重庆市某中学校2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷（解析版）

数学

（全卷满分150分，考试时间：120分钟）

注意事项：

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上.

作答前认真阅读答题卡上的注意事项.

作答时务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项符合题目要求，请把正确的选项选出来.

2

1.若分式冗+1有意义，则％的取值范围是（）

A.xwlB.xH-lC.xwOD.x>-l

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了分式有意义的条件.根据分母不为零列出不等式计算即可.

2

【详解】解：•・•分式二有意义，

.E+100,

••X—1,

故选:B.

2.当前，科技与人工智能的迅猛发展，正引领社会生活方式的深度变革，以下科技公司的图标中是轴对称

图形的为（）

A.C/jKB.C.D.感历

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了轴对称图形的概念，正确理解相关内容是解题关键.根据“如果一个图形沿一条直线

折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴”进行分析即

可.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

【详解】解：A,B,C选项中的图标都不能找到条直线，使图形沿条直线折叠，直线两旁的部分能够

互相重合,所以不是轴对称图形：

D项中的图标能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图

形.

故选：D.

3.下列各组数中，不能组成三角形的一组是（）

A.3,3,4B.2,3,5C,5,12,13D.6,8,10

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查三角形三边关系，即任意两边之和大于第三边.

只需验证每组数是否满足三角形的三边关系即可.

详解】对于选项A：,3+3=6>4,3+4=7>3,3+4=7>3,

•.•能组成三角形，不符合题意；

对干选项B：2+3=5,不满足三边关系，

・••不能组成三角形，符合题意；

对于选项C：・・・5+12=17>13,5+13=18>12,12+13=25>5,

・•・能组成三角形，不符合题意；

对于选项D：6+8=14>10,6+10=16>8,8+10=18>6,

・•・能组成三角形，不符合题意.

故选B.

4.下列各式计算正确的是（）

A.（4）=/B.a.cr=a5

C.（-2/丫=-6tz6D.2a2+5a2=7a4

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查指数运算规则，包括冢的乘方、同底数暴相乘、积的乘方和合并同类项.

根据指数运算规则逐项判断即可.

【详解】对于选项A,<工/,

•••该选项是错误，不符合题意;

对了选项B>a^'cr=a"?=o'，

该选项是正确的，符合题意：

对干选项C,,・,（一2/丫=（_2）2・（。3丫=4/w-6/,

该选项是错误的，不符合题意：

对于选项D,；2/+5a2=7a2/74,

该选项是错误的，不符合题意.

故选B.

5.估计、万（6+及）的值应在（）

A.5和6之间B.7和8之间C.4和5之间D.6和7之间

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了二次根式乘法，无理数的估算.

计算+得到3+新，通过估计、%的范围确定整体的范围.

【详解】解：6（百+&）=X/5X6+GX&=3+C,

,:R=2,M=3,且4<6<9，

：・2<瓜<3,

・・・3+2<3+#<3+3，

即5<3+痴<6，

，值在5和6之间.

故选：A.

6.下列说法中，不正确的是（）

A.有两个角是60。的三角形是等边三角形

B.三角形中，到三边距离相等的点是这个三角形三条边的垂直平分线的交点

C.若VABC中，ZA:ZB:ZC=1:2:3,则VABC是直角三角形

D.已知NC=90。，A8=8,AC=4,则可以画出唯一确定的VABC

【答案】B

【解析】

【分析】此题考查了等边二角形的判定,角平分线的性质.二角形内角和定理以及用HL判定二角形全等.利

用等边三角形的判定，角平分线的性质，三角形内角和定理以及用HL判定三角形全等进行解答即可.

【详解】解：A、有两个角是60。的三角形是等边三角形，正确，故该选项不符合题意；

B、三角形中，到三边距离相等的点是这个三角形三个角的平分线的交点，原说法错误，故该选项符合题意；

3

C、由三角形内角和定理得到：ZC=180°x一：一=90°,E确，故该选项不符合题意；

1+2+3

D、由HL判定可以画出唯一确定的VA3C,正确，故该选项不符合题意；

故选:B.

7.在延时体育活动跳绳时，相同时间内小张跳80下，小王比小张多跳30下.已知小王每分钟比小张多跳

40下，设小张每分钟跳》下，下列方程正确的是()

8080-308080+30

A-=-----B.—=-----

,yy-40yy+40

8()80+308()80-30

C-=-----D.—=----—

-yy-40yy+40

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了分式方程在实际生活中的应用.注意认真审题是前提，找出等量关系是关键.

设小张每分钟跳V下，则小王每分钟跳(y+40)下，题中有等量关系：小张跳80下所用的时间二小王跳

(80I30)下所用的时间，据此可列出方程.

【详解】解：设小张每分钟跳),下，则小王每分钟跳()，+40)下,

相同时间内，小张跳80下，由题意得，小王跳(80+30)下，

.・时间相等，

.80_80+30

yv+40

故选:B.

8.若多项式9/一(〃+1)个+16产是关于工、)，的完全平方公式的展开式，贝此的值是()

A.25B.23C.25或一23D.一25或23

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了完全平方式.先根据两平方项确定出这两个数,再根据完全平方公式的乘积二倍项即

可确定a的值.

【详解】解：,•,9x2-（a+l）Ay+l6y2=（3x）2-（4+l）Ay+（4y1是一个完全平方式，

.1.-（6/+l）A>j=±2x3xx4y=±24jg,

.,.a+1=±24»

.•・。二-25或23.

故选：D.

9.如图，在等腰直角VA3C中，已知N45C=90。，CD^LBD于点、D,33=4,则△A3。的面积是

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质.

作AE工BD交BD于E,根据等侑的余角相等得到NABO=NNCD,证明AABE/33CQ（AAS）,得到

AE=BD=4,即可求出/XAB。的面积.

详解】解：如图，作AE工BD交BD于E,

:.AB=BC,

VZABC=90°,CD1.BD,

：・ZABD+ZCBD=/BCD+ZCBD=90°,

即/AKD=NBCZM

VZAEB=ZBDC=90°,AB=BC，

・•..ABE^BCD（AAS）,

：・AE=BD=4,

/.△ABO的面积=,x5£）xAE=8.

2

故选：C.

10.已知整式M=。/"+4“_|/"+3+4工+。0，其中％q,为正整数，an_van_2-ae/每个数只能

取1,0,-1中的一个，〃+q+〃”_|+…+4=4.下列说法：

①当〃=1时，满足条件的整式加有：2x+l,3x,4x-l：

②当〃=2时，满足条件的整式M共有6利1；

③若q=1,且当戈=1时，M=-16；则端T+q：_2+…+C=T7.

其中正确的个数为（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查整式的相关知识，解题的关键是理解含义，进行分类讨论计算.

根据已知条件分别对三个说法讲行分析判断即可.

【详解】解：当〃=1时，整式M=qx+q），

Q〃+a〃+%+L+《）=4,

1+4+4（）=4,即q+4=3,

Q%_1，aH_2,L,为每个数只能取1,0,一1中的一个，

，畤=1,4=2；%=°，。1=3；4）=-1,4=4,

所以满足条件的整式M有：2x+l,3x,4A-1,即①正确；

当〃=2时，根据题意知的+q+%=2,

所以符合题意的有：%=1，4=0,4）=1；

%=2,q=—1,%=1：

=1,%)=°;

叼=2,q=0,%=0；

%=3,%=-1,。（）二0；

。2=2,Q|=],%=一];

%=3,4=0,%=T；

%=4,tZ]=-1,《）=一1,

故符合题意的整式M共有8种，即②错误；

当工=1时，M=-16,

即4”4-+•••+=—I6,

Q%_i，%_2，L，旬每个数只能取1，0,一1中的一个，

二+。：_2+L+。；=%十+L+/=/+an_,+L+a3-^,=-16-1=-17,

则③正确.

故选：C.

二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分.请将每个小题的答案直接填在横线上.

11.清代诗人郑燮在《咏雪》中写道：“一片两片三四片，五六七八九十片已知一片雪花的质量约为

（）.（KXXXX）21千克，用科学记数法表不这个数为千亮.

【答案】2.1x10-7

【解析】

【分析】本题考杳用科学记数法表示较小的数，一般形式为axl（T，其中1式同<10,〃为由原数左边起

第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

根据科学记数法的表示方法进行表示即可.

【详解】解：0.00000021=2.1X1O_7>

故答案为2.lxIO".

12.因式分解：2/-8f+8x=.

【答案】2xQ-2）2

【解析】

【分析】先提取公因式,然后利用完全平方公式因式分解即可.

【详解】解：2x3-8x2+8x=2x(x2-4x+4)=2r(x-2)2

故答案：2x(x-2)2.

【点睛】此题考查的是因式分解，掌握利用提公因式法和公式法因式分解是解决此题的关键.

13.如图，将VA8C的两个角向内翻折，使得点B和点C都与点月重合，折痕分别为。”和所，若

ZZME=30°,则N84C=°.

【答案】105

【解析】

【分析】本题考查轴对称的性质，三角形的内角和定理，掌握轴对称的性质和三角形的内角和定理是解题的

关键.

设NR4C=x。，根据三角形的内角和定理得到/8+/。=180。一/区4。=180。一不。，再由折叠可得

ZBAD-bZEAC=ZB+ZC=180°-x°,根据/B4D+/ZME+/E4C=/BA。即可列出方程，求解

即可.

【详解】解：设N8AC=x。，

・•・/B+NC=180°-/BAC=180。一月，

由折叠可得NZ>W=N3,ZE4C=ZC,

・•・ABAD+ZEAC=ZB+ZC=180o-x°,

•・•/BAD+NDAE+ZEAC=ABAC,

.­.180O-X°4-30O=X°,解得X=105。，

・•・ZBAC=105°.

故答案为：105.

14.如图，丫/48。中4。8=90。,4。=4,3。=3,48=5,32平分/48。，点。、E分别是BC、BP

上不与端点重合的动点，连接CEDE,则CE+OE的最小值为.

c

【答案】y

【解析】

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，垂线段最短，等积法求线段的长，在48上截取8尸=80,

连接族，作CG_LA3于点G,证明△DBE^/XFBE，得到DE=EF，进而得到

CE+DE=CE+EF>CFf根据垂线段最短，得到当点尸与点G重合时，C尸最小，此时CE+。石最

小，进行求解即可.

【详解】解：在AB上截取69二加>,连接EF,作CG_LA8于点G,

C

•・•8P平分NA3C,

・•・4FBE=/DBE，

又•：BE=BE，

・•・，一DBE—FBE(SAS),

・•・DE=EF，

：.CE+DE=CE+EF"F,

•・•垂线段最短，

・•・当即点尸与点G重合时，。尸最小,

/ACB=90°,AC=4,BC=3,AB=5,

：.-ACBC=-ABCG,即：4x3=5CG，

22

••CZCJ—，

5

・・・C/的最小值为?，

・・・CE+QE的最小值为£；

故答案为：■—.

x+10AB

15,已知（2,_]）（x+3）=2._[_775'则A+8=---------------

【答案】4

【解析】

【分析】本题主要考查了分式的加减法，二元一次方程组的应用，先通分，计算异分母的分式的加法，再

对应相等，得到关于48的二元一次方程组，是解题的关键.

通过通分将右边化为同分母分式，比较分子系数建立方程组求解.

〃ABA（x+3）—B（2x—1）Ax+3A—2Bx+B（A-2B）x+（3A+8）

【详解】解.2x-\x+3（2x-l）（x+3）（2x-l）（x+3）（2x-l）（x+3）

-r+10_A__B_（A-23）x+（34+3）

（2x-l）（x+3）2x-\x+3（2x-l）（x+3）

[A-2B=1®

"[3A+B=10@，

由①得A=1+2B@,

把③代入②得：3（1+23）+3=10,

3+68+8=10，

3+78=10,

75=7,

B=1，

则A=l+2xl=3,

所以4+8=3+l=4.

故答案为4.

16.如图，AB=8cm,BC=10cm,ZABC=ZBCF=9（）°,一动点£从点8出发以每秒2个单位长

度的速度沿射线BG运动，。为射线Cb上一动点，随着点E的运动而运动，且始终保持m=AC,当

点E（不与点B重合）经过___________s时，V4AC和，OEC全等.

F

【解析】

【分析】本题考杳了全等三角形的判定与性质，分四种情况，分别利用全等三角形的性质求解即可，熟练学

握全等三角形的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键.

【详解】解：vZABC=ZBCF=90°,ED=AC

①当E在线段8C上，A8=£。时，&ACB^EDC（HL）,

・・・AB=8，BC=IO,

EC=8»

.•.BETO—8=2,

・••点E的运动时间为2+2=1（秒）；

②当E在CG上，AB=EC时,^ACB^EDC（HL）,

・・・A5=8,BC=1O,

.\EC=8,

.-.BE=10+8=18,

・・・点£的运动时间为18+2=9（秒）；

③当E在线段上，CE=8C时，aAC哙.DEC（HL）,

这时E在8点处，不合题意舍去；

④当E在CG上，CE=8C时，ACB^DEC（HL）,

・・・AB=8，BC=1O,

,\EC=\O,

.*.BE=10+10=20,

，点E的运动时间为20+2=10（秒）；

综上：当点E（不与点"重合）经过1或9或10s时，VA8C和乙OEC全等，

故答案为：1或9或10.

3-

17.若关于x的不等式组23有解且最多有3个倡数解，且关于》的分式方程

-(x-3)-a>0

於-匚的解为非负整数’则所有满足条件的整数，，的和是-----------

【答案】2

【解析】

【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，根据分式方程的解的情况求参数，首先解不等式

组中的两个不等式，利用最多有3个偶数解的条件确定〃的取值范围；然后解分式方程，得到分式方程的

解，并利用非负整数解的条件确定〃的取值；最后综合两个条件得到满足条件的整数〃并求和.

【详解】解：解不等式上土一二以2—1,

23

不等式的两边同时乘以6得3（x-l）-2（x+l）N-6,

解得xN-l，

解不等式一（工一3）-々＞0得不＜3-。,

x-1x+1〉］

•・•关于X的不等式组〈三7一一有解且最多有3个偶数解,

一（%一3）-Q＞0

."3-a>-1

.•‘3-心6

・・・一3«。<4,

解分式方程:

方程两边同时乘以＞7得。+2=2（），-1）,

解得y=人品，

a2.

•・•关于）'的分式方程-----=2的解为非负整数,

y-ll-y

・・・孚=二十2是非负整数，

22

—＞0,且〃是偶数，

2

・・・。之-4,且〃是偶数,

又•.•原分式方程不能有增根.

y-1w0,

；•yw1,

:.—2,

综上所述，满足条件的整数。的值可以为()和2,

，所有满足条件的整数。的和是0+2=2,

故答案为：2.

18.如果A与8均为两位自然数，A的十位数字比8的十位数字大1,A与8的个位数字之和为6,记

AxB=M，则称加为A与8的“六顺数”，例如32与24,32的十位数字比24的十位数字大1,个位

数字之和为6,32x24=768,故三位自然数768是32与24的“六顺数”.已知2255为A与B的“六

顺数”，则A—3=,若M为4与3的“六顺数”，规定：P(M)=A+B,已知P(M)能被7

整除，则符合条件的"的最大值为.

【答案】©.14780

【解析】

【分析】本题考查整式的运算，二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键.

由AxB=2255,且A的十位数字比3的十位数字大1,个位数字之和为6,分解因数得4=55,

8=41，计算A—G；设〃=10x+y,表示A和。(")，由P(M)能被7整除确定x=2,再求M美

于V的二次函数最大值.

【详解】解：2255=55x41,

且55的十位数字5比41的十位数字4大1,个位数字5和1之和为6,满足条件，

..A=55,3=41，

•..4-3=55-41=14：

设8的十位数字为X,个位数字为y,则A的十位数字为X+1,个位数字为6-)，，

由题意得，8=10支+y，则A=10(x+l)+(6—>)=10x+16-丁,

其中X为1到8的整数，y为0到6的整数，

P(M)=A+B=(10X+16-J)+(10X+J)=20X+16,

•・・P(M)能被7整除,

20x+16能被7整除.

20x+16=14x+14+6x+2,其中14x+14能被7整除，

・••需6x+2是7的倍数，

工为1到8的整数，

••・当x=2时，6x+2=6x2+2=14是7的倍数，

x=2,

此时A=10x2+16—y=36—y,6=10x2+y=2()十y,

M=4x区=(36->9(20+y)=-y2+16y+720,

vtz=-1<0»

16

•••此二次函数开口向下，对称轴为)'=-2x(—1)=o机

•・•y为0到6的整数，在对称轴左侧，M随y的增大而增大，

••・当y=6时M最大，最大值为-6?+16x6+720=—36+96+720=780.

故答案为14,780.

三、解答题：本题共8小题，19题8分，20・26每题10分，共78分.解答时应写出文字说

明、证明过程或演算步骤.

19.计算题:

/

(1)(V3-2)°->/3V2-+2一1

3

2

(2)(x-3y)(x+3y)-(3y-x|

【答案】(1)J-V6

2

(2)6xy-\8y2

【解析】

【分析】本题考查了整式的混合运算，零指数累，负整数指数暴，二次根式的混合运算，熟练计算是解题的

关键.

（1）先计算零指数辕，负整数指数箱，二次根式的乘法，然后合并即可；

（2）先利用乘法公式展开，然后合并同类项即可.

【小问1详解】

解：(6-2)—V3+2T

=1-V6+1+-

2

=--5/6；

J9

【小问2详解】

解：(x-3y)(x+3y)-(3y-x)2

=d-9y2―(9;/-6A>'+X2)

=j2-9y2-9y2+6xy-x2

=6A)J-18)?2.

20.如图，NAC〃=90，AD是VABC的中线，CG为高,BC=2AC.

（1）尺规作图：过点。作AO的垂线与AB交于点E，（只保留作图痕迹，不写作法）;

（2）证明：AD=DF+DE

证：AQ是VA8。的中线，

BC=2CD=2BD,

•：BC=2AC,

•••__________①

•/ZBC4=90，

：.ZCAD+ZCDA=90，

NBCG+__________@=90，

AD±DE,

...NAOE=9（），

:./CDA+NBDE=90，

CG为高,

:./CGB=90，

ZBCG+ZB=90，

「•®

在VC4尸和V8OE中，

ZACF=ZB

<AC=BD

ZCAD=ZBDE

/.△CAF^ABDE<__________⑤）

•••__________

•.AD=DF+AF,

:.AD=DF^DE.

【答案】（1）见解析⑵BD=AC,ZACF,NCAD=NBDE,ZACF=ZB,ASA,AF=DE

【解析】

【分析】本题考杳了尺规作图一信垂线，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识点.

（1）根据过直线上一点作已知直线的垂线的方法即可作图；

（2）先证明也一瓦比1（ASA）,则A尸=。石，而4。=。产+A尸，再由等量代换即可证明.

【小问1详解】

解：如图，点E即为所求；

BC=2CD=2BD,

:BC=2AC,

BD=AC

vZBCA=90，

.•.NCW+NCD4=90.

ZBCG^ZACF=90°,

-ADIDE^

ADE=90，

.•./CDA+NBDE=90，

•・•/CAD=/BDE,

CG为高，

.•./CG8=90，

:./BCG+/B=90，

ZACF=/B,

在VOW7和V8DE中，

ZACF=ZB

<AC=BD

ZCAD=ZBDE

.•上C4/也一BZ)E(ASA)

AF=DE，

\-AD=DF+AF,

：.AD=DF+DE.

故答案为：BD=AC,ZACF,/CAD=/BDE,ZACF=NB,ASA,AF=DE.

-2r+l<-21-xA

21.先化简再求值：--+-5---------,其中“满足不等式组

x2-4x+4厂-4(x+2X)

2(%-1)+32—5

，请选择合适的整数x的值代入求代数式的值.

\_

【答案】--

x-25

【解析】

【分析】本题考查了分式化简求值，求一元一次不等式组的整数解，解题关键是熟练运用分式运算法则进行

求解.先根据分式的加减计算括号内的，然后将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后解不等式组，

根据分式有意义条件取舍的值，代入求解..

r-21-x

(x+2x

—2x+1—2x—(1-x)(x+2)

(X-2)2(X+2)(X-2)工(戈+2)

-2]x+1：(x-2)(x+I)

(x-2『(x+2)(x-2)x(x+2)

-2A+lx(x+2)

(x-2)2(X+2)(A-2)(X-2)(X+1)

-2x

^7+^7

(x-2)

2(x-1)+3>-5®

等+14②

解不等式①，得彳2-3,

解不等式②，得x<(),

二•不等式组的解集为-3Wx<0.

当原式有意义时，则f一4%+4H0，f_4w0，X+2/0,XWO，x+1工(),

.,."±2,xw-l旦x#0.

•・,不等式组的解集为-3Wx<0,

・"的整数值是一3.

22.如图，在平面直角坐标系中，VABC的三个顶点的坐标分别为4(-5,1),8(T,2),Cl-1,-1).

(1)在图中作出VABC关于x轴的对称图形△AB©；

(2)直线/过点(2,0)且平行于了轴，请直接写出点C关于直线/的对称点G的坐标；

(3)在(2)中的直线/上找一点尸，使得|P8—PC|的值最大时，求△PCg的面积.

【答案】(1)见解析(2)(5,-1)

(3)9

【解析】

【分析】本题主要考查了坐标与图形变化一轴对称，三角形三边关系，熟练掌握轴对称的性质是解题的关

键.

(1)关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得4、旦、G的坐标，描出4、4、G，

并顺次连接A、B「G即可；

(2)根据题意可得直线/即为直线x=2,再根据轴对称的性质可得点c和点G到直线/的距离相等，且

两点的纵坐标相同，据此求解即可；

(3)根据归3C,即可得当P、C、8三点共线时，|用一尸。|有最大值，利用网格的特征求出

点P的坐标，即可得到答案.

【小问1详解】

解：如图所示，△A4G即为所求；

【小问2详解】

解：•・•直线/过点(2,0)且平行于y轴，

・•・直线/即为直线x=2,

c(—1,—1),

・•・点。关于直线/的时称点c2的横坐标为2+2-(-1)=5,纵坐标为-1,

・,.点C2的坐标为(5,-1)；

【小问3详解】

'：\PB-PC\<BC,

・••当P、C、B三点共线时，|尸8-0C|有最大值，最大值为BC的长,

由网格的特征得点P的坐标为(2,T),

“Jlx轴，

・•・点尸到CG的距离为一1一(T)=3,

VCC2=5-(-1)=6,

・•・APCC的面枳为-X6x3=9.

22

23.已知VA3c和VAOE是等腰直角三角形，连接33和CE.

图1图2

(1)如图I：请问8。和C石有什么位置关系？并说明理由:

(2)如图2：BD,CE相交于点足R4和CE与相交于点G,BC=14,ZACF=\50,求所的长

度.

【答案】(1)CELBD,理由见解析

(2)7

【解析】

【分析1本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，含30。角的直角三角形的性质.

(1)延长CE,爻BD于点卜,证明名二CAE(SAS),得到/A8D=/ACE,从而可得

ZCBF+ZBCF=ZABC+ZACB=9O°,因此/期C=180P—(NCB/+N8b)=90。，得到

CF工BD；

(2)求出/8b=NACB—NAb=30。，根据含30。角的直角三角形的性质即可求解•.

【小问1详解】

解：CE工BD,理由如下：

延长CE,交BD于点F,

•・•V4AC和VADE是等腰直角三角形，

AAB=AC,AD=AE^^DAE=ZBAC,

・•・ZDAE-ZBAE=ZBAC-ZBAE,

即/DAB=NEAC，

・・・M3D^AC4E（SAS）,

:.ZABD=ZACE,

・•・4CBF+/BCF

=ZABD+ZABC+/BCF

=ZACE+ZABC+/BCF

=ZABC+ZACB

=180°-ZBAC

=90%

・•・N3尸C=180。一（NC3尸十NBW）=90。，

/.CF1BD,即CE_L8£）.

【小问2详解】

解：・・・VA8C是等腰直角三角形，

・•・ZAC8=45。，

•・•ZACF=15°,

・•・/BCF=ZACB-ZACF=30°，

由（1）同理可得CE_L8£）,即/5尸。=90。，

・•・BF=-BC=-xl4=7.

22

24.2026年粤超联赛风靡广东地区，赛事带动关联消费突破300亿元，印有联赛专属Log。和热门球员剪

影的时尚短袖T恤成为球迷追捧的爆款单品.某体育用品店紧抓“赛事经济”风口，先用8000元购进一

批该款T恤；因线下观赛客流激㈣、订单火爆，店铺紧急追加采购，用20000元购入第二批，所购数量是

第一批的2倍，且受货源紧张影响，每件进价比第一批贵20元.

（1）该店铺购进第一批T恤的进价是多少元？

（2）如果两批T恤按相同标价销售，最后60件断码款按五折优惠清仓，要使两批T恤全部售完后（扣除

640元快递及包装费用），利润率不低于25%,那么每件T恤的标价至少是多少元？（利润率=利润+进

货成本）

【答案】（1）80元（2）132元

【解析】

【分析】本题考查分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解应用题时需要理清楚数量关系，找到合适的

量设未知数，根据题意列出方程或不等式，注意分式方程求解需要检验.

（1）设购进第一批丁恤衫每件的进价是x元，根据两次购买数量关系列分式方程求解即可；

（2）设每件丁恤衫的标价是丁元，通过利润率不低于25%列不等式，求解范围即可.

【小问1详解】

解：设购进第一批丁恤衫每件的进价是1元，则第二批丁恤衫每件的进价是（x+20）元,

8000、20000

根据题意列分式方程得,____V/—_____

xx+2()

解得工二80,

经检验x=80为分式方程的解且符合题意，

答：购进第一批丁恤杉每件的进价是80元;

【小问2详解】

解：设每件7恤衫的标价是）'元,

第一次购进噌=100(件)，第二次购进100x2=200(件)，

80

利润为：(100+200-60)y+60x50%y-8000-20000-640,

利润率不低于25%,

则(100+200-60)y+60x50%y—8000—20000—640之25%x(8000+20000),

解得）亚132,

答：每件丁恤衫的标价至少是132元.

25.数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法.请你根据已有的知识经验，解决以卜.问题:

一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到

图1图2图3

（I）通过“•算图2中阴影部分的面积可以得到的数学等式是

（2）利用（1）中结论，解决下面问题，若a+〃+c=8,ab+bc+ac=\l»则

（3）如图3,四边形ABC。，AQHT,ARFP是正方形,四边形A7ER和APGQ是长方形，其中长方

形APGQ的面枳是100,PB=&QD=18,求图中阴影部分的面枳.

【答案】（1）（«+/?+（?）"-2ab-2ac-2bc=a2+/?2+c2

（2）30

（3）阴影部分的面积为500.

H新斤】

【分析】本题考查了多项式乘以多项式与图形的面积，代数式求值，熟练运用数形结合的思想是解题的关

键.

(1)根据正方形的面积公式直接计算得出面积,或者用大正方形的面积减去周围小图形的面积.列等式即

可；

(2)根据(1)中结论，整体代入计算即可；

(3)设阴影部分的面积为S,AB=AD=x,则AP=QG=K-8,AQ=PG=X-\S,然后根据长方

形面积公式可得(工一8乂工一18)=100,得到Y—26x=-44,根据S=/G-"G=4(f—26x)+676计

算即可.

【小问1详解】

解：根据图形得(。+/?+。2-2而一2。(?一》。=。2+/+02,

故答案为：+b+-2ah-2ac-2bc=a1+b2+c2,

【小问2详解】

解：由(I)知-2。〃一2。。一2/?(?=。2+〃2+c?,

则a2+b2+c2=(a+b+c)2-lab-2ac-2bc

=(a+b+c)2-2(ab+ac+be)

=82-2X17

=64-34

=30：

故答案为：30；

【小问3详解】

解：•・•四边形A8CO是正方形，

・•・设阴影部分的面积为5,AB=AD=x,

・・•PB=8,QD=18,

：,AP=QG=x-S,AQ=PG=x-\S,

•・•K方形APG。的面积是100,

.­.(x-8)(x-18)=100,

x2-26x+144=100»

x2-26x=-44>

•・•四边形AQHT,A电产是正方形,

AAQ=HQ=x-\S,FP=AP=x-S,

・•.FG=FP4-PG=(X-8)+(JC-18)=2X-26,〃G=〃Q+eG=(x-18)+(x-8)=2x-26,

・•・S=FG.〃G=(2x-26)(2x-26)

=(2x-26)2

=4X2-104X+676

=4(x2-26x)+676

=4X(")+676

=500.

答：阴影部分的面积为500.

26.如图1,VA8C是等边三角形，点。是平面内的一点，连接A。，将A8边沿直线AO翻折得到线段

AE,连接跖，连接CE•与AO交于点尸.

(1)若/43石=75。，求/4CE的度数；

(2)试探究线段石尸、AF.Cr之间的数量关系并证明；

(3)如图2,VABC的边长为7,连接6尸，点”是直线斯上的一点，连接C”，点G是直线C”上

的一个动点，当所在人n左侧，且NA8F=30。时，连接A4、BG,当4AHe的周长最小时，直接写

出BG的最小值.

【答案】(1)45°

(2)CF=AF+EF；理由见解析

【解析】

【分析】(1)根据等腰二角形的性质得出A5=BC=AC.ZABC=ZACB=ZBAC=60°.根据等腰二

角形的性质得出NA£8=NA8石=75。，求出/七4。=30。+60。=90。，根据等腰三角形的性质求出

ZA