一元二次方程的实际应用（八大题型）原卷版-2025-2026学年八年级数学下册（浙教版）

一元二次方程的实际应用(八大题型)

题型归纳

【题型1一元二次方程应用-变化率问题】

【题型2一元二次方程应用传染问题】

【题型3一元二次方程应用枝干问题】

【题型4一元二次方程应用双循环问题】

【题型5一元二次方程应用单循环问题】

【题型6一元二次方程应用-销售利润问题】

【题型7—元二次方程应用-几何面积问题】

【题型8—元二次方程应用•动点与几何问题】

:题型专练

【题型1一元二次方程应用-变化率问题】

1.在曲靖，你可以穿越时空隧道，唤醒红色记忆，阅读波澜壮阔的革命史诗，追溯激情燃烧的岁月，感怀

先辈的爱国主义和革命英雄主义精神，康续红色血脉，阔步新的长征.据了解，今年3月份我市某红色

教育基地接待参观人数1000人，5月份接待参观人数增加到1210人.设这两个月平均增长率为％,根据

题意，可列方程为()

A.1000(1-x)2=1210B.1000(1+x)2=1210

C.1210(1+x)2=1000D.1210(1-%)2=1000

2.在国家义务教育优质均衡发展政策的引领下，近几年，某校获得政府持续投入资金改善基础设施，其中

2023年投入50万元，2023到2025年累计共投入218万元，若投入资金的年平均增长率相同，求该校

投入资金的年平均增长率，设年平均增长率为工，所列方程E确的是()

A.50(1+x)2=218B.504-50(1+x)+50(1+x)2=218

C.50+50(1+x)+50(1+x2)=218D.50(1+x2)=218

3.凭借同动的舞蹈、专业的指导团队与丰富的活动规划,我校舞蹈社团在初一年级招新工作中备受青睐.

成功吸纳了64名热爱舞蹈、怀揣艺术梦想的同学加入，为社团注入了青春力策.为了让更多同学感受

舞蹈魅力，社团计划再次开展两期招新活动，且每期成员人数的增长率相同.经过两期的招新，社团成

员规模扩大至100人.

(1)求该社团每期成员人数的增长率是多少？

(2)若按照该增长率持续推进第三期招新活动，第三期结束时，该社团的成员人数是否会超过120人？请

说明理由.

4.某商店于一月底收购一批农产品，二月份销售120袋，三月份销售量比二月份增长20%,四、五月份该

商品十分畅销，销售量持续增长，五月份的销售量已经达到225袋.

⑴求该商店三月份的销量；

⑵求该商店四、五两个月销售量的月平均增长率.

5.为积极响应国家消费品以旧换新政策，助力家电消费升级，某商场推出家电惠民补贴活动.已知该商场

8月份投入补贴资金10万元，10月份投入的补贴资金增至12.1万元，且每月投入资金的增长率保持一

致.

(1)求该商场投入补贴资金的月增长率；

(2)按照(1)中所求的增长率，预计该商场11月份投入的补贴资金将达到多少万元？

【题型2一元二次方程应用传染问题】

1.现在是流感多发季，假设有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感,

(1)请问每轮传染中平均一个人传染多少人？

(2)第三轮共有多少人患流感？

2.某地发生禽类疫情，当地政府和企业迅速进行了疫情排查和处置.在疫情排查过程中，某农场第一天发

现3只鸡发病，到第三天时共有192只鸡发病.

⑴每只发病的鸡平均每天传染多少只鸡？

(2)若疫情得不到控制，则3天后鸡的发病数会超过1500只吗？

3.春节过后，甲型流感病毒(以下简称：甲流)开始悄然传播，某办公室最初有两人同时患上甲流，经过

两轮传播后，办公室现有8人确诊甲流，请问在两轮传染过程中，平均一人会传染给几个人？

4.今年秋冬季是支原体肺炎的感染而发期，多见于5岁及以上儿童，如果外出时能够戴上口罩、做好防护,

可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染，现在，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患

了支原体肺炎(假设每个人每轮传染的人数同样多).

(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？

(2)某药房最近售出了普通医用口罩和N95医用口罩共180盒，已知售出的普通医用口罩的盒数不少于

N95医用口罩的5倍，每盒N95医用口罩的价格为10元，每盒普通医用口罩的价格为4元，则售出N95

医用口罩和普通医用口罩各多少盒时，总销售额最多？请说明理由.

【题型3一元二次方程应用枝干问题】

1.某校“研学〃活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同

样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31,则这种植物每个支干长出多少个小分支？

2.在人群密集的场所，信息传播很快，某居委会有3人同时得知一则喜讯，经过两轮传播后，使得这则喜

讯在共有864人的居民小区中的知晓率达50%,那么每轮传播中平均一人传播了多少人？

3.化学课代表在老师的培训下，学会了高镒酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教

会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好

都会做这个实验了.问一个人每节课手把手教会了多少名同学？

4.小华为推广自己在校园科技节的创意作品，先在某个社交平台上发布作品介绍，再邀请若十名同学转发,

每名同学转发后，又各自邀请相同数量且互不相同的同学转发，依此类推.已知经过两轮转发后，共

有111人参与了小华创意作品的转发活动（含小华自己），则小华邀请了多少名同学转发？

【题型4一元二次方程应用双循环问题】

I.阿图什市全疆足球邀请赛共进行比赛110场，参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，则参加比赛

的队伍共有()

A.8支B.9支C.10支D.11支

2.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组互赠标本共210件，若全组

有x名同学，则根据题意列出方程是()

A.x(x+1)=210B.x(x-l)=210C.2x(x-1)=210D.=210

3.某数学兴趣小组的同学在元旦互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出仝组共互送了90

张贺卡，那么数学兴趣小组的人数是()

A.9B.10C.18D.12

4.初中毕业前夕，某数学学习兴趣小组的成员互赠纪念K片作为毕业礼物.小组里每两名成员之间互相赠

送一张卡片(即力送给8—张，8也送给4一张).已知全组共赠送了306张卡片，如果该兴趣小组

的人数为x人，根据题意，下列方程正确的是()

A.1)=306B.x(x-l)=306

C.+1)=306D.x(x4-1)=306

5.今年“国庆节”期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己

不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有()

A.10人B.9人C.8人D.11人

6.学校要组织篮球邀请赛，赛制采用双循环制(每两队之间要进行两场比赛).计划安排56场比赛，应邀

请多少个球队参加比赛？设邀％个球队参赛，根据题意列方程正确的是()

A.1x(x—1)=56B.1x(x+1)=56

C.x(x-1)=56D.x(x4-1)=56

【题型5一元二次方程应用单循环问题】

1.在一次九年级数学交流会上，每两名学生握手一次，共计握手171次，若设参加此会的学生有T名，则可

列方程为()

A.+1)=171B.1X(X—1)=171C.x(x-1)=171D.x(x+1)=171

2.某职业学校，“礼仪小姐〃培训班结业时，每个同学都要和培训班的其他同学照一张合影，摄影师共照了

132次，如果设培训班共有x名同学，依题意，可列出的方程是()

A.x(x+1)=132B.x(x-l)=132C.2x(x+1)=132D.=132

3.某次酒会上，与会嘉宾每两人碰杯一次，若共碰杯66次，则酒会上嘉宾人数为()

A.10B.11C.12D.13

4.在某个商品交易会上，参加商品交易会的每两家公司之间只签订一份合同，所有公司共签订了55份合

同.设参加交易会的公司有工家，则可列方程为()

A.X(X-1)=55B.X(X+1)=55C.^^=55D.^^=55

【题型6一元二次方程应用-销售利润问题】

1.某学校校园文化节期间，委托文具店定制一批校园纪念笔记本.文具店11月4日定制出200本，5日、

6日定制量持续增加,到11月6日当天的定制量达到338本.

(1)求5日、6日这两日定制量的平均增长率.

(2)在日常销售期间，为吸引更多同学购买，文具店降价促销笔记本.已知每本笔记本成本为30元，当

包:价为每本50元时，口销量为320本；每降价1元，口销量可增加5本.问每本笔记本降价多少元时，

当日销售总利润可达到5940元？

2.某体育用品商店购进一批足球队球衣，每件的进价为80元，出于营销考虑，要求每件球衣的售价不低于

80元且不高于150元，在俏售过程中发现，球衣每周的俏售量y(单位；件)与每件球衣的售价%(单

位：元）之间满足的函数关系如图所示.

⑴求y关于％的函数表达式及x的取值范围；

⑵当球衣的销售单价定为多少元时，每周销售球衣所获利润为2700元？

3.12月10口，中央广播电视总台发布2026年春晚的主题为一一〃骐骥驰骋势不可挡〃.《楚辞•离骚》中写

道："乘骐膜以驰骋兮，来吾道夫先路.〃“骐膜〃是古人对骏马、千里马的雅称，凝聚着中华民族开拓进

取、驰而不息的精神品格；又音同"奇迹”，传递出创造奇迹的决心和一往无前的信心，饱含对新时代新

征程满怀期冀的美好愿景.春节来临之际，商场以80元/件的进价购进一款印有“骐牌驰骋纹”的卫衣.试

销发现：当售价为120元/件时，平均每天能卖出60件；若这种卫衣的售价每下降5元，则平均每天能多

售出20件.商场要使销售此款卫衣平均每天的利润为3000元，且尽可能让利于消费者，每件卫衣应降

价多少元？

骐骥驰骋势不可挡

岛H眼晚合

4.某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住

满.客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲,对有游客入住的客房,旅科还需要对每个房间支出

20元/天的维护费用，设每间客房的定价提高了％元.

⑴填表（不需化简）：

入住的房间数量房间价格总维护费用

提价前6020060x20

提价后①2004-x②

⑵若该青年旅社希望每天纯收入为14000元，且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元（纯

收入=总收入一总维护费用）？

5.根据以卜.素材，探索完成任务.

素深圳某新能源汽车零部件企业借助智能制造技术，对某款电动汽车的电池管理系统零部件进行一体

材1化加工，生产效率显著提升.该零部件8月份生产100个，10月份生产144个.

素该企业生产的零部件成本为30元/个.销售一段时间后发现，当零部件售价为40元/个时，月销售量

材2为600个.若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个.

问题解决

任该企业8月份到10月份生产数量的平均月增长率是多少？

务1

任为使月销售利润达到10000元，并且尽可能让新能源汽车企业得到实惠，该零部件的实际售价应定

务2为多少元？

6.某玩具店老板欲购进一批进价为20元/个的益智玩具，调杳5个门店发现销售此玩具的日销售量（个）

仅与销售单价（元）有关，具体记录如下表:

玩具店ABCDE

销售单价6059585756

日销售量2022242628

仟务一：模型建立

（1）从所学的函数模型中挑选你认为合适的函数模型，并求该玩具的日销售量与销售单价之间的函数

关系式：

任务二：问题解决

（2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为200元，该玩具店老板想要每天获得600

元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？

【题型7一元二次方程应用-几何面积问题】

1.我国古代数学在方程领域有着辉煌的成就.《九章算术》中一：己载：今有户高多于广六尺八寸，两隅相去

适一丈.问户高、广各几何？翻译后为：有一扇门，高比宽多6尺8寸，对角线距离恰好1丈.问门

的高和宽各是多少？设宽为“尺，则依题意列方程正确的是().

222

A./+(%+6.8)2=102B.x+(x-6.8)=10

C.x2-(x-6.8)2=102D.102+x2=(x+6.8)2

2.某停车场为了解决新能源汽车充电难的问题.将长为100m,宽为80m的长方形停车场进行改造.如图,

将长方形停车场的长和宽分别划分出相等的宽度xm,划分出的这部分区域（阴影部分）目于修建充电

桩，若剩余停车场（空白部分）的面积为3500m2,则根据题意，下面所列方程正确的是（）

A.100（80-%）=3500B.（100-x）（80-X）=3500

C.80（100-%）=3500D.（100-2x）（80-%）=3500

3.某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为200m2的矩形试验田，用来种植蔬菜.如图，试验田

一面靠墙，墙长35m,另外三面用48m氏的篱笆围成，8C边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）.设试

验田垂直于墙的一边48的长为xm,则下列所列方程正确的是（）

A.x(48+l-x)=200B.x(48-2x)=200

C.x(48+1-2x)=200D.x(48-1-2xi=200

4.某园区内原有一块宽为20米，长为30米的长方形空地，后计划在此区域栽种面积为486平方米的鲜花

（阴影部分）并铺设如图所示的宽度相同的小路（空白部分）供游客观光.如果设这个宽度为x米，

那么所列出的方程是（）

A.(20-2x)(30-3x)=20x30-468

B.(20-2x)(30-3x)=468

C.(20-2x)(30-3x)=486

D.2(20-2x)(30-3x)=486

5.李大爷准备修建一个养殖园，饲养鸡、鸭、鹅三种家禽.如图，李大爷用隔离网围成一个一边靠院墙的

矩形养殖园，并且在中间增设了两道隔离网.已知矩形的选A。、8C和两道隔离网均与院墙垂直，若隔

离网总长为40m,则养殖园的面积能否达到120m2?若能，求出A8的长：若不能，请说明理由.

D

A

【题型8一元二次方程应用-动点与几何问题】

1.如图，在中，/R=90%AR=6cm,RC=8cm.点。从点4出发沿MB边向点△以lcm/s的速

度移动，点。从点8出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果点P,。分别从点儿〃同时出发，当

一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动，设运动的时间为t(s).

⑴当/为何值时，△PBQ的面积是△ABC面积的亮?

⑵当/为何值时，PQ的长为4日cm?

2.在长方形ABCO中，AB=5cm,BC=6cm,点。从点力开始沿边48向终点4以lcm/s的速度移动，与

此同时，点Q从点E开始沿边8c向终点C以2cm/s的速度移动.如果尸、。分别从力、〃同时出发，

当点。运动到点。时.两点;亭I卜运动.设运动时间为t秒.

A

⑴填空：BQ=,PB=用t的代数式表示)：

(2)当/为何值时，PQ的长度等于5cm?

⑶是否存在，的值，使得五边形/PQC。的面积等于26cm2?若存在，请求出此时,的值；若不存在，请

说明理由.

3.如图，4、B、C、。为矩形的四个顶点，4B=16cm,/ID=6cm,动点P、Q分别从点力、C同时出发,

点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达8为止，点Q以2cm/s的速度向D移动.

AD

(1)P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；

(2)P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm.

4.已知：如图所示，在△ABC中，=90°,AB=5cm,8c=7cm,点P从点力开始沿A8边向点8以lcm

/s的速度移动，点Q从点8开始沿3C边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也

随之停止运动.

c

A-^PB

⑴如果P、Q分别从力、8同时出发，那么几秒后，APQB的面积等于4cm2?

⑵在(1)中，△PQB的面积能否等于7cm2?请说明理由.

5.在矩形力BCD中，AB=12cm,BC=6cm,点P从点C开始以lcm/s的速度沿C8边向点8移动，点。

从点。开始以2cm/s的速度沿DC边向点。移动,P、。分别从C、