x轴交点F'(-1,0),双曲线半焦距c=l,设点Q(-l,y)

△小。是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，即归目=|PQ|,结合〃点在抛物线上，

所以〃。上抛物线的准线，从而所_Lx轴，所以尸(1,2),

:.2a=\PFf\-\PF\=2y/2-2

即a=^2—1.

=收+1.

故双曲线的离心率为e=

故选A

【点睛】本题考杳了圆锥曲线综合，分析题目，画出图像，熟悉抛物线性质以及双曲线的定义是解题的关

键，属于中档题.

二、填空题(每题4分，共28分)

10.已知数列也｝的前〃项和为S”，满足5“=〃2+3〃+2,则也｝的通项公式是______________.

6,〃二1

【答案】a—«

"n2〃+2,〃22

【解析】

S,〃二1

【分析】根据e、。进行求解，得到答案.

S-Sn_t,n>2

【详解】当〃=1时，4=『+3+2=6,

当2时，=S〃_=〃“+3〃+2—+3(〃—1)+2

=n2+3〃+2-(〃2-2〃+1+3〃-3+2)=2〃+2,

当〃=1时，2〃+2=4工6,

6,72=1

故4,="

2〃+2,〃22

6,n=1

故答案为：氏二〈

2n+2,n>2

11.已知数列｛《7｝的通项公式为：=(T)”•(〃、〃)，72GN4',前〃项和为S”，则%=.

【答案】800

【解析】

【分析】利用并项求和法求解即可.

【详解】解：由4=(一1)"・(〃2-〃)=(-1)".〃(〃-1),

得S40=4+。2+。3+。4+―・+。的+。40

=(-1X0)+2X14-(-3X2)+4X3+(-5X4)+6X5+...+(-39x38)+40x39

=lx(2-0)+3x(4-2)+5x(6-4)+...+39x(40-38)

=2+2x3+2x5+…+2x39

=2(1+3+5+...+39)

(1+39)x20

=2x-^------!——=800.

2

故答案为：800.

12.已知数列｛q｝的前〃项和为S.=(^(〃EN*),IMS“取得最小值时〃的值为；

.1十%2十•.•十%0=-

4

【答案】①・%②.《##0.8

【解析】

【分析】利用函数单调性即可求得S〃取得最小值时〃的值，利用S30-S10即可求得。”+《2+…十。30的值•

13

【详解】--*N・)’

则当1W〃工8,〃eN时，S”单调递增，S>S,=--------=-—

3-2522

4-95

当〃N9,〃cN时，S”单调递增，>S=------------=

93x9-252

则S,,取得最小值时n的值为9：

4-304-10_4

41+〃12%)=S30~S10

3x30-253x10-255

4

故答案为：9；—

■J

13.等比数列｛q｝中，出,。21是方程/+1n+5=0的两根，则2■的值为

%3

【答案】-石

【解析】

【分析】由韦达定理可得出见i=5,%+生1=一11，易知仁，生1<0,再由等比数列的性质有

=。；3=，结合等比数列通项公式判断43的符号，进而求目标式的值.

【详解】由题设知：％生1=5,。5+/1=-11，又｛凡｝为等比数列，

..%,a?1<0,且％。］9="13=05021=5,而63=a§q<0,

.左外《9_f-

・・《3=75,故--\J5.

。13

故答案为：-J5

14.设〃是抛物线)，2=16上上的一个动点，尸为抛物线的焦点，已知点4(5,2),则归川+俨用的最小值

为.

【答案】9

【解析】

【分析】由抛物线的定义可得|p月等于点P到准线x=T的距离，所以归耳+|%的最小值为点A到准

线的距离，即为9.

【详解】如图，过点A做准线x=T的垂线，垂足为A,交抛物线于点P，由抛物线的定义可知

|PF|=|尸川，

故|冏+|尸月N|P5|+|PB[=|A4]=5-（T）=9,即当P、A，、A三点共线时,距离之和最小为9.

22

15.双曲线5-5=1（。>0/>0）的左、右焦点分别为4、K.P是双曲线右支上一点，且直线P居的斜

a~b~

率为2.4PK鸟是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为.

【答案】^--21=1

28

【解析】

【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设|P周=〃2,由面积公式求出加，

由勾股定理得出。，结合第一定义再求出〃.

【详解】如下图：由题可知，点P必落在第四象限，〃至=9（）。，设|尸国=团，

2

/PF/、-0、,/PF\F?-0?,由A/有=tan.=2,求得sir）q=-j=,

因为Nf；P6=90。，所以攵际•攵缶=T,求得％冏=—；，即tanq=g,

sin<92=-J=,由正弦定理可得：归用：|也I：忻用=sinq：sin仇：§访90。=2:1:J5,

x/5

则由|尸用=知得|尸£|=2m,\FiF2\=2c=亚m,

由可呻二g|P用・|P周=g*2加=8得小=2&，

则|P闾=2及产制=4及，忻闾=2c=2厢,c=屈，

22

由双曲线第一定义可得：|四;|一|P周=2。=2及，a=^b=ylc-a

22

所以双曲线的方程为±-*=1.

28

故答案为：--^-=1.

28

16.已知数列｛%｝是各项均不为零的等差数列，S”为其前〃项和，且％=厄［EM）.若不等式

2,〃+8

一＜——对任意〃wN*恒成立，则实数％的最大值为.

〃〃〃

【答案】9

【解析】

【分析】先求出%=2〃-1,再分离出4,最后根据单调性求出最值即可.

【详解】"向i#〃-f，=乒豆""（2〃-1）—，

4,〃+8（〃+8）⑵—1）88

nsN*，—«----就是——△-----^=＞A＜2n--+15,2〃--+15在〃21时单调递增,其最小

an〃nnn

为9,所以4K9,故实数/I的最大值为9,

故答案：9.

【方法点晴】本题主要考查等差数列列的通项公式及前〃项和公式以及不等式恒成立问题，属于难题.不

等式恒成立问题常见方法：①分离参数。4/⑴恒成立（aW/（x）min即可）或〃”⑴恒成立

（。2/（幻皿即可）；②数形结合（＞=/（x）图象在＞=g（"上方即可）；③讨论最值/'*）min2。或

/（汇）240恒成立；④讨论参数.本题是先求出｛%｝的通项公式再利用方法①将求得4的最大值.

三、解答题（每题12分，共36分）

17.（I）己知双曲线的两个焦点分别为4（一5,0）,6（5,0）,双曲线上一点P与小人的距离差的绝对值

等干6,求双曲线的标准方程，焦距，实轴长，虚轴长，渐近线方程、离心率.

（2）已知双曲线渐近线夹角为色，求双曲线的离心率.

v224

【答案】（1）标准方程；—-^v--1；焦距为10；实轴长为6；虚轴长为8；渐近线方程为），=±彳1；离

916

【解析】

【分析】（1）利用给定条件结合双曲线中基本量的性质得到基本量的值，再写出方程，利用双曲线的性质求

解目标元素即可.

（2）以双曲线的中心为原点，焦点6（一5,0）,6（5,0）所在直线为x轴，可设双曲线方程为

，-写=1（。＞0力＞0），可求渐近线方程，再由双曲线离心率以及曲线中基本量的性质求解即可.

【详解】（1）由题意可得，双曲线的两个焦点分别为£（—5,0）,鸟（5,0）,所以c=5,所以2c=10,

所以焦距为1（）,

因为双曲线上一点尸与大，外的距离差的绝对值等于6,所以2a=6,即〃=3,又因为。2=/+〃，

x22

所以〃=4,因为焦点在X轴上，所以双曲线的标准方程为v匕=1,所以实轴长为6,虚轴长为8,

916

h4c5

因为渐近线方程为y=±-x,所以y=土彳工，离心率为6=-=不

（2）以双曲线的中心为原点，焦点x轴上，建立平面直角坐标系，如图所示：

22〃

可设双曲线方程为0-4=1（。＞0/＞0）,所以双曲线的渐近线方程为y=±-x,

a~b~a

因为双曲线渐近线夹角为三，所以渐近线的倾斜角为土或刍，所以双曲线渐近线斜率为百或立，即

36

”石或2

aa3

若一=拒,因为c、2=c』+〃，所以/?=3〃2，所以C"="2+3c/=4/，所以e=£=2,

aa

若2=1,所以/=36，因为/=/+〃，所以62=〃2+:/=2。2,所以《=£=迪.

a333a3

18.已知｛〃“｝是首项为1等差数列，其前〃项和为S”，§7=70,低｝为等比数列，4=4,2+4=80.

（I）求数列｛q｝和｛，｝的通项公式：

（2）设数列｛4•〃｝的前〃项和为1,求1；

.1.6Z—4

（3）记%=4〃+1，若2NT—对任意〃eN"恒成立，求实数2的取值范围.

b〃cn-c2n

【答案】3）an=3/?-2（/?GN*）；bn=4"

（2）1=（〃-1）-47+4

⑶[A）

【解析】

【分析】（I）据等差数列与等比数列的定义以及性质求解即可.

（2）由（1）可得，4=4也,=（3〃-2）-4",再由错位相减求解即可.

ci—43〃-6

（3）根据题意可得，-T——=T—7,分析数列的单调性，求解最大值即可.

9一。2〃2x4

【小问1详解】

7x6

设等差数列｛〃“｝的公差为d,因为4=1,S?=7q+—=d=7+21d=70,解得d=3,

所以=4+（〃一l）d=l+（〃一l）x3=3〃-2（〃eN"）,

设｛4｝的公比为夕，因为〃2=4=16,打十4=8。，所以4=64,所以4=宣=4,

%

所以。=4,所以b〃=aqi=4L

小问2详解】

设4=4•〃=(3〃—2)4,

所以7；=4xl+42x4+43x7+…+(3〃-2)•4”①

47；=42xl+43x4+44x7+...4-(3/2-5)-4z,+(3/2-2)-4n+,®

所以①-②，错位相减可得，

23n,,+,

-37；I=4xl+4x3+4x3+...4-3-4-(3/?-2)-4,

42-4,,+|

一3a=4+3x---------(3〃-2).4向

解得(=(〃-1)-4"*+4.

【小问3详解】

因为。=3十，…，所以匕=此所以ci弋=产+上

°（o1Y/,1A。〃-43〃一6

c；-c=42rt+——44〃+；=2x4",令q“=g-=

v2N2X4

"2”（4JI4J

则生一〃一=五不一三不7=五丁，当2<〃<3,q〃>q“_、・即q<见V的，

当〃>3时，/<%_],即%>%>%>•••，所以数列｛%｝的最大项为%=金，因为2之;14恒成

128%-

3「3、

立，所以，2>^=—,所以实数力的取值范围为玲，+8.

128[_128）

19.己知公差不为零的等差数列｛叫和公比不为零的等比数列也，满足♦=4=1,且％,2利，44成等

比数列，4%,2如打成等差数列.

（1）求数列｛q｝和也｝的通项公式：

⑵若七=|4—5],求工的前及项和了”；

（3）令%=3怎，去掉数列｛%｝中的第3〃项（〃£N‘），余下的项顺序不变，构成新数列｛/”｝,求数列

｛"｝的前〃项和S”.

【答案】（1）为=","=2"T

一〃2+9〃

H<5,nGN"

-2-

〃2-9〃+40

n>5,〃GN"

~2~

2(33①〃为偶数

13

⑶『

3〃-1

-3-亍.色45-上6"为奇数

13

【解析】

【分析】(I)直接用等差，等比数列的通项公式求解.

(2)打开绝对值，分类讨论〃W5和〃〉5的前〃项和

(3)去掉数列｛q｝中的第3〃项，观察数列然后并项，最后分奇偶求和.

【小问1详解】

设等差数列｛凡｝的公差为d(dwO),等比数列｛2｝的公比为为

n

已知q=4=1,设+bn=q~'.

(2%-=4・444，代入。2=1+，,，。4=1+3"：

4(1+4)2=41(1+3〃)

化简得(l+d>=l+3d,即［2-4=0

因dwO,故d=l,因此〃“二〃.

又因为2-2仇