2026年高考数学复习（全国）三角函数的图象与性质（讲义）试题版

专题5.3三角函数的图象与性质（举一反三复习讲义）

【全国通用】

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广题型1求三角函数的定义域、值域（最值）

r题型2三角函数的图象识别与交点问题

r题型3三角函数图象变换问题

r题型4由部分图象求函数的解析式

，题型5三角函数的单调性问题

L题型6三角函数的周期性、对称性与奇偶性

的灵活运用

'题型7三角函数的零点问题

L题型8三角函数与三角恒等变换的综合应用

1、三角函数的图象与性质

三角函数的图象与性质是高考的重点、热点内容，其中三角函数的图象

变换以及三角函数的周期性、对称性、奇偶性与单调性之间的关系是高考考

察的重心。从近几年的高考情况来看，三角函数的图象与性质为核心高频考

命题规律点，考查形式稳定且层次分明。

选择题、填空题聚焦三角函数的图象与性质、图象变换（平移、伸缩）、

分析

解析式确定，题型基础，难度偏低；解答题中多与三角函数的性质应用结合,

涉及单调区间、最值、值域、参数求解，常融入三角恒等变换、解三角形模

块进行考察，凸显知识关联性，难度中等或偏下，二轮复习时需要充分掌握

三角函数的图象与性质，学会灵活求解。

高考真题考点2023年2024年2025年

新课标卷:第题,

统计I15

5分

新课标n卷：第16新课标I卷：第7题,

题，5分5分

全国甲卷（文数）：新课标II卷：第6题,全国一卷：第4题，

三角函数的第12题，5分5分分

图象与性质全国甲卷（理数）：新课标n卷：第9题,全国二卷：第15题

第10题，5分6分13分

全国乙卷（文数）：全国甲卷（文数）：

第10题，5分第13题，4分

全国乙卷（理数）：

第6题，5分

预测在2026年全国卷高考数学中，三角函数的图象与性质的考情将继

续维持稳定态势。大概率仍然以选择题、填空题的形式进行考察，分值稳定

2026年在5分左右：也有可能在解答题中考查。选择、填空题核心考点聚焦三角函

数的图象交点问题、三角函数的性质问题以及图象变换问题，难度不大；在

命题预测解答题中主要考查三角函数的性质应用或与其他知识（如：解三角形、导数

等）结合考查，此时难度中等，侧重三角函数性质的熟练运用，考查数形转

化与知识综合运用能力。

求三角函数的定义域通常要解三角不等式（组）,

三角函数的定义域解三角不等式（组）常借助三角函数的图象

的求解思路

三角函数的定义域

与值域求解三角函数的值三大模型

域（最值）常见的几•

种类型

三角函数周期的一般求法：（1）公式法；（2）不能

用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定

知识梳理

知识点1三角函数的定义域与值域的求解策略

1.三角函数的定义域的求解思路

求三角函数的定义域通常要解三角不等式（组）,解三角不等式（组）常借助三角函数的图象.

2.求解三角函数的值域（最值）常见的几种类型：

⑴形如y=asin.\+l）cosx+c的三角函数化为广Asin（Gx+s）+c的形式，再求值域（最值）；

（2）形如产asin入+/?siiu+c的三角函数，可先设sinv=f,化为关于t的二次函数求值域（最值）；

（3）形如.尸asin.xcosx+》（siru±cosx）+c的三角函数，可先设r=siav±cosx,化为关于t的二次函数求值域（最值）.

知识点2三角函数的周期性、对称性、奇偶性的求解策略

1.三角函数周期的一般求法

（1）公式法;

（2）不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期.

2.三角函数的对称轴、对称中心的求解策略

⑴对于可化为危尸Asin(①x+s)(或./(x)=4cos(cox+8))形式的函数，如果求贝幻的对称轴，只需令5+9;

，+E(Z£Z)(或令cov+9=E(&£Z)),求x即可；如果求«r)的对称中心的横坐标，只需令s+e=E(k£Z)

(或令+E(k£Z)),求x即可.

(2)对于可化为/U)=Atan(tar+e)形式的函数，如果求人v)的对称中心的横坐标，只需令sx+3二年(A£Z)),

求工即可.

3.三角函数的奇偶性的判断方法

三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在产AsinWx+夕)中代入后0,若产0

则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.

若产4sin(3+8)为奇函数，则夕=E(后£Z)；若产Asin(Q)x+e)为偶函数，则勿='+依仗sZ).

知识点3三角函数的单调性问题的解题策略

1.三角函数的单调区间的求解方法

求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成尸Asin(公什。形式，再求尸Asin(公什8)的单调区间，只需

把(ox+(p看作一个整体代入产siru的相应单调区间内即可，注意要先把co化为正数.

2.已知三角函数的单调性求参数的解题思路

对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数少的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单

调区间的子集,其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，

利用特值验证排除法求解更为简捷.

知识点4三角函数的图象变换问题

1.三角函数的图象变换问题的求解方法

解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下：

(1)定函数:一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象；

(2)变同名:函数的名称要变得一样；

(3)选方法:即选择变换方法.

知识点5由部分图象确定函数解析式的解翘方法

1.由部分图象确定函数解析式的方法

由尸Asin(s:+8)(4>0,①>0)的一段图象求其解析式时,4比较容易由图得出,困难的是求待定系数①和夕,

常用如下两种方法：

⑴如果图象明确指出了周期7的大小和“零点”坐标，那么由“=竿即可求出①；确定。时，若能求出离

原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点的横坐标X。，则令3右+少=+3=兀)即可求出口

(2)代入点的坐标.利用一些已知点i最高点、最低点或零点)坐标代入解析式，再结合图形解出①和⑺若对4

口的符号或8的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求.

知识点6三角函数图象、性质的综合应用的解题策略

1.研究函数产AsinQ.v+e)性质的技巧

研究产Asin(①x+8)的性质时可将sx+s视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.

2.函数的零点(方程的根)的问题的解题策略

函数的零点(方程的根)的个数可转化为两个函数图象的交点个数，据此进行求解即可.

3.三角函数模型

三角函数模型的应用体现在两方面：一-是已知函数模型求解数学问题：二是把实际问题抽象转化成数学问

题，利用三角函数的有关知识解决问题.

【方法技巧与总结】

1.对称性与周期性

(1)王弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是;个周期，相邻的对■称中心与对称轴

之间的距离是5个周期.

(2)王切曲线相邻两对称中心之间的距离是1个周期.

2.与三角函数的奇偶性相关的结论

⑴若产4sin(s")为偶函数，则纱二丘+，(k£Z)；若为奇函数，则%E(k£Z).

⑵若)=ACOS((OX+9)为偶函数，则e=E(k£Z)；若为奇函数，则p=A兀+、伏WZ).

(3)若)=人匕11(5+夕)为奇函数，则ip=kn(kWZ).

3.三角函数的图象变换规律

⑴函数产Asin(3+8)+攵图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.

(2)由3=sins到产sin(①x+o)(①＞0,。＞0)的变换：向左平移个单位长度而非(f＞个单位长度.

举一后二

【题型1求三角函数的定义域、值域(最值)】

[例1](2025・重庆•模拟预测)已知函数f(%)=sinx4-acosx的图象关于％='对称，则/'(%)的最大值为()

6

A.苧B.V2C.V3D.2

【变式1-1](2025,河北・模拟预测)函数/3)=485心而卜一习在[0图上的值域为()

A.[-2,1]B.[-3,1]C.[-2,0]D.[-1,1]

【变式1-2](25-26高一上•全国・单元测试)在[0,2TT]内，函数/(%)=71-2cosx+In(sinx-的定义域

是()

A.B・管浮]

C骆）D•牌）

【变式1-3]（2025・湖北黄冈•模拟预测）已知函数f（x）=3cos（3x+t）（e>0）的最小正周期为小则/（幻在

卜„上的最大值为（）

A」B.；C,2D.3

【题型2三角函数的图象识别与交点问题】

【例2】（2025・天津•二模）函数/（%）=cosx+2cos2x+3cos3x的大致图象可能是（）

【变式2-1]（2025♦广东广州•模拟预测）当xG[0,2n]时，曲线y=sinx与y=3sin（2x-?的交点个数为（）

A.3B.4C.5D.6

【变式2-2]（24-25高一下•四川成都・月考D函数y=sinx-：部分图象是（）

A.B.

【变式2-3］（2025.河南郑卅二模）函数/（%）=2sin伽+.）与函数g（%）=log?%的图象交点个数为（）

A.3B.5C.6D.7

【题型3三角函数图象变换问题】

【例3】（2025・安徽・二模）已知座数/⑺=/2%+祀。$2%的一个零点是：，为了得到y=2cos2x的图象，

6

需要将函数y=/（x）的图象（）

A.向左平移等个单位长度B.向左平移各个单位长度

126

C.向右平移S个单位长度D.向右平移!个单位长度

126

【变式3-1】（2025•新疆•模拟预测）将函数/（幻=V3sin2x+cos2x的图象向左平移9（9>0）个单位长度后

得到函数9（%）的图象.若/（%）与9（力的图象关于点（；,0）对称，则伊的最小值为（）

A.-B.-C.-D.-

1212612

【变式3-2］（2025•四川泸州•一模）把函数y=sin（2x+£）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍・，纵坐

标不变，再把所得图象向右平移三个单位长度，得到图象对应的解析式为（）

（口、

A.y——sin4xB.y=sin（x——|

\6?

C.y=sin（%+g）D.y=sinx

【变式3-3］（2025•河北邢台・三模）已知函数/（x）=sin2x+QCOS2X的图象过点（0,百），将/（x）的图象向右

平移七个单位长度后，得到函数g"）的图象，则g（x）的图象的对称轴为（）

A.%=?+?，keZB.%=!+?，kE7.

3262

C.x=—F/CTT,/cGZD.x———Fkit,k£Z

612

【题型4由部分图象求函数的解析式】

【例4】（2025•江苏淮安•模拟预测）函数f（x）=Asin（s;+M5>0,a）>0f（pE［0,2TT））的图像如图所示,

A.3sinB.3sin

C.3sin(«+9D.3sinQx-；)

【变式4-1](2025・甘肃白银•模拟预测)如图，将函数f(x)=4sin(cox+@)(3>0,|如VTT)的图象向左平移

得到g(x)=4sin3x的图象，其中点A是。(%)图象上的最高点，N,M分别是/'(%),g(x)的图象与入轴的相邻

交点(如图所示)，若的面积为10,则f(x)三()

,A

A.4singx—壬B.4sin(；5)

C.4sin(；x-g)D.4sing

【变式4-2】(2025•江西吉安・模拟预测)如图函数;=4sin(3X+w)(4,3>0,\(p\<的图象过点

(0,-三点，则3的值为()

'］；A.

rv

A.-B.1C.2D.3

2

【变式4-3](2025•天津滨海新区•三模)已知函数/a)=4sin(3%+尹)(4>0,3>0,0<桃<^)的部分图象

如图所示，关于该函数有下列四个说法:

①/⑴在区间需有上单调递减

②/（%）的图象可由y=2sin2x的图象向左平移个单位得到

③/（幻的对称轴为％=居+kn（keZ）

④/（%）在区叫0曰上的最小值为-W

以上四个说法中，正确的个数为（）

A.IB.2C.3D.4

【题型5三角函数的单调性问题】

【例5】（2025・陕西西安•二模）己知函数/'3）=5而即一93>0）,/'（%）在[0曰上单调，则3的最大值为

（）

A-IB.3C.2D空

【变式5-1]（2025•陕西汉中•三模）函数/（%）=cos卜％-习的一个单调递减区间为（）

A.（泻B.（0,n）C.仁塔）D.黯）

【变式5-2】（2025・辽宁•二模）已知函数/•（乃=85（3工+9（3>0）在区间6，：）上单调，则口的取值范围

为（）

A.（1,1）B.[”）C.（0j）D.（0,|]

【变式5-3】（2025・湖南•一模）下列函数中，/（编为周期函数，且在区间上单调递减的是（)

A./(x)=sin|x|+1B./(x)=|sin2x|+2

C./(x)=cos|3x|+3D./(x)=|cos4x|+4

【题型6三角函数的周期性、对称性与奇偶性的灵活运用】

【例6】(2025•上海普陀•一模)下列函数中，周期为n的奇函数是()

A.y=|sinx|B.y=cos2x—sin2x

C.y=cosA)Dr.y=--s-in--2-x--

J1+COS2X

【变式6-1](2025•江西新余•模拟预测)已知函数f(x)=sin(n-cos%),则下列结论不正确的是()

A.八%)是偶函数B.八%)的单调递增区间为[2/or-n,2kn](kGZ)

C.f(%)是周期为ir的周期函数D.的图象关于点C，0)对称

【变式6-2](2025•江苏盐城・模拟预测)若函数/(x)=tan(tox+3)(to>0,(p>0)的图象与直线y=a的两

个相邻交点之间的距离为》且f(x+2)为奇函数，则8的最小值为()

AfB.C.yD.g

【变式6-3](2025•海南•模拟预测)已知函数/Xx)=sin(3%+f(e>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离

为B，g(x)=sin(2x+等，则()

A./(%)的最小正周期为2n

B.外切的图象关于点(g,0)对称

C.将g(x)的图象向左平移弓个单位长度可得到f(x)的图象

«5

D./(%)与g(x)的图象关于y轴对称

【题型7三角函数的零点问题】

【例7】(2025•陕西榆林•模拟预测)设函数f(x)=sin3X在区间(0m)上恰有2个极值点、1个零点，则3的取

值范围是()

A.(问B.仔2)

C.[-2,-1)UQ,2]D,(-2,-1)UQ.2)

【变式7-1](2025•辽宁・模拟预测)设3>0,已知函数/G)=sin3sinx)在区间(0,11)内恰有2025个零点，

则3=()

A.IOIOTTB.lOllnC.1012KD.1013n

【变式7-2](2025・湖南益阳•三模)函数/(%)=cos2x-sinx在(—2E2TT)内的零点之和为()

A.-nB.-2nC.--D.0

2

【变式7-3](2025•辽宁・二模)将函数/•(x)=sinx的图像先向右平移三个单位长度，再把所得函数图像上的

•5

每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的《3>0)倍，得到函数g(x)的图像.己知函数g(x)在[0,月上有

两个零点，则3的取值范围为()

人[消)B.[鸿)C.[鸿)D.用)

【题型8三角函数与三角恒等变换的综合应用】

【例8】(2025•四川德阳•模拟预测)已知函数/(x)=2sinx+cosx,xeR,则/(%)的最大值与最小正周期分

别为()

A.3,2TTB.3,TTC.V5,2TTD.V5,TT

【变式8-1](2025•四川自贡•一模)若函数f(%)=V3sintox4-coso;x(do>0)满足+TT)=f(x),且在(0,?

o

没有零点，则3的最大值为()

A.4B.5C.6D.7

【变式8-2](2025・河北•一模)将函数/(x)=sino)x+V3cosa)x(a)>0)的图象向右平移;个单位长度，得到

的图象关于y轴对称，则口的最小值为()

A.\B.\C.|D.1

2222

【变式8-3](2025•全国•模拟预测)已知函数/(%)=sincox+Q•cos3%(a>0,3>0)的最小正周期为IT,最

小值为一加，则()

A./(%)的图象关于直线％=对称

B.f(%)的图象关于点(-%0)对称

C.先将y=>/Isinx上的点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再将图象向左平移J个单位可得到f(x)

O

的图象

D.先将y=V^sinx向左平移;个单位，再将图象上的点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变可得/(%)

O

的图象

高考真题练

考点一三角函数的图象与性质

一、单选题

1.(2025•全国一卷•高考真题)已知点(Q,0)(Q>0)是函数y=2tan(x-9的图象的一个对称中心，则〃的

最小值为()

A-B.巳C.弓D.¥

6323

2.(2025•北京•高考真题)设函数f(x)=sincox+cosa)x(a)>0),若f(x+ir)=f(x)恒成立，且/(%)在［o,：］

上存在零点，则3的最小值为()

A.8B.6C.4D.3

3.(2024.新课标1卷.高考真题)当无£［0,2利时，曲线y=sin工与y=2sin(3x-勺的交点个数为()