第三十二章 投影与视图（知识清单）-冀教版九年级数学下册【含答案】

第三十二章投影与视图

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知识清单

一、投影

（-）基本概念

投影：物体在光线照射卜,在某个平面（地面、墙面等）上留下影子的现象.

投影线：照射物体的光线.

投影面：影子所在的平面.

（二）投影的分类

1.中心投影

定义：由“同一点（点光源）”发出的光线形成的投影.

实例：手电筒、路灯、台灯、蜡烛的光线形成的影子.

特征：

等高物体垂直地面放置时，离点光源越近，影子越短;离点光源越远，影子越长.

等长物体平行地面放置时，离点光源越近，影子越长;离点光源越远，影子越短.

投影线会汇聚于点光源，影子的形状、大小会随物体与光源、投影面的位置变化而明显改变.

2.平行投影

定义：由平行光线照射形成的投影.

实例：太阳光、探照灯平行光线形成的影子（口唇利用日影计时）.

试卷第1页，共10页

特征：

同一时刻，等高物体垂直地面放置，影子长度相等.

同一时刻，不同物体的高度与影长成正比（构成相似三角形，可用于测量高度）.

投影线互相平行,影子的形状、大小相对稳定.

3.正投影（特殊的平行投影）

定义：投影线垂直于投影面的平行投影.

性质：

物体的面壬任于投影面时，正投影与该面形状、大小完全相同.

物体的面垂直于投影面时，正投影为线段.

物体的面倾斜于投影面时，正投影为原图形的类似彩（形状不变,大小缩小）.

二、视图

（一）基本概念

视图：物体在某一方向的正投影，是从特定角度观察物体得到的平面图形.

三视图：从正面、左面、上面三个互相垂直的方向观察物体，得到的三个正投影，分别是主

视图、左视图、俯视图.

（二）三视图的定义与位置

主视图：从正面由前向后观察物体得到的视图,反映物体的长和高.

俯视图：从上面由上向下观察物体得到的视图,反映物体的长和宽.

左视图：从左面由左向右观察物体得到的视图,反映物体的高和宽.

位置规定：主视图在左上方，俯视图在主视图正下方，左视图在主视图正右方.

（三）三视图的画法规则（核心：长对正、高平齐、宽相等）

长对正：上1幽与俯视图的长度相等，且左右对齐.

高平齐：主视图与左视图的高度相等,且上卜对齐.

宽相等：地视图与左视图的宽度相等.

线条要求：看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线.

（四）常见几何体的三视图

试卷第2页，共10页

几何体主视图左视图俯视图

正方体正方形正方形正方形

长方体长方形长方形长方形

圆柱长方形长方形圆

圆锥等腰三角形等腰三角形圆（含圆心）

球圆圆圆

三棱柱长方形/三角形长方形三角形

（五）由三视图还原几何体

I.先看俯视图,确定几何体在水平面的形状与小正方体的分布.

2.结合主:视图和左视图,确定几何体各部分的高度.

3.综合三个视图，想象井还原出立体图形的形状.

易错总结

一、投影类易错点

1.中心投影与平行投影混淆

中心投影：点光源（路灯、手电筒、蜡烛），光线相交于一点.

平行投影：平行光线（太阳光），光线互相平行.

易错判断

影子顶点连线能汇聚到一点一中心投影

影子互相平行一平行投影

2.中心投影：物体离光源远近与影子长短搞反

物体竖直放：

离点光源越近一影子越短

离点光源越远一影子越长

易错点：题目常给图让判断光源位置/人移动方向，一搞反就错.

3.平行投影（太阳光）：同一时刻规律乱用

同一时刻：

物体高度之比=影长之比

易错点：

试卷第3页，共10页

不同时刻也用这个比例；

不看是否“同一时刻、平行光”直接用相似.

4.正投影性质理解错误

物体某个面的正投影：

面平行投影面一形状大小完全一样

面垂直投影面T投影是线段

面倾斜-形状相似、大小缩小

易错点：

认为“只要是正投影，就一定和原图一样大

二、三视图核心易错点

1.三视图“三句话”记混、用错

长对正：中视图与俯视图（长对iF）

高平齐：主视图与左视图（高对齐）

宽相等：俯视图与左视图（宽相等）

易错点：

俯视图和左视图宽不相等

画歪、不对齐

2.看得见画实线，看不见画虚线

看得见的轮廓线：实线

看不见的轮廓线：虚线

易错点：

内部有空腔、凹槽、被挡住的棱，忘画虚线

虚线画成实线，实线画成虚线

3.圆锥俯视图忘记画圆心

圆锥俯视图：圆+圆心（点）

易错点：

只画圆，不画圆心.

4.圆柱、圆锥、棱锥左视图/主视图画错形状

圆柱T矩形

圆锥一等腰二角形

试卷第4页，共10页

正方体/长方体T矩形

易错点：

把圆锥画成三角形带曲线；

把圆柱画成梯形.

5.画组合体三视图：只看外表，不看内部结构

空心、挖孔、台阶、缺口，内部都有虚线.

易错点：

只画外框，不画内部虚线.

三、由三视图还原几何体/数小正方体

1.顺序错误

正确顺序：

先看俯视图一再看中视图T最后看#视图

易错点：

一上来就看主视图，直接数错.

2.只看一个视图就确定个数

主视图一看列数和层数

左视图一看行数和层数

俯视图一看底层分布

易错点：

只凭主视图就说“最少几个、最多几个

3.求最少、最多个数时漏算/多算

最少：每列/行只留必要层数，其余为I

最多：每列/行全拉满到最高层

易错点：

最少算多，最多算少.

四、实际应用题易错点

1.投影与相似三角形列式时对应边写反

高度高度b=影长a：影长b

易错点：

岛度比写成影长反比，算出来答案完全相反.

试卷第5页，共1()页

2.判断光源位置作图不规范

中心投影：延长影子交于一点就是光源.

易错点：

作图不交于一点，随便点一个点.

易错训练

1.下列哪种影子是平行投影（）

A.皮影戏中的影子B.太阳光下房屋的影子

C.路灯下行人的影子D.在手电筒照射下纸片的影子

2.下列不是中心投影的是（）

A.阳光下房屋的影子B.晚上在房间内墙上的手影

C.人在路灯下形成的影子D.皮影戏中的影子

3.如图，晚上小明在路灯下沿路从力处径直走到8处，这一过程中他在地上的影子（）

A.一直都在变短B.先变短后变长C.一直都在变长D.先变长后变短

4.兴趣小组测量学校的旗杆，在阳光下，甲同学测得长1米的竹竿影长为1.5米，同一时刻

乙同学测量时发现旗杆的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，墙壁垂

直地面，如图所示，落在墙上的影长8C为2米，AB1BC,落在地面上的影长4B为9米,

12C.13.5D.15.5

5.若线段CO是线段的正投影，则48与的大小关系为（）

试卷第6页，共10页

A.AB>CDB.AB<CDC.AB=CDD.AB>CD

6.如图所示几何体的俯视图是（）

7.如图，小明网购了一个精美的正方体礼物盒,需要动手将平面展开图折叠成立体纸盒,

则完成后的正方体纸盒是（）

8.如图，A/iBC在灯光。的正下方，它在地面上形成的影子是A/nre,△NBC平行于地面,

且。到"8C的距离和18C与地面的距离相等，已知在“8C中，/4C8=90。,

/。=8。=2.下面关于44'8'。'的说法，其中正确的是（）

A.的面积为4&B.△W"C'的周氏为8+4及

C.A'B'=2>l2D."C=8

9.如图，•块周长为30cm的二角形硬纸板（记为△44。）平行于投影面时，在点光源。

试卷第7页，共10页

的照射下形成的投影是△44G（点小以。的对应点分别是点4、4、G），若

OB:BB\=3:4,则△仲£的周长是（）

A.90cmB.70cmC.60cmD.60cm

10.如图，将一块面积为16cm2的三角形硬纸板川?C平行于投影面放置，在光源O的照射

下形成的投影是必£尸.若。44）=2:3,则DAF的面积为（）

A.40cm2B.60cm2C.80cm2D.100cm2

11.如图，圆锥的母线46长为6,底面直径8C长为6,例为/出的中点.将圆锥侧面沿母

线剪开并展平，在展开图中“，C之间的距离为（）

12.用小立方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方形中的字

母表示在该位置小立方体的个数，则。+/>+。=.

主视图俯视图

13.如图，画出该几何体的三视图.

试卷第8页，共10页

14.一透明的敞口正方体容器中装有一些液体，棱48始终在水平桌面上,

容器底部的倾斜角为。JCBE=a,如图所示).

探究：如图①，液面刚好过棱C。，并与棱8"交于点。，此时液体的形状为直三棱柱，其

三视图及尺寸如图②.

解决问题：

俯视图

图①图②

(1)。。与4七的位置关系是n4。的长是_dm；

(2)求液体的体积.[参考算法：直棱柱体积(噎)=底面积(S.KQ)x高48]

15.如图，南阳白河国家湿地公园有一灯柱MN,“为光源.某兴趣小组为了测量灯柱MN

的高度，在灯柱同侧竖:立为根长度均为1.4m的标杆和C。，点N,B,C在同一条直线

上.测得N8长度为9m,的影长8C为3m.

(I)求灯柱MN的高度；

(2)请画出标杆。。的影子CE,并直接写出CE的长度.

16.在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直

的墙，且圆柱与墙的距离皆为120公分.敏敏观察到高度90公分矮圆柱的影子落在地面上,

其影长为60公分；而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示.

试卷第9页，共10页

已知落在地面上的影子皆与堵面互相重直，并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与影子宽

度的情况下，请回答下列问题：

（1）若敏敏的身高为150公分，且此刻她的影子完全落在地面上，则影长为多少公分？

（2）若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为150公分，则高圆柱的高度为多少公分？请

详细解释或完整写出你的解题过程，并求出答案.

试卷第10页，共1（）页

1.B

【分析】此题主要考查了中心投影、平行投影的性质，解决本题的关键是理解平行投影的形

成光源为太阳光.根据中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光，找到是太阳光的光

源即可.

【详解】解：A.皮影戏中的影子是中心投影；

B.太阳光下房屋的影子是是平行投影；

C.路灯下行人的影子是中心投影；

D.在手电筒照射下纸片的影子是中心投影：

故选B.

2.A

【分析】本题考查了中心投影的判断，根据中心投影是指光线从一个点（投影中心）发散形

成的投影逐一判断即可.掌握相关知识是解题的关键.

【详解】解：•••中心投影的光线需从一点发散，

而A中阳光为平行光，光线不从一个点发散，

・•.A不是中心投影，

B、C、D中光源均为点光源，光线从一点发散，是中心投影，

故选：A.

3.B

【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投

影.根据中心投影的特征可得小亮在地上的影子先变短后变长.

【详解】解：在小痉从力处径直走到路灯下时，他在地上的影子逐渐变短；当他走到路灯下，

再走到“处时，他在地上的影子逐渐变长，

••・小亮在地I：的影子先变短后边长，

故选：B.

4.A

【分析】本题考查相似三角形的应用.由题意可知在同一时刻物高和影长成正比，即在同一

时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似.经过旗

杆在教学楼上的影子的顶端作旗杆的垂线和经过旗杆顶的太阳光线以及旗杆所成三角形，与

竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到旗杆的顶端的高度，再加上墙上的

影高就是旗杆高.

答案第1页，共8页

【详解】解：设从墙上的影子的顶端到旗杆的顶端的垂直高度是X米.

解得X=6.

旗杆高是6+2=8（米）.

故选：A.

5.D

【分析】根据正投影的定义和性质解答可得.

【详解】若线段AB平行于投影面，则AB=CD,

若线段AB不平行于投影面，则AB>CD,

则AB>CD,

故答案选：D.

【点睛】本题考查/平行投影的知识点，解题的关键是熟练的掌握止投影的定义和性质.

6.C

【分析】本题考杳了几何体的三视图（俯视图），解题的关键是明确俯视图是从物体上方观

察得到的视图，需关注可见轮廓线为实线，不可见轮廓线为虚线.

从该几何体的正上方观察，整体呈现为横向的矩形，内部有两条不可见的竖直轮廓线，需用

虚线表示，且左右两侧为完整的矩形块.

【详解】解：根据题意，该图的俯视图为：

故选：C.

7.A

【分析】本题主要考查了正方体的表面展开图，解决本题的关键是根据正方体的表面展开图

找出它们的相对面、相邻面之间的位置关系进行判断.

【详解】解：A选项:如下图所示，当在前面时,上面是左面是

故A选项符合题意;

答案第2页，共8页

前面应是，故B选项不符合题意;

上面应是,故C选项不符合题意;

D选项:两个应是相对面，不能相邻，故D选项不符合题意.

故选:A.

8.B

【分析】本题考查中心投影，相似三角形的性质，掌握中心投影的概念找出相似比是解题关

键.

分别求出力3、C“BC、邑械.，再依据中心投影的概念，根据距离相等推出相似比为;，利

用相似三角形的性质进行判断即可.

【详解】解：由题意，得48=+=)2?+22=2五，

C」S.=-xACxBC=-x4=2

A/iROCL=4C+BC+AB=4+2&,sc22t

由题意，得08=BB1,OC=CC\

OCOC1

由中心投影的性质，可知△/BCSAHB'C,相似比为

OC~0C+CC~2f

：•S&dwc'=4s“ye=4x2=8,故A选项错误；

C：=，G皿=8+4及,故B选项正确：

#B'=2AB=4五,B'C'=2BC=4,故C、D选项错误,

故选：B.

9.B

【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题关键是掌握相似三角形的周长比等于相似

比是解题的关键.

答案第3页，共8页

根据题意可知△力8cs△44G，求出相似比，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算

即可;

【详解】解：投影可知：8s△/18CsZk44G，

08:=3:4,

OR:ORt=3:7,

「•4OAB与0。的相似比是3:7,

AB:彳4=3:7,

AABCS&ABG,

；.“BC与的相似比是3:7,

:AABC与△44G的周长比是3：7,

•・•△44C的周长为30cm,

303

30x7

70cm；

3

故选B.

10.D

【分析】本题考查了平行投影性质和相似三角形面积比，熟练掌握平行投影下图形的相似性

质、相似三角形的相似比及其与面积比的关系，是解决本题的关键.

根据平行投影性质得△力8。与心£尸相似，求出相似比，再根据面积比等于位似比的平方即

可求解.

【详解】解：•••。4：力。=2:3,

:.OA:OD=2:5.

由题意得：AABCs公DEF,

AB042

"~DE=~OD=5•

.义行―2丫一4

-S.DEF10中25,

答案第4页，共8页

二・SGEF=彳5“女=7'16=100仲］)

故选：D.

11.D

【分析】本题考查圆锥的展开图和相关计算，正确掌握圆锥的相关计算是解题的关键.

先根据圆锥的侧面展开图是扇形，再根据公式的计算求出圆心角，判断4c是直角三角形,

利用勾股定理即可求解.

【详解】解:如下图，

设侧面展开图圆心角的度数为〃。，

•••圆锥的母线4r氏为6,底面直径4C长为6,

6n冗,

------=64,

180

.・.〃=180,即NC4c=180°，

・•.NC4M=90。，即三角形M4C是直角三角形,

丁M为力5的中点，

/.AM=-AB=3

2f

MC=y)AM2+AC2=^32+62=35/5.

故选：D.

12.5

【分析】本题考查了三视图；由主视图可得，俯视图中最右边一个正方形处有3个小立方体,

中间一列两个正方形处各有1个小立方体，即可求出。+力+。的值.

【详解】解：•••由主视图可得，俯视图中最右边一个正方形处有3个小立方体，中间一列两

个正方形处各有1个小立方体，

b=I,c=1,

a+b+c=5.

故答案为：5.

13.见详解

答案第5页，共8页

【分析】本题考查了几何体的三视图，根据要求，直接画出该几何体的三视图，即可作答.

【详解】解：该几何体的三视图如图所示:

左视图

俯视图

14.(1)平行;3

(2)24dm

【分析】本题主要考查了棱柱体积的计算以及三视图的认识，正确理解棱柱的体积的计算是

关键.

(1)根据水面与水平面平行可以得到与8E平行，利用勾股定理即可求得8。的长;

(2)液体正好是一个以小。。是底面的直棱柱，据此即可求得液体的体积.

【详解】(1)解：•••液体的形状为直三棱柱,

：.CQ\\BE,

由三视图可得AB=4而？，CQ=5dm,

•••正方体容器A